專題14圓的綜合性問題

【思維導圖】

◎突破一：圓與三角形的綜合問題

例.(2021?江蘇南通?一模)

(1)如圖1,CA=CD,Z1=Z2,BC=EC.求證：ZA^ZD.

(2)如圖2,按以下步驟畫圖：

①以線段A8的中點。為圓心，以AO的長為半徑畫半圓；

②分別以點A,點8為圓心，以AO的長為半徑畫弧，分別交半圓于點C,點D；

③連接。C,OD,CD.若A8=4,求△。。。的面

【答案】(1)證明見解析

⑵①作圖見解析，②作圖見解析，③6

【分析】(1)根據SAS證明AACB段△￡>￡(:即可.

(2)證明△COD是等邊三角形，即可解決問題.

⑴

證明：如圖所示:

A

VZACB=Z1+ZACE9NDCE=/2+NACE,

N1=N2,

ZACB=ZDCE,

在△人3。和4DEC中，

CA=CD

<ZACB=ZDCE,

CB=CE

:?△ABCQ^DEC(SAS),

NA=N。；

(2)

解：如圖2中，連接ACBD.

由作圖可知，AC=OA=OC=BD=OD=OB,

：.AAOC,△3。。都是等邊三角形，

???ZAOC=ZBOD=60°,

???NCOZ)=60。,

???△COO是等邊三角形,

:.SCOD=^-X22=G

A4

【點睛】本題考查作圖復雜作圖，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質等知識，熟練掌握

全等三角形的判定方法是解題的關鍵.

專訓1.(2022?內蒙古包頭?中考真題)如圖，AB為。的切線，C為切點，D是。上一點，過點。作

DF1AB,垂足為凡DF交O于點、E,連接EO并延長交匚。于點G,連接CG,OC,O￡),已知

ZDOE=2ZCGE.

備用圖

(1)若匚。的半徑為5,求CG的長；

(2)試探究OE與所之間的數量關系，寫出并證明你的結論.(請用兩種證法解答)

【答案】(1)573

Q)DE=2EE,證明見解析

【分析】(1)由題意得，NCOE=2NCGE,根據/Z)OE=2NCGE得NCOE=/DOE,根據切線的性質得

OC±AB,即NC?CB=9O。，根據題意得“￡8=90。，貝UNOCB==90。，即可得OC〃。/，根據角

之間的關系和邊之間的關系得ODE是等邊三角形，即可得.../DOE=60。，則NCGE=30。,根據題意得，

GE=10,ZGCE=90°,在RfGCE中，根據銳角三角形函數即可得；

(2)方法一：根據題意和邊、角之間得關系得，△3￡為等邊三角形，可得NECF=30。,在RfCEF

中，根據直角三角形的性質得跖=：CE,即。￡=2￡F；方法二：連接CE,過點。作垂足

為H,根據題意得，NOCB=NDFC=90。,即四邊形。CFH是矩形，所以Cb=OH,根據等邊三

角形的性質得=根據邊之間的關系得CE=。。根據HL得M.CFEZ用即可得

EF=EH,所以DH=EH=EF,即可得￡>E=2￡F.

(1)

解：如圖所示，連接CE.

-CE=CE，

：.ZCOE=2ZCGE,

,:NDOE=2/CGE,

：./COE=/DOE,

?「AB為。的切線，C為切點,

.??OC.LAB,

：.NOCB=90。,

VDFYAB,垂足為尸，

???NDFB=90。,

JZOCB=ZDFB=90°f

:.OC//DF,

：.ZCOE=ZOED,

：.NDOE=/OED,

OD=DE.

OD=OE,

???QDE是等邊三角形，

：.ZDOE=60°,

：.ZCGE=30°.

??,一O的半徑為5,

JGE=10,

?；GE是。的直徑，

.ZGCE=90°,

.在HrGCE中，GC=G^?cosNCG^=10xcos300=5jL

(2)

DE=2EF,證明如下

證明：方法一：如圖所示,

ZCOE=ZDOE=60°f

?**CE=DE，

：.CE=DE.

OC=OE,

???△OC石為等邊三角形，

???NOCE=60。.

ZOCB=90°,

???/ECF=30。.

???在CEF中,EF=^CE,

：.EF=-DE,

2

即DE=2EF；

方法二：如圖所示，連接CE,過點。作尸，垂足為H,

???=90°,

ZOCB=ZDFC=90°,

???四邊形OCT”是矩形，

:.CF=OH,

???.QDE是等邊三角形，

:.DE=OE,

丁OHLDF,

:.DH=EH,

???NCOE=/DOE,

：?CE=DE，

：.CE=DE,

：.CE=OE,

：.CE=OD,

?：CF=OH,

在RtACFE和RtAOHE中，

[CE=OD

[CF=OE

：.RtCFE^RtOHE(HL),

EF=EH,

???DH=EH=EF,

???DE=2EF.

【點睛】本題考查了圓的綜合，平行線的判定與性質，銳角三角函數，等邊三角形的判定與性質，矩形的

判定與性質，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握這些知識點.

專訓2.(2022?河北?廊坊市第四中學二模)如圖，已知AC為不完整。的直徑，A5為弦且48=4指，

NACB=60。，點M、N為：。上的點，連接MN,點N從點A開始沿優弧AC5運動，當點〃與點5重合

時停止.已知MN=4,以MN為直徑向。內作半圓P.

M

)\C/\C

O

fB

(1)求。的半徑；

(2)當點N與點A重合時，求半圓尸與AC所圍成的弓形的面積；

(3)①點P的運動路徑長是；

②當半圓P與AC相切時，求0P與AC夾角的正切值.

【答案】(1)4

唁-君

⑶①2信；②史

2

【分析】(1)根據AC為。的直徑，可得/ABC=90。，再由銳角三角函數，即可求解；

(2)設圓尸交AC于點。,連接尸O,OM,PQ,可證得△是等邊三角形，從而得到/。4M=60。，

AP=2,進而得到AAP。為等邊三角形，再由半圓P與AC所圍成的弓形的面積等于S扇形"2-S"。，即可

求解；

(3)①由BC=4,MN=4,可得點尸的運動軌跡為以O圓心，。尸長為半徑的半圓，求出OP,即可求

解；②設半圓P與AC相切于點。，連接P。，OP,分兩種情況討論：當點。在線段OC上時，當點。在

線段OA上時，即可求解.

(1)

解：：AC為：。的直徑，

ZABC=90°,

=ZACB=&)°,

“AB4A/3E

??sinABACv3，

T

：.BC=4,

的半徑為4；

(2)

解：如圖，設圓尸交AC于點。，連接尸O,OM,PQ,

由（1）得：0A=0M=4,

?：MN=4,

：.OA=AM=OM,

是等邊三角形,

AZOAM=60°,AP=2,

u

：AP=PQf

???△AP。為等邊三角形，

APK=APsinZOAM=y/i,AQ=2,

60萬x2z1—一

.,?半圓尸與AC所圍成的弓形的面積等于S扇形管°-S釬2----x2x—5

3602

⑶

解：①如圖，連接OP,OM,ON,

VBC=4,MN=4,

.?.當M與點3重合時，點N與點C重合，

.?.點P的運動軌跡為以。圓心，。尸長為半徑的半圓,

由(1)得：OA=OM=ON=4,BC=4,

MN=4,

：.ON=AM=OM,

...△ONM是等邊三角形,

ZNOM=60°,

OP=ON-sinZONM=2百,

???點尸的運動路徑長是gx2萬X2石=2信；

故答案為：2下1兀

②如圖，設半圓P與AC相切于點。，連接PD,0P,

當點。在線段OC上時，PDLOC,

由(2)得：PD=2,由①得：。尸=26,

OD=yj0P2-PD2=25/2,

PD2_y/2

：.tanZPOD=—

OD2垃一2

當點。在線段。4上時，PDLOA,

同理tanNPOD=巫，

2

綜上所述，0P與AC夾角的正切值為變.

2

【點睛】本題主要考查了切線的性質，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質，求扇形面積等知識，熟

練掌握相關知識點是解題的關鍵.

專訓3.(2021?安徽?一模)如圖，△ABC為。。的內接三角形，且A8為。。的直徑，OE與。。相切于點

D,交A3的延長線于點E,連接。。交BC于點E連接A。、CD,NE=/ADC.

(1)求證：平分NBAC；

⑵若CF=2DF,AC=6,求。。的半徑r.

【答案】(1)見解析

⑵5

【分析】(1)根據圓周角定理得到NABC=NADC,進而證明NE=NABC,得到BC〃DE,根據切線的

性質得到ODLDE,根據垂徑定理得到8D=C￡)，根據圓周角定理證明結論；

(2)根據三角形中位線定理求出。尸，根據勾股定理列出方程，解方程得到答案.

(1)

證明：由圓周角定理得：ZABC=ZADC,

ZE=ZADC,

：.ZE=ZABC,

：.BC//DE,

:DE與。。相切于點

ODLDE,

：.ODABC,

：?BD=CD，

：.NBAD=NCAD,

平分ZBAC.

⑵

,/ODABC,

：.BF=FC,

,/OB=OA,

：.OF=-AC=3,

2

DF=r-3,

：.BF=CF=2DF=2(r-3),

在H30/中，

OB2=OF2+BF2,即/=3?+(2—6))

解得：『5,4=3（舍去）,

?O的半徑廣為5.

【點睛】本題考查的是切線的性質、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理的應用，掌握圓的切線垂直于經過

切點的半徑是解題的關鍵.

專訓4.（2022?江蘇江蘇.九年級期末）如圖，以AE為直徑的。交直線AB于A、8兩點，點C在O

上，過點C作于點。，連接AC,BC,CE,其中BC與AE交于點R且4C平分

⑴求證：8是：。的切線;

⑵若AD=1,AB=8.

①求8的長；

②求tanZAFC的值.

【答案】（1）見詳解

13

（2）①3；②百

【分析】(1)連接OC,根據。4=OC推出NOCA=/OAC,根據角平分線得出NOC4=/OAC=

ZDCA,推出0C〃A8,得出OCLCD,根據切線的判定推出即可；

(2)①由(1)知，ZOCD=90°,所以/OC4+/AC￡)=90°,因為AE是。。的直徑，所以/ACE=

90°,則/OC4+/OCE=90°,所以NACD=NOCE,又OC=OE,所以/OCE=NE=NACZ),

可得△AOCs/\cZ)B,所以A。：CD=CD：BD,貝l|CD?又8￡>=AO+AB=9,所以C￡)2=1X9

=9,即CD=3.

②過點C作CGJ_AE于點G,過點。作。HLBC于"，因為CDLAB,CD=3,80=9,所以BC=3

M,因為。H_L8C,貝I]CH=4BC=^^,易證△AOCs/vlCE,所以A。：AC=AC：AE,因為

22

AT2i

CD1AB,AD=\,CD=3,所以AC2=10,則AE=—=10,OA=-AE=5=OC；易證

AD2

△ACD^AACG(.AAS),所以AG=AD=1,CG=CD=3,OG=OA-AG=5-1=4,因為OH_LBC,OC

=5,CH=2叵，所以0?=典，易證△CPGs/XOm,所以CG：OH=CF：OF=GF：FH,即3：

22

巫=C凡(4-GF)=GF：(豆整理得，^-CF=12-3GF,叵GF=^H_3CF,解

22222

270G13

之，求解的CG和GF的值，因為CGLAE,CG=3,GF=—,所以tan/APC===丁.

13GF9

(1)

證明：連接0C

OC=OAf

：.ZOAC=ZOCA.

〈AC平分NDAE,

：.ZDAC=ZOAC,

：.ZDAC=ZOCA,

C.AD//OC,

9：CD±DA,

：.ZADC=ZOCD=90°,

即CD_LOC,

??,點。在OO上，

???CO是。。的切線.

(2)

解：①由(1)知，NOCO=90°,

：.ZOCA+ZACD=90°,

TAE是。。的直徑，

AZACE=90°,

：.ZOCA+ZOCE=9Q°,

???ZACD=ZOCE,

*：OC=OE,

：?NOCE=NE,

?；/E=NB,

：.ZACD=ZB,

VZADC=ZCDB=90°,

???XADCs&CDB,

：.ADtCD=CD：BD,

：?CD2=AD?BD,

VAD=1,AB=8,

：.BD=AD+AB=9,

：.CD2=\X9=9,

：.CD=3.

②過點。作CGLAE于點G,過點。作0H_L3C于",

VCDLAB,CD=3,BD=9,

?BC=3J10,

OHLBC,

：.CH=^BC_3M

2

VZADC=ZACE=90°,ZACD=ZAEC,

：.AADC^AACE,

：.AD：AC=AC：AE,

AC2

.\AE=

~AD

9：CDLAB,AD=1,CD=3,

AAC2=10,

：.OA=^AE=5=OCf

在△AC。和△ACG中，

VZADC=ZABC=90°,ZCAD=ZCAG,AC=AC,

AAACD^AACG(A4S),

：.AG=AD=lfCG=CD=3,

：.OG=OA-AG=5-1=4,

VOHLBC,OC=5,CH=^^~,

2

JOH=叵,

2

9：ZCFG=ZOFH,ZCGF=ZOHF=90°,

:ACFGSAOFH,

：.CG：OH=CF：OF=GF：FH,

??.3：叵=CF：(4-GF)=GF：(2^2-CF),

22

整理得，叵CF=12-3GF,巫G尸=^^-3Cb

222

27

解得GF

13

27

VCG±AE,CG=3,GF=—

13

CG13

tanZAFC==—,

GF9

13

.?.tan/AFC的值為互.

【點睛】本題考查了切線的判定、平行線的性質和判定等知識點，解題的關鍵是綜合運用定理進行推理的

能力，結合方程思想求解.

◎突破二：圓與四邊形的綜合問題

例.（2022.廣東廣州?一模）如圖，四邊形A8C。是。。的內接四邊形，AB=6,BC=8,ZABC=9Q°,弧

AD=弧QC.

B

⑴求邊CO的長；

(2)已知△ABE與八ABD關于直線AB對稱.

①尺規作圖:作△ABE；(保留作圖痕跡，不寫作法)

②連接DE,求線段DE的長.

【答案】⑴50

⑵①圖見解析②14

【分析】(1)先求出直徑AC,再得到△ADC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解；

(2)①以8點為圓心，3。為半徑，和以A點為圓心，為半徑畫弧，交點為E點，再順次連接即可;

②過A點作先求出的長，再證明△BOE是等腰直角三角形，故可求出DE的長.

(1)

"：AB=6,8C=8,ZABC=90°,

.-.AC=V62+82=10>AC是。。的直徑

二ZADC=9Q°

:弧A￡)=弧DC

：.AD=CD

：.ZVIDC是等腰直角三角形

J.AEP+C^AC2

解得CD=5及;

⑵

①如圖，AABE為所求;

②過A點作

?.?弧AD=弧DC

/.NABD=/CBD=；ZABC=45°

△ABH是等腰直角三角形

"：AB2=BlP+AH2,AH=BH

：.AH=BH=3yf2

,:AD=CD=5垃

在Rt&ADH中，DH=y/AD2-AH2=4后

：.BD=BH+DH=ly/2

AABE與XABD關于直線AB對稱

ZEBD=2ZABD=9Q°,BE=BD=772

/.△2DE是等腰直角三角形

【點睛】此題主要考查圓內的線段長度求解、尺規作圖，解題的關鍵是熟知圓周角的性質、等腰直角三角

形的判定與性質及對稱性的應用.

專訓1.（2022?江蘇無錫?一模）如圖，在四邊形ABCD中，ZC=ZD=90°,DC=4,AD=2,AB=BC,以AB

為直徑的圓。交于點E.

(1)求圓。的半徑;

⑵用無刻度的直尺在℃邊上作點M,使射線2M平分NA2C,并求送的值.

*【答案】(1)2.5

【分析】(1)連接AE,可得/AEB=90。，從而得到四邊形ADCE是矩形，進而得到AE=CZ)=4,

CE=AD=2,設42=無，則BC=X,BE=X-2,然后根據勾股定理可得AB=5,即可求解；

(2)連接AM,可證得△ABM四△CBM,從而得到AM=CM,ZBAM=ZBCM=90°,設AAf=CM=/",則

DM=CD-CM=4-m,然后根據勾股定理可得CM=，即可求解.

(1)

解：如圖，連接AE,

VAB圓0的直徑，

Z.ZAEB=90°,

VZC=ZD=90°,

NC=ND=/AEB=90°,

四邊形相》CE是矩形，

：.AE=CD=4,CE=AD=2,

設AB=x,貝ljBC=x,

/.BE=x-2,

BE2+AE2=AB2

42+(x-2)2=x2,解得：x=5,

即AB=59

?,?圓。的半徑為2.5；

(2)

解：如圖，連接AM,

???8M平分NABC,

JZABM=ZCBM,

'：AB=BC,BM=BM,

：.AABMm/\CBM,

：.AM=CM,ZBAM=ZBCM=90°,

設AM二CM=加，貝!J

AD1+DM2=AM2

C95

22+(4-m)=m2,解得：m=—

即CM—

2

3

.?.DM=-,

2

3

.DM_._3

**MC-￡-5'

2

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌

握圓周角定理，勾股定理，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質定理是解題的關鍵.

專訓2.(2016?江蘇無錫?九年級階段練習)如圖，矩形AOBC,A(0,3)、B(5,0),點E在OB上，

ZAEO=45°,點P從點Q(-3,0)出發，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動，運動時間為t

(t>0)秒.

(1)求點E的坐標；

(2)當/PAE=15。時，求t的值；

(3)以點P為圓心，PA為半徑的。P隨點P的運動而變化，當。P與四邊形AEBC的邊(或邊所在的直

線)相切時，求t的值.

【答案】(1)點E的坐標為(3,0)；

(2)t=(3+11ys或(3+3s；

(3)t=0或4或4.6秒時，0P與四邊形AEBC的邊(或邊所在的直線)相切.

【詳解】試題分析：(1)在RtAAOE中求出OE,即可得出點E的坐標；

(2)如圖1所示，當/PAE=15。時，可得NAPO=60。，從而可求出PO=W，求出QP,即可得出t的值;

(3)以點P為圓心，PA為半徑的。P與四邊形AEBC的邊(或邊所在的直線)相切時，只有一種情況，

也就是。P與AE邊相切，且切點為點A,如圖2所示，求出PE,得出QP,繼而可得t的值.

試題解析：(1)在RSAOE中，OA=3,ZAEO=45°,

；.OE=AO=3,

二點E的坐標為(3,0)；

(2)如圖1所示：

VZPAE=15°,ZAEO=45°,

，ZAPO=ZPAE+ZAEO=60°,

.?.OP=AOtan30°=&,

；.QP=3+技

t=3+3（秒）；

ZAPE=30°,

VAO=3,

.?.OP=3+《=37J,

,-.t=QP=OQ+OP=（3^/3+3）s；

/.t=（3+^/3）s或（3+3JJ）s.

（3）：PA是。P的半徑，且。P與AE相切,

點A為切點，如圖3所示：

；.AE=3/

AE入a/

----------=—=—=o

?■?PE=COS450正

，QP=QE-PE=6-6=0,

...當（DP與四邊形AEBC的邊AE相切時，Q,P重合，t的值為0.

：PA是。P的半徑，且。P與AE相切，

二點A為切點，如圖4所示：

[Q司B餐

圖4

當點P與。重合時，0P與AC相切,

t=3秒；

圖5

當PA=PB時，。「與8（2相切，

設OP=x,貝！]PB=PA=5-x,

在RtAOAP中，x2+32=（5-x）2,

解得：x=1.6,

.,.t=3+1.6=4.6（秒）；

，t=0或4或4.6秒時，。「與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切.

考點：圓的綜合題.

專訓3.（2022?浙江?瑞安市安陽鎮濱江中學三模）如圖，在.ABCD中，以BC為直徑的半I。經過點A,

交AD于點尸，過點。作交54的延長線于點E,連接CE.

(1)求證：BC=CE；

(2)連接￡F,CF,若tan3=2,CD=&求￡F的長.

【答案】(1)見解析

(2)E■尸=20

【分析】(1)根據BC為直徑可得ACLAB,從而得到AC〃OE,再由平行四邊形的性質可得AB〃CQ,

AD=BC,可得四邊形ACDE是平行四邊形，即可求證；

(2)過點C作CGJLAD,過點尸作見，DE,四邊形A8CF是圓內接四邊形，可得/4￡甲=NDbC,從

而得到。G=FG,再由tanNADC=tan3=2,可得￡>G=1,DE=AC=2A/5,從而得到DF=2,在矩形

ACOE中，可得/DAE=/ADC=/DFH,從而得到加=冬叵，述，從而得到

55

EH=DE-DH=正,再由勾股定理，即可求解.

5

(1)

證明：BC為直徑，

:.AC±AB,

-.DE-LAB,

：.AC//DE,

,在平行四邊形ABC。中，AB//CD,AD=BC,

二四邊形ACDE是平行四邊形，

"：AC±AB,

二四邊形ACDE是矩形，

/.CE=AD,

AD^BC,

BC=CE；

(2)

解：過點。作CGLAD,過點尸作可，。￡,

在平行四邊形ABCD中，ZB=ZADFf

???四邊形A5c尸是圓內接四邊形，

：.ZB+ZAFC=1SO0,

VZZ)FC+ZAFC=180o,

:.ZDFC=ZB,

:.ZADF=ZDFC,

：.CF=CD,

:?DG=FG,

*.*tanZADC=tan3=2,

AC

?**CG=2DG,=2,

CD

QCDy,

：.DG2+CG2=DG1+(2￡>G)2=CD2,

.".DG=1,DE=AC=2小,

:.DF=2,

在矩形ACOE中，AE//CD,AE±DE,

：.ZDAE^ZADC=ZDFH,

：.tanZDFH=2,即。〃=2FH,

FH2+DH-=FH2+(2F/fJ=DF2,

.FH-2非DR」指

55

DE一DH=*

...EH=

EF=^EH2+FH2=2A/2?

【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質，圓周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質等知

識，熟練掌握矩形的判定和性質，圓周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質等知識是解題的

關鍵.

專訓4.(2022?浙江湖州?八年級期末)在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.

圖1圖2

(1)如圖1,點。是CA延長線上的一點，點E在線段上，且AO=AE,連接8。和CE,延長CE交8。

于點F.求證：BD=CE；

⑵在(1)的條件下，若點尸為2D的中點，求NAED的度數；

(3)如圖2,點尸是△ABC外一點，ZAPB=45°,猜想B4,PB,PC三條線段長度之間存在的數量關系，并

證明你的結論.

【答案】(1)見解析

(2)45°

⑶PB-PCfPA,理由見解析

【分析】(1)由兩個等腰直角三角形得到兩個三角形全等的條件，即可;

(2)利用(1)得到的結論，判斷出點A,E,F,D四點共圓，即可；

(3)利用三角形相似的判定和性質，再利用勾股定理，即可.

【詳解】(1)證明：???/JBAC=90。,

：.ZBAC=ZDAB=9Q°,

在RtAEAC和RtADAB中,

AD=AE

ZDAB=ZEACf

AB=AC

ARtAEAC^RtADAB(SAS),

：.CE=BD；

(2)解：如圖1

由(1)有，RtAEAC^RtADAB,

：.ZABD=NACE,

'：ZACE+ZAEC=90°,

???ZABD+ZAEC=ZABD+ZBEF=90°,

VZ￡>AE=90°,

???點A,E,F,。四點共圓，

ZAFE=NADE=45。,

???ZAFD=45°；

(3)解：結論：PB-PC=6PA.

理由：如圖2,在尸3上截取PM=PC,

5

由(2)有，ZBPC=90°

CM=42PC,ZPMC=45°,

：.ZBMC=135°,

ZAPB=45°,

???ZAPC=135°,

???ZAPC=ZBMC,

ZACP+ZACM=ZBCM+ZACM=45°f

：.ZACP=ZBCM,

：.AAPCsABMC,

?_P_C___P_A____1

,?CM-MB—舊

:.BM=3PA,

：.PB=PM+BM=PC+72PA,

：.PB-PC^^lPA.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、四點共圓的判定、同弧所對圓周角相等、三角形相似的判定

與性質，掌握這些才能正確解題.

◎突破三：圓與函數的綜合問題

例.(2021?湖北荊門.模擬預測)我們把方程(x-機)2+(y-")2=/稱為圓心為(九”)、半徑長為:?的圓的標準

方程.例如，圓心為(1,-2)、半徑長為3的圓的標準方程是+"+2)2=9.如圖，在平面直角坐標系

中，C與x軸交于A,2兩點,且點8的坐標為(8,0),與V軸相切于點。(0,4),過點A,B,D的拋物

線的頂點為E.

(1)求C的標準方程；

(2)試判斷直線AE與C的位置關系，并說明理由;

(3)連接CE,求sinZAEC的值.

【答案】⑴(尤-5了+(y-4=25

(2)直線AE與「C相切，理由見解析

4

(3)sinZL4EC=-

【分析】(1)連接C。、CB,過點C作鉆于點/，設CC的半徑為r,根據：C與y軸相切于點

0(0,4),可得四邊形CDO尸是矩形，從而得到紡=CD=r,CF=OD=4,進而得到班'=。8-。尸=8-廠，再

由勾股定理可得C(5,4),即可求解；

11Q

(2)先根據垂徑定理可得到42,0),從而得到拋物線解析式為廣；(無—2)(%-8)=；(%-5萬J,進而得到

444

Q

E(5,-J),然后分別求出AC、AE,CE的長，再利用勾股定理的逆定理，即可求解；

4

(3)在HA4CE中,利用銳角三角函數，即可求解.

(1)

解：如圖1,連接。、CB,過點C作CFLAB于點尸，

設(C的半徑為「，

?C與了軸相切于點。(0,4),

，CD_Ly軸，CD=CB=r,

ZCDO=ZCFO=ZDOF=90°,

四邊形CDO尸是矩形，

,-.OF=CD=r,CF=OD=4,

1點8的坐標為(8,0),

：.OB=S,

:.BF=OB-OF=8-r,

NBFC=90。，

BF2+CF2=BC2,BP(8-r)2+42=r2,

解得：r=5,

；.C(5,4),

(x-5)2+(y-4)2=52,

\6。的標準方程為0-5)2+0-4)2=25；

(2)

解：直線AE與(C相切，理由如下：

由(1)知：C(5,4),CFLAB,

:.AF=BF,"5,0),

AOF=5,

：OB=8,

:.AF=BF=3,

：.OA=2,

.?.A(2,0),

可設經過點A、B、。的拋物線解析式為y=a(x-2)(x-8),

???點。(0,4),

貝!|ax(0_2)x(0_8)=4,

解得：

4

11-9

「?)=：(%—2)(%-8)=—(x-5)——,

444

9

..監―:)，

4

如圖2,連接CE,C4,

9

A(2,0),C(5,4),E(5-),

4

AC=42-5)2+(O-4『=5,cE=4_1)q,AE=^(5-2)2+(-^-0)2=,

AE2+AC2=(-)2+52=—,CE2=(—)2=—,

416416

:.AE2+AC2=CE2,

:.ZCAE=90°,即C4_LAE,

CA為C的半徑，

.?.AE與C相切于點A；

（3）

25

解：如圖2,由（2）知：ZC4E=90°,AC=5,CE=——,

4

..AC54

..sinNAEC--二一

CE255.

T

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，垂徑定理，求正弦值，熟練掌握相關知識點，理解圓的

標準方程是解題的關鍵.

專訓1.（2022?湖南長沙?九年級期中）如圖1,拋物線y=-2x與x軸交于0、A兩點，點8為拋物線

的頂點，連接。艮

（1）求/A08的度數；

⑵如圖2,以點A為圓心，4為半徑作。A,點M在。A上.連接OM、BM,

①當△是以為底的等腰三角形時，求點M的坐標；

②如圖3,取0M的中點N,連接BN,當點M在。A上運動時，求線段8N長度的取值范圍.

【答案】⑴45。

⑵①（4,0）或（8,4）；?2<BN<6

【分析】（1）將函數解析式化為頂點式，得到點3的坐標，作于H,則OH=8H=4,即可得到

ZAOB的度數；

（2）①先求出A點坐標.作。3的垂直平分線交。A于兩點，由4凡=4=08=8",得到坐標

為（4,0）.連接4加2，由NM2/M=NOHC=45。，AH=AM2=4,得到坐標為（8,4）；

②延長OB至點。，使BO=OB,則點。坐標為（8,-8）,連接根據三角形中位線的性質得到

BN=gMD,當MO過點A時，長度達到最大值，當點M在點E處時，MO有最小值，由此解決問

題.

（1）

11

???y=ZY-2尤=z9（x-4）--4,點B為拋物線頂點，

點8的坐標為（4,-4）.

作BHLOA于H,則0H=BH=4,

：.乙4。8=45°.

0-yx2-2x=0,解得玉=0,x=8,

42

二A點坐標為（8,0）.

作08的垂直平分線交。A于河2兩點,

A半徑為4,AH=4,

...點H在。A上，止匕時08=28,

???點以與點重合，

坐標為（4,0）.

連接AM?,

ZM2HA=ZOHC=45°,AH=AM2=4,

.?./HA%=90。，則圾坐標為（8,4）,

綜上，點M的坐標為（4,0）或（8,4）.

②延長。8至點。，使30=08,則點。坐標為（8,—8）,

連接

:點N為0M中點，

BN=-MD.

2

如圖，當用。過點A時，長度達到最大值，

當點M在點E處時，有最小值，

?.?點A、。橫坐標相同，

,止匕時軸，

；.MD=8+4=12,OE=8-4=4,

：.4<MD<12,

2<BN<6.

【點睛】此題考查了拋物線與圓的綜合知識，拋物線解析式化為頂點式，求拋物線與坐標軸的交點，圓的

半徑相等的性質，直徑是圓中最長的弦，以及等腰三角形三線合一的性質，綜合掌握各知識點是解題的關

鍵.

專訓2.(2022.遼寧.沈陽市外國語學校一模)如圖1,已知拋物線頂點A在x軸上，直線/：y=6x-6交

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線與y軸交于C點，點尸在拋物線上，且在第一象限，NAPC=45。，求P點坐標；

(3)如圖2,過點-1)作直線交拋物線與E、F,點N在拋物線上且NE〃x軸，連FN,試證明：直

線FN過定點，并求定點的坐標.

【答案】(l)y=(x-1)2

⑵(2,1)

⑶直線尸N為廣履+1-仁人(%-1)+1經過點(1,1),證明見解析

【分析】(1)產出片代交x軸于A,則點A(1,0),設點B(加,0m-6),AB=26,求出點B(1+

53),即可求解；

(2)ZAPC=45°,則點P在(1,1)為圓心半徑為1的圓上，即可求解；

(3)設直線硒為y=fcc+b,直線為分別聯立，再根據根與系數的關系得到FN的解析

式，故可求解.

(1)

丫=括/代交x軸于4

令y=0,解得x=l,

則點A(1,0),

設點BGn,6m-6)，

AB=273,則(偌-1)2+(>/3m-73)2-(20)2,

解得：優=1+/(負值已舍去)，

故點2(1+V3,3),

則拋物線的表達式為：尸。(x-1)2,

將點5的坐標代入上式并解得：〃=1,

故拋物線的表達式為：y=(x-1)2；

(2)

VZAPC=45°,則點尸在(1,1)為圓心半徑為1的圓上，

設P(m,n),則(加1)2+(n-1)2=1,

又(m-1)2,

(n-1)2+n-l=0,

解得：n=l,m=2,

二?尸點的坐標為(2,1)；

(3)

(1,-1),

；?設直線五N為產Ax+Zb直線為產mx-1-帆，且M(龍/,yi),M(X2,”)，

聯立尸;T1

[y=kx+b

.\x2-(Z+2)x+l-Z?=O,

貝!Jxi+x2=k+l,xiX2=l-bf

又?.,EN〃x軸，:?E(2-xy,山)，

彈畤J'二(元一1)2

聯"ji，

[y=mx—l-m

?\x2-(m+2)x+m+2=0,

貝!J2-xi+x2=m+2,(2-xi)X2=m+2,

^?X1+X2=2+X1X2,

???左+2=2+1-。，b=l-k,

工直線FN為y=kx+l-k^k(x-1)+1經過點(1,1).

【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數、圓的基本知識、根與系數的關系的運用等,

其中(2),確定點P是圓上的點，是本題解題的難點.

專訓3.(2022?江蘇無錫?一模)如圖，拋物線y=a/+6x+c經過A(-LO),網3,0)且與y軸交于點

C(0,-3).

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)若點尸是x軸的正半軸上一點，tanZAPC=1,求點尸的坐標；

(3)當點尸是拋物線上第一象限上的點，tanNAPC=g,直接寫出點尸的坐標為.

【答案】⑴y=Y-2x-3

(2)點尸的坐標為(9,0)

(3)點尸的坐標為(4,5)

【分析】(1)把拋物線解析式設成交點式求解即可；

(2)根據tanZAPC=^OC=1-得至UOP=9即可得到答案；

(3)如圖所示，取點M(9,0),由(2)可知tanN4WC=tanNAPC=g,推出A、C、M、尸四點共圓,

再證明NACM=90。，得到AM是點A、C、M、尸所在圓的直徑，則A、C、M、尸所在圓的圓心坐標為

(4,0),半徑為5,由此求解即可.

(1)

解：設拋物線解析式為y=a(x+l)(x-3),代入點C的坐標得：

a(0+l)(0-3)=-3,

1?a=1,

拋物線解析式為y=(x+l)(x-3)=無2_2x-3

⑵

oc1

解：???tan/APC=3^=§,點C的坐標為（0,-3）,

OP=3OC=9,

點P的坐標為（9,0）；

（3）

解：如圖所示，取點Af（9,0）,

由（2）可知tan/AMC=tan/APC=」，

3

ZAPC=ZAMC,

；.A、C、M、尸四點共圓，

?.?點A（-1,0）,C（0,-3）,M（9,0）,

：.AM=IO,AC=712+32=A/10-