北京市豐臺區市級名校2025屆高二數學第一學期期末調研模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對于實數a，b，c，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則2．下列命題中的假命題是（）A.，B.存在四邊相等的四邊形不是正方形C.“存在實數，使”的否定是“不存在實數，使”D.若且，則，至少有一個大于3．已知圓，為圓外的任意一點，過點引圓的兩條切線、，使得，其中、為切點．在點運動的過程中，線段所掃過圖形的面積為（）A. B.C. D.4．空間直角坐標系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（）A. B.C. D.5．過點，且斜率為2的直線方程是A. B.C. D.6．已知函數f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是()A.(－∞，0) B.C.(0,1) D.(0，＋∞)7．《萊茵德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數學著作之一．書中有這樣一道題目：把93個面包分給5個人，使每個人所得面包個數成等比數列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是（）個A.12 B.24C.36 D.488．在等差數列{}中，，，則的值為（）A.18 B.20C.22 D.249．如果向量，，共面，則實數的值是（）A. B.C. D.10．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則11．學校為了解學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了n位同學進行調查，結果顯示這些同學的支出都在（單位：元）內，其中支出在（單位：元）內的同學有67人，其頻率分布直方圖如圖所示，則n的值為（）A.100 B.120C.130 D.39012．設，則的一個必要不充分條件為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上任意一點，過作平分線的垂線，垂足為M，則點M到直線的距離的最小值是___14．設橢圓標準方程為，則該橢圓的離心率為______15．已知，若共線，m+n＝__.16．如圖，在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓于A，兩點，的中點坐標為.（1）求直線l的方程；（2）求的面積.18．（12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，.（1）求點C到平面的距離；（2）線段上是否存在點F，使與平面所成角正弦值為，若存在，求出，若不存在，說明理由.19．（12分）已知數列是公差為2的等差數列，它的前n項和為，且，，成等比數列(1)求的通項公式(2)求數列的前n項和20．（12分）等差數列的前n項和為，已知（1）求的通項公式；（2）若，求n的最小值21．（12分）已知拋物線的焦點為，拋物線上的點的橫坐標為1，且.（1）求拋物線的方程；（2）過焦點作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線交于、和、四點，求四邊形面積的最小值.22．（10分）已知拋物線過點.（1）求拋物線方程；（2）若直線與拋物線交于兩點兩點在軸的兩側，且，求證：過定點.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】判斷不等式的真假，就是要考慮在不等式的變形過程中是否遵守不等式變形的規則.【詳解】若，令，，，，，故A錯誤；若，令c=0，則，故B錯誤；若，令a=-1，b=-2，，，故C錯誤；∵，故，根據不等式運算規則，在不等式的兩邊同時乘以或除以一個正數，不等式的方向不變，故D正確.故選：D.2、C【解析】利用簡易邏輯的知識逐一判斷即可.【詳解】，故A正確；菱形的四邊相等，但不一定是正方形，故B正確；“存在實數，使”的否定是“對任意的實數都有”，故C錯誤；假設且，則，與矛盾，故D正確；故選：C3、D【解析】連接、、，分析可知四邊形為正方形，求出點的軌跡方程，分析可知線段所掃過圖形為是夾在圓和圓的圓環，利用圓的面積公式可求得結果.【詳解】連接、、，由圓的幾何性質可知，，又因為且，故四邊形為正方形，圓心，半徑為，則，故點的軌跡方程為，所以，線段掃過的圖形是夾在圓和圓的圓環，故在點運動的過程中，線段所掃過圖形的面積為.故選：D.4、A【解析】由已知得，，，設向量與向量、都垂直，由向量垂直的坐標運算可求得，再由平面平行和距離公式計算可得選項.【詳解】解：由已知得，，，設向量與向量、都垂直，則，即，取，，又平面平面，則平面與平面間的距離為，故選：A.5、A【解析】由直線點斜式計算出直線方程.【詳解】因為直線過點，且斜率為2，所以該直線方程為，即.故選【點睛】本題考查了求直線方程，由題意已知點坐標和斜率，故選用點斜式即可求出答案，較為簡單.6、B【解析】函數f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個零點，等價于函數y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點，在同一個坐標系中作出它們的圖象（如圖）當a=時，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當0＜a＜時，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點則實數a的取值范圍是（0，）故選B7、D【解析】設等比數列的首項為，公比，根據題意，由求解.【詳解】設等比數列的首項為，公比，由題意得：，即，解得，所以，故選：D8、B【解析】根據等差數列通項公式相關計算求出公差，進而求出首項.【詳解】設公差為，由題意得：，解得：，所以.故選：B9、B【解析】設，由空間向量的坐標運算可得出方程組，即可解得的值.【詳解】由于向量，，共面，設，可得，解得.故選：B.10、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，逐一核對四個選項得答案【詳解】解：對于A：若，則或，故A錯誤；對于B：若，則或與相交，故B錯誤；對于C：若，根據面面垂直的判定定理可得，故C正確；對于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯誤；故選：C11、A【解析】根據小矩形的面積之和，算出位于10～30的2組數的頻率之和為0.33,從而得到位于30～50的數據的頻率之和為1-0.33=0.67，再由頻率計算公式即可算出樣本容量的值.【詳解】位于10～20、20～30的小矩形的面積分別為位于10～20、20～30的據的頻率分別為0.1、0.23可得位于10～30的前3組數的頻率之和為0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50數據的頻率之和為1-0.33=0.67∵支出在[30,50)的同學有67人,即位于30～50的頻數為67，∴根據頻率計算公式，可得解之得.故選：A12、C【解析】利用必要條件和充分條件的定義判斷.【詳解】A選項：，，，所以是的充分不必要條件，A錯誤；B選項：，，所以是的非充分非必要條件，B錯誤；C選項：，，，所以是必要不充分條件，C正確；D選項：，，，所以是的非充分非必要條件，D錯誤.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】構造全等三角形，結合雙曲線定義，求得點的軌跡方程，再根據直線與圓的位置關系，即可求得點到直線距離的最小值.【詳解】延長交的延長線于點，如下所示：因為平分，且，故△△，則，又，則，又在△中，分別為的中點，故可得；設點的坐標為，則，即點在圓心為，半徑的圓上，圓心到直線的距離，故點到直線距離的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的定義，以及直線與圓的位置關系，解決問題的關鍵在于通過幾何關系求得點的軌跡方程，屬中檔題.14、##【解析】求出、的值，即可求得橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，則，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.15、【解析】根據空間向量平行的坐標運算求出m,n，進而求得答案.【詳解】由于，因為，所以存在，使得，于是，則.故答案為：.16、##【解析】過作，垂足為，則平面，則即為所求角，從而可得結果.【詳解】依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，可知點H為中點，由平面，可得，又所以平面，則即為所求角，因為，，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設，根據AB的中點坐標可得，再利用點差法求得直線的斜率，即可求出直線方程；（2）易得直線過左焦點，聯立直線和橢圓方程，消，利用韋達定理求得，再根據即可得出答案.【小問1詳解】解：設，因為的中點坐標為，所以，則，兩式相減得，即，即，所以直線l的斜率為1，所以直線l的方程為，即；【小問2詳解】在直線中，當時，，由橢圓：，得，則直線過點，聯立，消整理得，則，.18、（1）（2）存在，1【解析】（1）由題意建立空間直角坐標系，求得平面向量的法向量和相應點的坐標，利用點面距離公式即可求得點面距離（2）假設滿足題意的點存在且滿足，由題意得到關于的方程，解方程即可確定滿足題意的點是否存在【小問1詳解】解：如圖所示，取中點，連結，，因為三角形是等腰直角三角形，所以，因為面面，面面面，所以平面，又因為，所以四邊形是矩形，可得，則，建立如圖所示的空間直角坐標系，則：據此可得，設平面的一個法向量為，則，令可得，從而，又，故求點到平面的距離【小問2詳解】解：假設存在點，，滿足題意，點在線段上，則，即：，，，，，據此可得：，，從而，，，，設與平面所成角所成的角為，則，整理可得：，解得：或（舍去）據此可知，存在滿足題意的點，點為的中點，即19、（1）；（2）【解析】（1）根據等差數列的通項公式，分別表示出與，由等比中項定義即可求得首項，進而求得的通項公式（2）根據等差數列的首項與公差，求出的前n項和，進而可知，再用裂項法可求得【詳解】（1）由題意，得，，所以由，得，解得，所以，即（2）由（1）知，則，，【點睛】本題考查了等差數列通項公式的應用，等比中項的定義，裂項法求數列前n項和的簡單應用，屬于基礎題20、（1）（2）12【解析】（1）設的公差為d，根據題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）利用等差數的求和公式，得到，結合的單調性，即可求解.【小問1詳解】解：設的公差為d，因為，可得，解得，所以，即數列的通項公式為【小問2詳解】解：由，可得，根據二次函數的性質且，可得單調遞增，因為，所以當時，，故n的最小值為1221、（1）（2）2【解析】（1）根據拋物線的定義求出，即可得到拋物線方程；（2）設直線的方程為：，、，則直線的方程為：，聯立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，再根據弦長公式表示出，同理可得，則四邊形的面積，最后利用基本不等式計算可得；【小問1詳解】解：由已知知：，解得，故拋物線的方程為：.【小問2詳解】解：由（1）知：，設直