句容碧桂園學校2024~2025學年第一學期高三數學第一次月考模擬卷一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知，且，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．84．已知，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．5．是定義在R上的偶函數，在0,+∞上單調遞增，，，，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．6．已知函數在上存在單調遞增區間，則實數a的取值范圍為（

）A．B．C．D．7．已知函數的最小正周期為．將的圖象向左平移個單位長度，所得圖象關于軸對稱，則的一個值是（

）A． B． C． D．8．設，有下列命題：①當時，函數有三個零點；②當時，是函數的極大值點；③存在實數，，使得函數在區間上存在最大值1；④存在實數，使得點為曲線的對稱中心.其中是真命題的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題9．在下列四個命題中，正確的是（

）A．命題“，使得”的否定是“，都有”B．當時，的最小值是5C．若不等式的解集為，則D．“”是“”的充要條件10．已知函數，給出下列四個選項，正確的有（

）A．函數的最小正周期是B．函數在區間上是減函數C．函數的圖象關于點對稱D．函數的圖象可由函數的圖象向左平移個單位，再向下平移1個單位得到11．如圖，在棱長為4的正方體中，E，F分別是棱，的中點，P是正方形內的動點，則下列結論正確的是（

）A．若平面，則點P的軌跡長度為B．若平面，則三棱錐的體積為定值C．若，則點P的軌跡長度為D．若P是棱的中點，則三棱錐的外接球的表面積是三、填空題12．若函數的定義域是，則函數的定義域是．13．已知函數，則不等式的解集為.14．若過點的直線是曲線和曲線的公切線，則．四、解答題15．某市某中學有A，B兩個餐廳為老師與學生們提供午餐與晚餐服務，王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統計如下：假設王同學、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．(1)估計一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；(2)記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數，求X的分布列和數學期望；(3)假設M表示事件“A餐廳推出優惠套餐”，N表示事件“某學生去A餐廳就餐”，，已知推出優惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．16．已知函數是定義在上的奇函數，且(1)求的值；(2)用定義法判定的單調性；(3)求使成立的實數的取值范圍.17．已知函數．(1)當時，設函數，求函數的單調區間和極值；(2)設是的導函數，若對任意的恒成立，求a的取值范圍．18．如圖，且且且，平面，．(1)證明：；(2)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出點的位置，若不存在，說明理由．19．已知函數，其中為自然對數的底數．(1)當時，求的單調區間；(2)若方程有兩個不同的根．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．參考答案：1．D【詳解】，或，所以或=.2．A【詳解】由可得，由可得或，故能得到，同時也無法推出，故“”是“”的充分不必要條件，3．B【詳解】，當且僅當時，取“”成立，4．D【詳解】易知，即；而，所以，即；又，即；即可得.5．C【詳解】由于是定義在R上的偶函數，所以有f-x=f因為，，所以，又因為在0,+∞上單調遞增，所以，即.6．C【詳解】由題意知，問題等價于f'x>0在區間上有解，即有解，而，由二次函數的性質知，即.7．B【詳解】函數的最小正周期為，，得，則，將的圖象向左平移個單位長度，所得圖象關于軸對稱，則，圖象關于軸對稱，，則，，當時，，當時，8．C【詳解】，對于①：當時，在和上，f'x>0，函數y=fx單調遞增，在上，f'x<0，函數y=fx單調遞減，且，，若，則，此時函數y=fx只有一個零點，故①錯誤；對于②：當時，在和0,+∞上，f'x>0，函數y=fx單調遞增，在上，對于③：當時，由①知，函數y=fx在區間0,1上單調遞減，故，故存在實數，，使得函數y=fx在區間上存在最大值1，故③正確；對于④：當時，，故點為曲線y=fx的對稱中心，故④9．AC【詳解】對于A，命題“，使得”的否定是“，都有”，故A正確；對于B，當時，，當且僅當，即時等號成立，因為，所以，故B錯誤；對于C，因為不等式的解集為，所以和2是的兩根，且，故，，解得，，所以，故C正確；對于D，當時，成立；當時，成立，不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故D錯誤.10．AB【詳解】A選項，，故的最小正周期為，A正確；B選項，時，，由于在上單調遞減，故在區間上為減函數，B正確；C選項，當時，，故，所以關于中心對稱，C錯誤；D選項，的圖象向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到，D錯誤.11．ABD【詳解】解：對A選項，如圖，分別取，的中點N，M，則易得，，，，，平面，平面，從而易得平面平面，又P是正方形內的動點，且平面，∴P點的軌跡為線段，又，∴A選項正確；對B選項，由A選項分析可知P點的軌跡為線段，，∴三角形的面積為定值，又D到平面的距離也為定值，∴三棱錐的體積為定值，∴B選項正確；對C選項，如圖，若，又，且平面，則，∴P點的軌跡是正方形內以為圓心，1為半徑的四分之一圓弧，∴P的軌跡長度為，∴C選項錯誤；對D選項，如圖，若P是棱的中點，取的中點G，的中點H，則，∴G到E，F，P的距離相等，又平面，∴三棱錐的外接球的球心O在上，設，則，又，，設三棱錐的外接球的半徑為R，則，∴在與中，根據勾股定理可得：，解得，∴，∴三棱錐的外接球的表面積是，∴D選項正確.12．【詳解】由函數的定義域為，則函數有意義，則滿足，解得，即函數的定義域為.13．【詳解】由得，所以函數是R上的增函數，又由得函數是奇函數，則由得，所以，解得.14．【詳解】設直線與曲線的切點為，由，得切線方程為，又，所以，將點代入，有，解得（負值舍去），所以切線方程為，設切線與曲線的切點為，又，所以，，，消去、，得，令，，當且僅當時，等號成立，即函數在0,+∞上單調遞增，又f1=0，所以方程的實數解為，故有，解得.15．【詳解】（1）設事件C為“一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，因為30天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數為，所以．（2）由題意知，王同學午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.3，王同學午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，張老師午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2，張老師午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.4，記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數，則X的所有可能取值為1、2，所以，，所以X的分布列為X12P0.10.9所以X的數學期望（3）證明：由題知，所以，所以，所以，即：，所以，即.16．【詳解】（1）因為函數是定義在上的奇函數，所以，得，解得，驗證：當時，.由題意，的定義域關于原點對稱.且任意，都有，所以是奇函數，滿足題意.故.（2）在上是增函數.由（1）知，，.證明：設，且，則，，，，，，∴fx在上是增函數.（3），因為是定義在上的奇函數，所以，則，由（2）知在上是增函數，所以，即，解得.故實數的取值范圍是.17．【詳解】（1）易知函數的定義域為；當時，可得，則的定義域為；可得，令，解得；當時，，此時在上單調遞減，當時，，此時在上單調遞增，所以在處取得極小值，無極大值；因此的單調遞減區間為，單調遞增區間為；且的極小值為，無極大值；（2）由可得；所以，即對任意的恒成立；即對任意的恒成立；設，則；當時，，此時在上單調遞減，當時，，此時在上單調遞增，因此在時取得極小值，也是最小值，即；因此只需即可，即，解得，所以a的取值范圍為.18．【詳解】（1）因為且，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為菱形，所以.因為平面，平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以.（2）由平面，平面，則，，又，故以為原點，以，，為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，則，于是，，設平面的法向量為n=x,y則，，令，得，假設線段上存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為.設，，則直線與平面所成的角的正弦值，解得：.所以線段上存在點，且時,使得直線與平面所成的角的正弦值為.19．【詳解】（1）由題意得，x∈0,+∞，則，由，解得．當時，單調遞增，當時，單調遞減；綜上，在區間0,1內單調遞增，在區間1,+∞內單調遞減；（2）（i）由，得，設，由（1）得在區間0,1內單調遞增，在區間1,+∞內單調遞減，又，當時，gx>0，且當時，，所以當時，方程有兩個不同的根，即方程有兩個不同的根，故的取值范