Page22河南省豫東南聯盟2024年1月高三數學下學期開學摸底考試一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知復數z滿意，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】依據復數模的計算以及復數的除法，即可求得答案.【詳解】由題意知復數z滿意，即，故選：C2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函數值域和定義域的求法可求得集合，由交集定義可得結果.【詳解】，，即；由對數函數定義域知：；.故選：A.3．已知等差數列，前n項和為，，則（

）．A．200 B．300 C．500 D．1000【答案】C【分析】由等差數列求和公式及可得，則由整體法可求.【詳解】設數列的首項為，公差為d，則，化簡得，．故選：C．4．2024年，我國全年貨物進出口總額391009億元，比上年增長21.4%.其中，出口217348億元，增長21.2%；進口173661億元，增長21.5%.貨物進出口順差43687億元，比上年增加7344億元.如圖是我國2017—2024年貨物進出口總額統計圖，則下面結論中不正確的是（

）A．2024年的貨物進出口總額322215億元 B．2024年的貨物進出口順差36343億元C．2017—2024年，貨物進口總額逐年上升 D．2017—2024年，貨物出口總額逐年上升【答案】C【分析】依據2017—2024年貨物進出口總額統計圖，依次分析各個選項，即可得到答案.【詳解】對于A，2024年的貨物進出口總額為億元，故A正確；對于B，2024年的貨物進出口順差為億元，故B正確；對于C，2024年的貨物進口總額為142936億元，相對于2024的貨物進口總額143254億元下降了，故C錯誤；對于D，2017—2024年，貨物出口總額逐年上升，故D正確.故選：C5．設為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據誘導公式及二倍角的正弦公式化簡，再由函數的性質可得解.【詳解】，，且為銳角，且，故選：C6．如圖是一個簡潔幾何體的三視圖，若，則該幾何體體積的最大值為（

）

A． B． C．6 D．3【答案】D【分析】首先由三視圖，確定幾何體，再利用基本不等式求體積的最大值.【詳解】依據三視圖可知，幾何體是如圖所示的三棱錐,四個頂點為長方體的頂點，則幾何體的體積，當且僅當時，等號成立，所以幾何體體積的最大值是3.故選：D7．已知在平行四邊形中，，，，，，則（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】利用向量加減法運算，對進行分解，再利用數量積公式即可求解.【詳解】因為為平行四邊形，所以，，又則，又因為，，，則，因為，解得.故選：8．下列結論不正確的是（

）A．若事務與互斥，則B．若事務與相互獨立，則C．假如分別是兩個獨立的隨機變量，那么D．若隨機變量的方差，則【答案】A【分析】由已知，選項A，依據事務與互斥，可知；選項B，依據事務與相互獨立，可知；選項C，依據分別是兩個獨立的隨機變量，可得；選項D，由，可得，即可作出推斷.【詳解】由已知，選項A，若事務與互斥，則，故該選項錯誤；選項B，若事務與相互獨立，則，故該選項正確；選項C，若分別是兩個獨立的隨機變量，那么，故該選項正確；選項D，若隨機變量的方差，則，故該選項正確；故選：A.9．已知函數，若對于隨意的實數恒有，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可將題目轉化為，即，明顯，運用參數分別和二倍角公式可得，求出右邊函數的范圍，即可得解.【詳解】對于隨意的實數恒有，即，即，明顯，當時，明顯成立；由偶函數的性質，只要考慮的狀況即可，當時，，即由，則，則題目轉化為，令，求導，故函數在上單調遞減，，即，，即，所以，解得所以實數的取值范圍是故選：A10．設，，，則、、的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用零點存在定理計算出、的取值范圍，利用對數函數的單調性可得出，即可得出、、的大小關系.【詳解】構造函數，因為函數、在上均為增函數，所以，函數為上的增函數，且，，因為，由零點存在定理可知；構造函數，因為函數、在上均為增函數，所以，函數為上的增函數，且，，因為，由零點存在定理可知.因為，則，因此，.故選：B.11．已知圓，過點的直線，，…，被該圓M截得的弦長依次為，，…，，若，，…，是公差為的等差數列，則n的最大值是（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】求出弦長的最小和最大值，依據等差數列的關系即可求出n的最大值【詳解】解：由題意在圓中∴圓心，半徑為3，過點的直線，，…，被該圓M截得的弦長依次為，，…，過圓心作弦的垂線，交圓于兩點，如下圖所示：由幾何學問得，當時，為最短弦長；為最長弦長，為6.此時，直線的解析式為：直線的解析式為：圓心到弦BC所在直線的距離：連接,由勾股定理得，∴，∴最短弦長，∵，，…，是公差為的等差數列∴設∵最長弦長為6∴解得：故選：D.12．已知點是橢圓的上頂點，分別是橢圓左右焦點，直線將三角形分割為面積相等兩部分，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，,，，先求出直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為，由，可得點M在射線上．再求出直線y＝ax+b（a＞0）和的交點N的坐標，分三種狀況探討：①若點M和點重合，求得；②若點M在點O和點之間，求得；③若點M在點的左側，求得．求并集即可得b的取值范圍．【詳解】解：因為點是橢圓的上頂點，分別是橢圓左右焦點，所以，，從而有，所以,，，由題意，三角形的面積為1，設直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為，由直線y＝ax+b（a＞0）將三角形分割為面積相等的兩部分，可得，所以，故點M在射線上．設直線y＝ax+b和的交點為N，則由可得點N的坐標為．①若點M和點重合，如圖：則點N為線段的中點，故N，把、N兩點的坐標代入直線y＝ax+b，求得a＝b．②若點M在點O和點之間，如圖：此時，點N在點和點之間，由題意可得三角形的面積等于，即，即，可得a，求得，故有．③若點M在點的左側，則，由點M的橫坐標，求得b＞a．設直線y＝ax+b和的交點為P，則由求得點P的坐標為，此時，由題意可得，三角形APN的面積等于，即，即，化簡可得．由于此時b＞a＞0，所以．兩邊開方可得，所以，化簡可得，故有．綜上，b的取值范圍應是.故選：B.二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．與函數在點處具有相同切線的一個函數的解析式是__________．【答案】（答案不唯一）【分析】先求出在點處的切線為，再構造，經檢驗滿意要求.【詳解】，故，則函數在點處的切線為，不妨令，，故在上，，故，則函數在點處的切線為，滿意要求.故答案為：14．杭州亞運會啟動志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人報名參與了三個項目的志愿者工作，每個項目需1名或2名志愿者，若甲不能參與項目，乙不能參與、項目，那么共有______種不同的志愿者選拔方案.【答案】10【分析】由題意可得乙肯定參與項目，再分項目只有一個人和項目有2人兩種狀況探討，再依據分組安排問題即可得出答案按.【詳解】解：由題意可得乙肯定參與項目，若項目只有一個人時，即為乙，則先將甲、丙、丁分為兩組，有種，再將兩組安排到兩個項目，有種，則有種不同的志愿者選拔方案，若項目有2人時，又甲不能參與項目，則只能從丙、丁中選1人和乙組隊到項目，有種，再將剩下的2人安排到兩個項目，有種，則有種不同的志愿者選拔方案，綜上，共有種不同的志愿者選拔方案.故答案為：10.15．在中，內角，，的對邊分別為，，，邊的中點為，線段的中點為，且，則____________.【答案】【分析】由向量的代數運算和數量積公式，可得，再利用同角三角函數的關系及正余弦定理角化邊，由計算即可.【詳解】邊的中點為，線段的中點為，∴，又，∴，即，由同角三角函數的關系及正余弦定理，有：.故答案為：16．四棱臺的上底面是邊長為2的正方形，下底面是邊長為3的正方形，四條側棱的長均為，則該四棱臺的體積為______.【答案】##【分析】如圖，過作，垂足為E，求出、，利用相像三角形的性質求出，結合錐體的體積公式分別求出四棱錐和的體積即可.【詳解】如圖，該四棱臺為，四棱錐的高交于，交于，由題意知，，過作，垂足為E，則，又，所以，在四棱錐中，，所以，而，解得，所以四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，所以四棱臺的體積為.故答案為：.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據要求作答．（一）必考題：共60分．17．已知數列，，數列滿意．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求，再代入即可求數列的通項公式；（2）由（1）可知，再利用錯位相減法求和.【詳解】（1），，又，．（2）由（1）知，，，①，②，故①-②得．，.18．某校為減輕暑假家長的負擔，開展暑期托管，每天下午開設一節投籃趣味競賽．競賽規則如下：在A，B兩個不同的地點投籃．先在A處投籃一次，投中得2分，沒投中得0分；再在B處投籃兩次，假如連續兩次投中得3分，僅投中一次得1分，兩次均沒有投中得0分．小明同學打算參賽，他目前的水平是在A處投籃投中的概率為p，在B處投籃投中的概率為．假設小明同學每次投籃的結果相互獨立．(1)若小明同學完成一次競賽，恰好投中2次的概率為，求p；(2)若，記小明同學一次競賽結束時的得分為X，求X的分布列及數列期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；【分析】（1）將小明同學恰好投中2次分成三種狀況，分別求得概率相加與已知概率相等構造等式，解方程即可求出的值；（2）首先由題意可得得分的可能取值分別為，，，，，分別計算每種狀況的概率即可求得的分布列，最終依據數學期望的計算公式求解的數學期望即可.【詳解】（1）設小明在處投籃為事務，在處投籃分別為已知小明同學恰好投中2次，分三種狀況中中不中；中不中中；不中中中；其概率為：，解得：.（2）由題意可得得分的可能取值分別為，，，，；；；；.綜上所述可得的分布列為5321019．已知直四棱柱中，底面ABCD為菱形，E為線段上一點.(1)證明：平面；(2)若，則當點E在何處時，CE與所成角的正弦值為？【答案】(1)證明見解析；(2)詳見解析；【分析】（1）先證明平面平面，進而證明平面；（2）以D為原點建立空間直角坐標系，利用向量表示CE與所成角的正弦值為，進而求得點E位置為或【詳解】（1）直四棱柱中四邊形為平行四邊形，則又平面，平面，則平面四邊形為平行四邊形，則又平面，平面，則平面又平面，平面，則平面平面，又平面則平面（2）取中點M，連接又直四棱柱中，底面ABCD為菱形，則兩兩垂直，以D為原點，分別以所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系又，則,則，，設，令，則則，則，，設平面一個法向量為，則，，則令，則，，則設CE與所成角為則解之得或，則當或時，CE與所成角的正弦值為20．已知雙曲線：（，）的離心率為，點到其左右焦點，的距離的差為2．(1)求雙曲線的方程；(2)在直線上存在一點，過作兩條相互垂直的直線均與雙曲線相切，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）依據雙曲線離心率以及點到左、右焦點的距離之差為2，可求得a，b，c，進而求得雙曲線的標準方程；（2）依據過點作兩條相互垂直的直線與雙曲線相切，探討斜率不存在和斜率存在兩種狀況，①若其中一條切線的斜率不存在，則另一條切線的斜率為0，則不滿意條件；②若切線的斜率存在，則設其斜率為，，從而得到切線方程，再依據切線與雙曲線相切，聯立方程組，得，進而可得關于的一元二次方程，再依據兩切線相互垂直有，即可得到，再結合在直線上，推出，求解即可得到的取值范圍．【詳解】（1）依題意有雙曲線的左、右焦點為，，則，得，則，所以雙曲線的方程為；（2）①若其中一條切線的斜率不存在，則另一條切線的斜率為0，則不滿意條件；②若切線的斜率存在，則設其斜率為，，則切線方程為，聯立，消并整理得，則，化簡得，即，化成關于的一元二次方程，設該方程的兩根為，，即為兩切線的斜率，所以，即，又點在直線上，所以直線與圓有交點，所以，即，即，故的取值范圍為．【點睛】直線與圓錐曲線的位置問題，常見思路是先探討直線的斜率是否存在，再聯立直線與圓錐曲線，必要時依據的狀況得出相應的關系式，再依據題目中的其他條件，可求得參數的值或者參數之間的關系式，最終求解即可．21．已知函數．(1)探討的單調性；(2)對隨意的恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）由題知，進而分和兩種狀況探討求解即可；（2）由題知恒成立，進而令，再依據，當且僅當時等號成立得，進而得即可得答案.【詳解】（1）解：函數的定義域為，，當時，即時，在上恒成立，在上單調遞增，當時，即時，令得，所以，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；綜上，當時，在上單調遞增；當時,在上單調遞增，在上單調遞減.（2）解：因為對隨意的恒成立，即恒成立，所以恒成立，令，因為，設，則，所以，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，，即，當且僅當時等號成立，所以，，當且僅當時等號成立，令，則恒成立，所以，在上單調遞增，因為，所以，方程有解，等號能夠取到；所以，，所以，要使恒成立，則，