解題秘籍05圓的綜合問題（9種題型匯總+專題訓練+模擬預測）【題型匯總】【考情分析】圓的綜合問題在中考中常常以選擇題以及解答題的形式出現，解答題居多且分值較大，難度較高，多考查切線的性質與判定、圓中求線段長度問題和圓中最值問題，一般會用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、銳角三角函數、勾股定理、圖形變換等相關知識點以及數形結合、整體代入等數學思想.題型01切線的判定1）給出了直線與圓的公共點和經過公共點的半徑時，可直接根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明.口訣是“見半徑,證垂直”.2）給出了直線與圓的公共點，但未給出過這點的半徑時，可連接公共點和圓心，然后根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明,口訣是“連半徑,證垂直”.3）當直線與圓的公共點不明確時，先過圓心作該直線的垂線，然后根據“若圓心到直線的距離等于圓的半徑,則該直線是圓的切線”來證明.口訣是“作垂直,證相等”.1．（2024·湖北·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E在AC上，以CE為直徑的⊙O經過AB上的點D，與OB交于點F，且BD=BC．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若AD=3，AE=1，求CF【答案】(1)證明見解析；(2)π3【分析】（1）連接OD，可得△ODB≌△OCBSSS，得到∠ODB=∠OCB=90°，即得OD⊥AB（2）設⊙O的半徑為r，則OA=r+1，在Rt△OAD中由勾股定理得r+12=32+r2，可得【詳解】（1）證明：連接OD，則OD=OC，∵BD=BC，OB=OB，∴△ODB≌△OCBSSS∴∠ODB=∠OCB=90°，∴OD⊥AB．∵OD是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線；（2）解：設⊙O的半徑為r，則OA=r+1，∵∠ODB=90°，∴∠ODA=180°-90°=90°，在Rt△OAD中，O∴r+1解得r=1，∴tan∴∠AOD=60°，∴∠DOC=120°∵△ODB≌△OCB，∴∠BOD=∠BOC=60°，∴CF的長為60×【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，切線的判定，勾股定理，三角函數及弧長公式，求出∠BOD=∠BOC=60°是解題的關鍵．2．（2024·青海·中考真題）如圖，直線AB經過點C，且OA=OB，CA=CB．(1)求證：直線AB是⊙O的切線；(2)若圓的半徑為4，∠B=30°，求陰影部分的面積．【答案】(1)詳見解析(2)S【分析】本題考查了切線的判定和性質、直角三角形的性質和勾股定理、扇形面積的計算等知識，解題的關鍵是掌握切線的判定與性質．（1）利用等腰三角形的性質證得OC⊥AB，利用切線的判定定理即可得到答案；（2）在Rt△OCB中，利用直角三角形的性質和勾股定理求得OB=8，BC=43，再根據【詳解】（1）證明：連接OC，∵在△OAB中，OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，又∵OC是⊙O的半徑，∴直線AB是⊙O的切線；（2）解：由（1）知∠OCB=90°，∵∠B=30°，∴∠COB=90°-30°=60°，∴S扇形在Rt△OCB中，∠B=30°，OC=4∴OB=8，∴BC=O∴S△OCBS陰影3．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中點，⊙O與AB相切于點D，與BC交于點E，F，DG是⊙O的直徑，弦GF的延長線交AC于點H，且GH⊥AC．

(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若DE=2，GH=3，求DE的長l．【答案】(1)見解析(2)2π【分析】（1）連接OA，過點O作OM⊥AC于點M，根據等腰三角形的性質得AO為∠BAC的平分線，再根據⊙O與AB相切于點D，DG是⊙O的直徑得OM=OD，進而根據切線的判定可得到結論；（2）過點E作EN⊥AB于點N，先證△ODE≌△OGF得到DE=GF=2，進而得到FH=1，再證△BNE≌△CHF得到EN=FH=1，然而在Rt△DEN中利用三角函數可求出∠EDN=30°，進而得△ODE為等邊三角形，據此得∠DOE=60°，OD=OE=DE=2，則∠DOF=120°【詳解】（1）證明：連接OA，過點O作OM⊥AC于點M，∵AB=AC，O是BC的中點，∴AO為∠BAC的平分線，∵⊙O與AB相切于點D，DG是⊙O的直徑，∴OD為⊙O的半徑，∴OD⊥AB，又OM⊥AC，∴OM=OD，即OM為⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：過點E作EN⊥AB于點N，∵點O為⊙O的圓心，∴OD=OG,OE=OF，在△ODE和△OGF中，OD=OG∠DOE=∠GOF∴△ODE≌△OGF(SAS∴DE=GF，∵DE=2,GH=3，∴GF=2，∴FH=GH-GF=3-2=1，∵AB=AC，O是BC的中點，∴OB=OC,∠B=∠C，又OE=OF，∴BE=CF，∵GH⊥AC,EN⊥AB，∴∠BNE=∠CHF=90°，在△BNE和△CHF中，∠BNE=∠CHF∠B=∠C∴△BNE≌△CHF(AAS∴EN=FH=1，在Rt△DEN中，DE=2,EN=1∴sin∴∠EDN=30°，∵OD⊥AB，∴∠ODE=90°-∠EDN=90°-30°=60°，又OD=OE，∴△ODE為等邊三角形，∴∠DOE=60°,OD=OE=DE=2，∴∠DOF=180°-∠DOE=180°-60°=120°，∴l(xiāng)=60π×2【點睛】此題主要考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，弧長的計算公式，熟練掌握切線的判定和性質，全等三角形的判定和性質是解答此題的關鍵．4．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AC與半圓O相切于點D，底邊BC與半圓O交于E，F兩點．(1)求證：AB與半圓O相切；(2)連接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC【答案】(1)見解析(2)4【分析】本題考查了等腰三角形三線合一，角平分線的判定與性質，解直角三角形，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．（1）連接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，根據等腰三角形三線合一可知，AO⊥BC，AO平分∠BAC，結合AC與半圓O相切于點D，可推出ON=OD，得證；（2）由題意可得出∠OAC=∠COD，根據OF=OD，在Rt△ODC中利用勾股定理可求得OD的長度，從而得到OC的長度，最后根據sin【詳解】（1）證明：連接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，如圖∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點∴AO⊥BC，AO平分∠BAC∵AC與半圓O相切于點D∴OD⊥AC由∵ON⊥AB∴ON=OD∴AC是半圓O的切線（2）解：由（1）可知AO⊥BC，OD⊥AC∴∠AOC=90°，∠ODC=90°∴∠OAC+∠OCA=180°-∠AOC=90°，∠COD+∠OCA=180°-∠ODC=90°∴∠OAC=∠COD∴又∵OF=OD，CF=2∴在Rt△ODC中，CD=4，∵OC∴(OD+2)解得：OD=3∴sin【模擬預測】5．（2025·遼寧撫順·一模）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，∠C=60°，點D在BO的延長線上，且AB=AD．

(1)求證：DA是⊙O的切線；(2)若，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π和根號）【答案】(1)見解析(2)4π【分析】本題考查了切線的判定定理、扇形的面積公式，勾股定理，直角三角形的性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．（1）連接OA，證明∠OAD=90°即可得證；（2）過點O作OE⊥AB，垂足為點E，求出S△AOB=12AB?OE=【詳解】（1）證明：如答圖1，連接OA，

∵∠C=60°，∴∠AOB=120°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∵在△AOB中，∠AOB+∠OBA+∠OAB=180°，∴∠OBA=∠OAB=30°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°，∵在△ABD中，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∴∠BAD=120°，∵∠BAD=∠OAB+∠OAD，∴∠OAD=90°，即OA⊥AD，∵OA是半徑，∴DA是⊙O的切線．（2）解：過點O作OE⊥AB，垂足為點E，

∴∠OEB=90°，AB=2BE，∵在Rt△OEB中，∠OBE=30°，OB=2∴OE=1，∴BE∴BE=3∴AB=2BE=23∴S∵S∴S答：圖中陰影部分的面積為4π36．（2025·湖北黃石·一模）如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，作OD⊥AB交BC于點E，且DE=DC．

(1)求證：直線CD是⊙O的切線．(2)如果OA=23，OE=2【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）連接CO，可得∠DCE=∠DEC（2）先根據正弦得到∠DEC=∠OEB=60°，即可求出DC=CE=DE=OE=2，然后根據S陰影【詳解】（1）證明：連接CO，

∵DC=DE，∴∠DCE=∵OD⊥AB，∴∠DOB=90°∴∠B+∴∠BEO=∵CO=BO，∴∠B=∴∠BCO+即∠DCO=90∴DC為⊙O的切線；（2）解：∵OA=OB=23，OE=2∴tan∠OEB∴∠DEC=∠OEB=60°，∴△CDE是等邊三角形，∴∠DCE=∠D=60°，DC=CE=DE，又∵∠DCO=90°，∴∠ECO=∠EOC=30°，∴DC=CE=DE=OE=2，∴OD=4，∴S陰影【點睛】本題考查切線的判定，等邊三角形的判定和性質，扇形的面積，等腰三角形的性質，解直角三角形，掌握切線的判定和性質是解題的關鍵．7．（22-23九年級上·江西贛州·期末）（1）課本再現：如圖1，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．則圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關系？請說明理由，（2）知識應用：如圖，PN、PD、DE分別與⊙O相切于點A、B、C，且DE∥PN，連接OD、OP，延長PO交⊙O于點M，交DE于點E，過點M作MN∥OD交PN于N．①求證：MN是⊙O的切線；②當OD=6cm，OP=8cm時，求【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②半徑是4.8cm，圖中陰影部分的面積是【分析】本題考查圓的切線的證明、扇形的面積計算等，解題的關鍵在于熟練掌握圓的知識點，切線的證明與性質，圓中的相關面積計算等．（1）連接OA和OB，根據切線的性質，可得Rt△AOP≌（2）①根據題意求證MN∥OD，即可得出MN⊥OM，即可得出答案；②根據S△POD=1【詳解】（1）證明：如圖1，連接OA和OB，∵PA和PB是⊙O的兩條切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP．又∵OA=OB，OP=OP．∴Rt∴PA=PB，∠APO=∠BPO．（2）①證明：∵PN、PD、DE分別與⊙O相切于點A、B、C，∴OD、OP分別平分∠PDE、∠DPN．又∵DE∥PN．∴∠PDE+∠DPN=180°．∴∠ODP+∠DPO=∴∠POD=90°．又∵MN∥OD，∴MN⊥OM，又∵MN經過半徑OM的外端點M，∴MN是⊙O的切線．②解：連接OB，則OB⊥PD，∵OD=6cm，OP=8∴PD=O∴S△POD∴OB=PD=4.8，即⊙O的半徑為4.8cm∴S綜上所述：⊙O的半徑是4.8cm，圖中陰影部分的面積是24-5.76π題型02圓中求線段長度1）確定位置.確定所求線段所在的三角形.2）作輔助線.利用圓的相關定理和性質作輔助線.3）分析計算.分析題目條件并選取合適的方法進行計算.8．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC,BD是⊙O的兩條弦，點C與點D在AB的兩側，E是OB上一點（OE>BE），連接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．(1)如圖1，若BE=1，CE=5，求⊙O(2)如圖2，若BD=2OE，求證：BD∥【答案】(1)3(2)見解析【分析】（1）利用等邊對等角、三角形內角和定理求出∠OBC=∠OCB=12180°-∠BOC，結合∠BOC=2∠BCE，可得出∠OBC+∠BCE=90°（2）法一：過O作OF⊥BD于F，利用垂徑定理等可得出BF=12BD=OE，然后利用HL定理證明Rt法二：連接AD，證明△CEO∽△ADB，得出∠COE=∠ABD，然后利用平行線的判定即可得證【詳解】（1）解∶∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=1∵∠BOC=2∠BCE，∴∠OBC=12180°-2∠BCE∴∠OEC=90°，∴OC∴OC解得OC=3，即⊙O的半徑為3；（2）證明：法一：過O作OF⊥BD于F，∴BF=1∵BD=2OE∴OE=BF，又OC=OB，∠OEC=∠BFO=90°，∴Rt△CEO≌∴∠COE=∠OBF，∴BD∥法二：連接AD，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴AD=A∴OCAB∴△CEO∽△ADB，∴∠COE=∠ABD，∴BD∥【點睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，全等三角形的判定與性質等知識，明確題意，靈活運用所學知識解題是解題的關鍵．9．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，且AB⊥CD，垂足為E，AB=20，CD=12，在BA的延長線上取一點F，連接CF，使∠FCD=2∠B．

(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)求EF的長．【答案】(1)見解析(2)9【分析】本題考查了切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵．（1）連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠B=∠BCO，等量代換得到∠FCD=∠COE，得到∠OCF=90°，根據切線的判定定理得到結論；（2）根據垂徑定理得到CE=12CD=6【詳解】（1）證明：連接OC，

∵OC=OB，∴∠B=∠BCO，∴∠AOC=∠B+∠BCO=2∠B，∵AB⊥CD，∴∠CEO=90°，∴∠COE+∠OCE=90°，∵∠FCD=2∠B，∴∠FCD=∠COE，∴∠FCD+∠OCE=90°，∴∠OCF=90°，∵OC是⊙O的半徑，∴CF是⊙O的切線；（2）解：∵AB是直徑，CD是弦，且AB⊥CD，∴CE=1∵AB=20，∴OC=10，∴OE=O∵∠OCF=∠OEC=90°，∠COE=∠FOC，∴△OCE∽△OFC，∴OCOF∴10OF∴OF=25∴EF=OF-OE=2510．（2024·西藏·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，連接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延長線于點E．(1)求證：CE是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為5，sinD=35【答案】(1)見解析(2)BD=【分析】（1）根據角平分線的定義得出∠ACO=∠DCO=12∠ACD，根據圓周角定理得出∠ABD=∠ACD=2∠ACO，證明CO∥DE（2）根據BC=BC，得出∠A=∠D，解直角三角形得出BC=AB×sinA=10×35=6，證明∠ECB=∠A，解直角三角形得出BE=【詳解】（1）證明：∵CO平分∠ACD，∴∠ACO=∠DCO=1∵AD=∴∠ABD=∠ACD=2∠ACO，∵AO=CO，∴∠ACO=∠CAO，∴∠COB=∠ACO+∠CAO=2∠ACO，∴∠ABD=∠COB，∴CO∥∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∵CO∥∴∠OCE=180°-∠CED=90°，∴OC⊥CE，∵OC為半徑，∴CE是⊙O的切線；（2）解：∵⊙O的半徑為5，∴AB=2×5=10，∵BC=∴∠A=∠D，∴sinA=∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴BC=AB×sin∵∠ECB+∠BCO=∠BCO+∠ACO=90°，∴∠ECB=∠ACO，∵∠ACO=∠A，∴∠ECB=∠A，∴sin∠ECB=即BEBC∴BE=3∴CE=B∵sinD=∴CD=5∴DE=C∴BD=DE-BE=32【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，解直角三角形的相關計算，勾股定理，等腰三角形的性質，余角的性質，平行線的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相關的判定和性質．11．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠C=120°．點E在射線BC上運動（不與點B，點C重合），△AEB關于AE的軸對稱圖形為△AEF．(1)當∠BAF=30°時，試判斷線段AF和線段AD的數量和位置關系，并說明理由；(2)若AB=6+63，⊙O為△AEF的外接圓，設⊙O的半徑為r①求r的取值范圍；②連接FD，直線FD能否與⊙O相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由．【答案】(1)AF=AD，AF⊥AD(2)①r≥3+33且r≠23+6；【分析】（1）由菱形的性質可得∠BAD=∠C=120°，AB=AD，再結合軸對稱的性質可得結論；（2）①如圖，設△AEF的外接圓為⊙O，連接AC交BD于H．連接OA，OE，OF，OC，證明△ABC為等邊三角形，A,E,F,C共圓，∠AOE=2∠AFE=120°，O在BD上，∠AEO=∠EAO=30°，過O作OJ⊥AE于J，當AE⊥BC時，AE最小，則AO最小，再進一步可得答案；②如圖，以A為圓心，AC為半徑畫圓，可得B,C,F,D在⊙A上，延長CA與⊙A交于L，連接DL，證明∠CFD=180°-30°=150°，可得∠OFC=60°，△OCF為等邊三角形，證明∠BAF=120°-30°=90°，可得：∠BAE=∠FAE=45°，BE=EF，過E作EM⊥AF于M，再進一步可得答案．【詳解】（1）解：AF=AD，AF⊥AD；理由如下：∵在菱形ABCD中，∠C=120°，∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，∵∠BAF=30°，∴∠FAD=120°-30°=90°，∴AF⊥AD，由對折可得：AB=AF，∴AF=AD；（2）解：①如圖，設△AEF的外接圓為⊙O，連接AC交BD于H．連接OA，OE，OF，OC，∵四邊形ABCD為菱形，∠BCD=120°，∴AC⊥BD，∠BCA=60°，BA=BC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠AFE=60°=∠ACB，∴A,E,F,C共圓，∠AOE=2∠AFE=120°，O在BD上，∵AO=OE，∴∠AEO=∠EAO=30°，過O作OJ⊥AE于J，∴AJ=EJ，AO=2∴AO=3當AE⊥BC時，AE最小，則AO最小，∵AB=6+63，∠ABC=60°∴AE=AB?sin∴AO=3∵點E不與B、C重合，∴AE≥9+33，且AE≠6+6∴r的取值范圍為r≥3+33且r≠2②DF能為⊙O的切線，理由如下：如圖，以A為圓心，AC為半徑畫圓，∵AB=AC=AF=AD，∴B,C,F,D在⊙A上，延長CA與⊙A交于L，連接DL，同理可得△ACD為等邊三角形，∴∠CAD=60°，∴∠CLD=30°，∴∠CFD=180°-30°=150°，∵DF為⊙O的切線，∴∠OFD=90°，∴∠OFC=60°，∵OC=OF，∴△OCF為等邊三角形，∴∠COF=60°，∴∠CAF=1∴∠DAF=60°-30°=30°，∴∠BAF=120°-30°=90°，由對折可得：∠BAE=∠FAE=45°，BE=EF，過E作EM⊥AF于M，∴設AM=EM=x，∵∠EFM=60°，∴FM=3∴x+3解得：x=63∴FM=3∴BE=EF=2FM=12．【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，圓周角定理的應用，銳角三角函數的應用，勾股定理的應用，切線的性質，本題難度很大，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．【模擬預測】12．（2025·陜西·模擬預測）如圖，△ABC內接于⊙O,AD是⊙O的直徑，C是AD的中點，過點D作⊙O的切線分別交AB、AC的延長線于點E、(1)求證：∠ACB=∠E；(2)若AB=4,BE=1，求BC的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）連接CD．證明△ACD是等腰直角三角形得∠CAD=∠CDA=45°．由EF是⊙O的切線得∠ADF=∠ADE=90°，求出∠F=45°，然后證明△BAC∽△FAE可得∠ACB=∠E；（2）證明△ACD≌△FCDASA得AD=FD,AC=CF，證明△BAC∽△FAE得ACAE=ABAF【詳解】（1）證明：連接CD．∵C是AD的中點，∴AC?∴AC=CD．∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=∠DCF=90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=∠CDA=45°．∵EF是⊙O的切線，∴∠ADF=∠ADE=90°，∴∠CDF=90°-45°=45°，∠F=90°-45°=45°．∵AC=∴∠ABC=∠ADC=45°，∴∠ABC=∠F，∵∠BAC=∠FAE，∴△BAC∽△FAE，∴∠ACB=∠E；（2）解：∵∠ADC=∠CDF=45°，CD=CD，∠ACD=∠DCF=90°，∴△ACD≌△FCDASA∴AD=FD,AC=CF，∵AB=4,BE=1，∴AE=5．∵△BAC∽△FAE，∴ACAE∴AC5∴AC=10∴AF=210∴AD=DF=2∴DE=A∴EF=DE+DF=35∴105∴BC=32【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，熟練掌握圓的性質是解答本題的關鍵．13．（2025·廣東廣州·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，D是AC上的點，弦BD和CE交于點F，且DF=DC,EH是⊙O的切線，EH∥AB，連結AC,AE,BE．(1)求證：EB=EF；(2)求證：F是△ABC的內心；(3)若CE=72,BC=6，求直徑【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)10【分析】（1）根據等腰三角形的性質得∠DCF=∠DFC，再根據對頂角相等及同弧所對的圓周角相等得∠DBE=∠EFB，即可證明EB=EF；（2）連結OE．證明CF平分∠ACB，BF平分∠ABC，即可得出結論；（3）解法一：過點E作EM⊥AC于點M，過點E作EN⊥CB交CB的延長線于點N．證明Rt△AME≌Rt△BNEHL，得到解法二：將△BCE繞點E逆時針旋轉90°得到△AC'E．證明C',A,C三點共線，求得【詳解】（1）證明：∵DF=DC，∴∠DCF=∠DFC，∴∠DCF=∠BFE，∵DE∴∠DCF=∠FBE，∴∠BFE=∠FBE，∴EB=EF．（2）證明：如圖①，連結OE．∵EH是⊙O的切線，∴OE⊥EH，∵EH∥AB，∴OE⊥AB．又∵在⊙O中，OE=OB，∴△OBE是等腰直角三角形，∴∠OBE=∠OEB=45°，∵AE∴∠ACE=∠OBE=45°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠AEB=90°，∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACE，即CF平分∠ACB．由（1）得：EB=EF，∴設∠BFE=∠FBE=x，∵∠CBF=∠BFE-∠BCE=x-45°，∠ABD=∠FBE-∠OBE=x-45°，∴∠CBF=∠ABD，即BF平分∠ABC．∴F是△ABC的內心．（3）解法一：如圖②，過點E作EM⊥AC于點M，過點E作EN⊥CB交CB的延長線于點N．∴∠AME=∠N=90°∵CF平分∠ACB,EM⊥AC,EN⊥CB，∴EM=EN．由（2）得∠AEB=90°,∠OBE=45°，∴∠OAE=180°-∠AEB-∠OBE=45°，∴∠OAE=∠OBE，∴AE=BE．在Rt△AME和Rt△BNE中，∴Rt∴AM=BN．∵EM⊥AC,EN⊥CB,EM=EN，∴四邊形EMCN是正方形．在正方形EMCN中，∵CE=72∴CM=CN=2∴AM=BN=CN-BC=7-6=1，∴AC=CM+AM=7+1=8．在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=∴直徑AB的長為10．解法二：如圖③，將△BCE繞點E逆時針旋轉90°得到△AC由（2）設∠FBE=x,∠CBF=x-45°，∴∠CBE=∠CBF+∠FBE=2x-45°，∵∠CBE+∠CAE=180°，∴∠CAE=180°-∠CBE=225°-2x．由旋轉的性質得∠CC∴∠C∴C∵C∴CC∴AC=CC在中，由勾股定理得．直徑的長為10．【點睛】本題考查等腰三角形的判定與性質，圓周角定理，切線的性質，三角形的內心，全等三角形的判定與性質，勾股定理，旋轉的性質．熟練掌握相關性質是解題的關鍵．14．（2025·湖南婁底·模擬預測）如圖，點A在以BC為直徑的⊙O上，∠ABC的角平分線與⊙O交于點D，與AC交于點E，過點C作AB的平行線交BD于點F．

(1)求證：BD=DF；(2)連接AF，若AF與⊙O相切，BC2=-4+4【答案】(1)見解析(2)DE=2【分析】（1）角平分線結合平行線推出BC=CF，圓周角定理推出CD⊥BF，三線合一即可得出結論；（2）連接AO并延長，交⊙O于點G，連接DG，先證明△ABC∽△CAF，得到BC?CF=AF?AC，設AF=x，勾股定理求出AC的長，列出方程求出AF的長，再證明△AFB∽△DFA，得到AF2=DF?FB=8，結合BF=2DF，求出DF的長，勾股定理求出CD2【詳解】（1）證明：∵∠ABC的角平分線與⊙O交于點D，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CF，∴∠ABD=∠BFC，∴∠CBD=∠BFC，∴BC=CF，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，∴CD⊥BF，∴BD=DF；（2）連接AO并延長，交⊙O于點G，連接DG，

∵AF是⊙O的切線，∴∠OAF=∠OAC+∠CAF=90°，∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC=∠BAO+∠OAC=90°，∴∠BAO=∠CAF，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=∠CAF，∵AB∥CF，∴∠ACF=∠BAC=90°，∴△ABC∽△CAF，∴BCAF∴BC?CF=AF?AC，由（1）知BC=CF，∴BC設AF=x，則：AC=A∴xx∴x2∴x4解得：x2=8或∴x=8∴AF=22∵AG為直徑，∠ADG=90°，∴∠DAG+∠AGD=90°，∵∠OAF=∠OAD+∠DAF=90°，∴∠DAF=∠AGD，又∵∠AGD=∠DBA，∴∠DBA=∠DAF，∵∠AFB=∠AFD，∴△AFB∽△DFA，∴AFDF∴AF∵FB=2DF，∴2DF∴DF=2，在Rt△CDF中，C∵CF∥AB，∴∠DBA=∠CFB，∵∠DBA=∠ACD，∴∠ACD=∠CFE，∵∠CDE=∠CDF=90°，∴△CED∽△FCD，∴CDDF∴CD2=DF?DE∴DE=25【點睛】本題考查圓周角定理，切線的性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理等知識點，熟練掌握相關知識點，添加輔助線，導角，證明三角形相似，是解題的關鍵．15．（2025·安徽·模擬預測）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為D，弦CE與AB交于點F，連接AE，AC，BC．

(1)求證：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF【答案】(1)見解析(2)CF=【分析】本題考查垂徑定理，相似三角形的判定和性質，圓周角定理．（1）由垂徑定理，得AD=BD，AC=BC，由圓周角定理，得（2）可證△ACF∽△ECA得ACEC=CFCA；Rt△ADC【詳解】（1）證明：∵OC⊥AB，OC是⊙O的半徑，∴AD=BD，AC=∴∠BAC=∠E（同弧或等弧所對的圓周角相等）；（2）解：∵∠BAC=∠E，又∵∠ACF=∠ECA，∴△ACF∽△ECA，∴ACEC∵AB=8，∴AD=BD=4，在Rt△ADC中∠ADC=90°，AD=4，CD=2∴AC=A即25∴CF=2題型03求圓中陰影部分面積解題方法：求與圓有關的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是轉化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積．16．（2024·寧夏·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，點D是△ABC的內心，連接AD并延長交⊙O于點E，過點E作⊙O的切線交AB的延長線于點F．(1)求證：BC∥EF；(2)連接CE，若⊙O的半徑為2，sin∠AEC=12【答案】(1)見解析(2)2【分析】本題考查了三角形的內切圓與內心，三角函數的定義，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算．（1）連接OE，交BC于點G，根據等腰三角形的性質得到∠OAE=∠OEA，由D為△ABC的內心，得到∠OAE=∠CAE，求得OE∥AC，根據圓周角定理得到∠∠ACB=90°，求得∠BGO=90°，根據切線的性質得到（2）根據三角函數的定義得到∠AEC=30°，求得∠ABC=∠AEC=30°，求得EF=OE?tan【詳解】（1）證明：連接OE，交BC于點G，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，又∵D為△ABC的內心，∴∠OAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BGO=90°又∵EF為⊙O的切線且OE為⊙O的半徑，∴∠FEO=90°，∴∠BGO=∠FEO，∴BC∥EF；（2）解：∵sin∴∠AEC=30°，∴∠ABC=∠AEC=30°，∴∠BOE=60°,∠EFO=30°，∴EF=OE?tan∴==2317．（2024·山東德州·中考真題）如圖，圓⊙O1與⊙O2都經過A，B兩點，點O2在⊙O1上，點C是AO2(1)求證：∠ACB=2∠P(2)若∠P=30°，AB=23①求⊙O②求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)①2②2【分析】對于（1），連接AO2,BO2，在⊙O1對于（2）①，由∠P=30°結合（1），可得∠ACB=∠AO2B=60°，再連接AO1,BO1，作O1D⊥AB，可得對于②，先說明△AO2B是等邊三角形，即可求出其面積，在⊙【詳解】（1）如圖所示．連接AO在⊙O1中，在⊙O2中，∴∠ACB=∠AO（2）①，∵∠P=30°，∴∠ACB=∠AO連接AO1,BO1，過點O1作∴△AO1B=120°∴∠AO在Rt△AO1即32∴AO所以⊙O1的半徑是②∵AO∴△AO∴AO∵AO∴DO2垂直平分AB，DO∴點D,O在Rt△ADO2在Rt△ADO1在⊙O2中，AB?上標點E在⊙O1=4π【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，線段垂直平分線的性質和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面積，等邊三角形的性質和判定，構造輔助線是解題的關鍵．18．（2024·四川內江·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是BD的中點，過點C作AD的垂線，垂足為點E．

(1)求證：△ACE∽△ABC；(2)求證：CE是⊙O的切線；(3)若AD=2CE，OA=2【答案】(1)見解析(2)見解析(3)1【分析】+（1）分別證明∠ACB=∠AEC，∠BAC=∠EAC，從而可得結論；（2）連接OC，證明∠EAC=∠ACO，可得OC∥AE，再進一步可得結論；（3）連接DB、OD，證明四邊形DECF是矩形，可得DF=EC，再證明AD=DB，可得∠DAB=∠DBA=45°，可得∠DOA=2∠DBA=90°，利用S陰影部分=【詳解】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑∴∠ACB=90°，又∵CE⊥AD，∴∠AEC=90°，∴∠ACB=∠AEC，∵C是BD的中點，∴BC=∴∠BAC=∠EAC，∴△ACE∽△ABC；（2）證明：連接OC

∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠ACO，∴OC∥AE，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∵OC是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線；（3）解：連接DB、OD

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵∠AEC=∠ECO=90°，∴四邊形DECF是矩形，∴DF=EC，∵OC是半徑，C是BD的中點，∴DF=FB，OC⊥DB，即DB=2DF=2EC，∵AD=2CE，∴AD=DB，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴∠DOA=2∠DBA=90°，∴S【點睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的判定及扇形的面積公式，熟練地掌握相似三角形的判定和切線的判定是解決本題的關鍵。19．（2024·山東·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=60°，AB=BC=2AD=2．以點A為圓心，以AD為半徑作DE交AB于點E，以點B為圓心，以BE為半徑作EF所交BC于點F，連接FD交EF于另一點G，連接(1)求證：CG為EF所在圓的切線；(2)求圖中陰影部分面積．（結果保留π）【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題考查平行四邊形的性質和判定，圓的性質，扇形面積，等邊三角形的性質等知識點，證明四邊形ABFD是平行四邊形是解題關鍵．（1）根據圓的性質，證明BF=BE=AD=AE=CF，即可證明四邊形ABFD是平行四邊形，再證明△BFG是等邊三角形，再根據圓的切線判定定理即可證得結果．（2）先求出平行四邊形的高DH，根據扇形面積公式三角形面積公式，平行四邊形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：連接BG如圖，根據題意可知：AD=AE，BE=BF又∵AB=BC，∴CF=AE=AD，∵BC=2AD，∴BF=BE=AD=AE=CF，∵AD∥∴四邊形ABFD是平行四邊形，∴∠BFD=∠DAB=60°，∵BG=BF，∴△BFG是等邊三角形，∴GF=BF，∴GF=BF=FC，∴G在以BC為直徑的圓上，∴∠BGC=90°，∴CG為EF所在圓的切線．（2）過D作DH⊥AB于點H，由圖可得：S陰影在Rt△AHD中，AD=1，∠DAB=60°∴DH=AD?sin∴S?ABFD由題可知：扇形ADE和扇形BGE全等，∴S扇等邊三角形BFG的面積為：12∴S20．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點D，BC與⊙O交于點E，過點C作CF∥AB，且CF=CD，連接(1)求證：BF是⊙O的切線；(2)若∠BAC=45°，AD=4，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)π-2【分析】（1）連接BD，得∠BDA=90°；利用AB=AC得到∠ABC=∠ACB，由CF∥AB得到∠FCB=∠ABC，故∠FCB=∠ACB；利用SAS證明△BCF≌△BCD，得到∠F=∠BDC=90°（2）連接OE，與BD相交于M點，根據∠BAC=45°，得△ABD是等腰直角三角形，由AD=4，得AB，OB，OE長度；△ABC和△OBE是共一底角的等腰三角形，故∠BOE=∠BAC=45°，OE∥AC，∠OMB=∠ADB=90°，【詳解】（1）連接BD∵AB是⊙O的直徑∴∠BDA=90°∴∠BDC=90°∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵CF∴∠FCB=∠ABC，∠ABF+∠F=180°∴∠FCB=∠ACB∵CF=CD，BC=BC∴△BCF∴∠F=∠BDC=90°又∵∠ABF+∠F=180°∴∠ABF=90°∴BF是⊙O的切線（2）連接OE，與BD相交于M點∵∠BDA=90°，∠BAC=45°，AD=4∴△ADB為等腰直角三角形∴BD=AD=4，AB=AD∴OB=2∴OE=OB=2∴∠OEB=∠ABC∵AB=AC，∠BAC=45°∴∠BOE=∠BAC=45°∴OE∴∠OMB=∠ADB=90°∴△OMB為等腰直角三角形∴BM=OM=2∴S【點睛】本題考查圓，全等三角形，等腰直角三角形，等腰三角形；熟練運用各種幾何知識是本題關鍵【模擬預測】21．（2024·貴州黔東南·一模）如圖，AB為⊙O的弦，CD為⊙O的直徑，AB與CD相交于點E，連接AC，BC，BD，過點B作BF⊥AC于點F．(1)求證：∠ABF=∠BCD；(2)當∠BCD=∠ACD時，求證：AB⊥CD；(3)在（2）的條件下，若AB=6，∠ABD=22.5°，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)9【分析】（1）根據圓周角定理求出∠CBD=∠CBF+∠DBF=90°，∠ABD=∠ACD，根據直角三角形的性質求出∠CBF+∠BCF=90°，則∠BCF=∠DBF，再根據角的和差即可得證；（2）根據圓周角、弧的關系求出BD=（3）結合（2）求出CD⊥AB，OE=BE=3，由勾股定理得到OB=32，再根據圖中陰影部分的面積=【詳解】（1）證明：∵CD為⊙O的直徑，∴∠CBD=∠CBF+∠DBF=90°，∵BF⊥AC，∴∠BFC=90°，∴∠CBF+∠BCF=90°，∴∠BCF=∠DBF，即∠BCD+∠ACD=∠ABF+∠ABD，∵∠ABD=∠ACD，∴∠ABF=∠BCD；（2）證明：∵∠BCD=∠ACD，∴BD=∵CD為⊙O的直徑，∴AB⊥CD；（3）解：連接OB，如圖所示：由（2）知，BD=AD，∴∠BOD=2∠ABD=45°，∵CD⊥AB，AB=6，∴BE=12AB=3∴OE=BE=3，∴OB=2∴圖中陰影部分的面積=S【點睛】題考查了扇形面積的計算、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理等知識，熟練運用扇形面積的計算、垂徑定理、圓周角定理是解題的關鍵．22．（2024·湖南長沙·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，A為x軸上一點，以OA為半徑作⊙O交y軸于B，點C為第三象限的圓上一點，如圖1所示，已知圓心到弦AB的距離OD=5(1)求弦AB下方圓內陰影部分的面積；(2)如圖1所示，若圓心O到弦BC的距離OE=25，求C(3)如圖2所示，C點坐標同第（2）問，P是x軸下方的一個動點，使得∠BPC:∠BOC=1:2，四邊形OBPC的面積是否存在最大值？若存在請算出面積，并直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)25(2)-4,-3(3)存在，面積最大值為20+55，【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線的性質，求出OA,根據弦AB下方圓內陰影部分的面積=S（2）設C為x，y，由B0（3）分點P在⊙O上和點P在與⊙O等半徑同BC弦的⊙M上，利用四邊形的面積公式以及相似三角形的判定和性質即可求解，本題考查了坐標與圖形的性質，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題．【詳解】（1）解：∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴OA=2∵OD經過圓心O點，D是AB的中點，∴OD⊥AB，AB=2OD，∴OB=OA=2∴S△AOB=1∴弦AB下方圓內陰影部分的面積=S（2）解：∵OE⊥BC，∴E是BC的中點，∴B0，-5，設C為x∵OC=5，∴x2∵OE=25∴x2∴x2∴x2∴25-10y+25=80，解得：y=-3∵C在第三象限，∴C-4,-3（3）解：∵∠BPC:∠BOC=1:2，①當P點在⊙O上，此時不構成四邊形OBPC，不符合題意，②P點在如圖所示的⊙M上（⊙M與⊙O是等圓），當點P在OM的延長線上時，四邊形OBPC面積最大，此時，OP垂直平分BC，∵OE=25∴ME=OE=25∴OP=2×25∵C-4,-3∴BC=25∴四邊形OBPC面積最大值為12綜上所述四邊形OBPC面積最大值為20+55過點P作PG⊥y軸于點G，在Rt△OEB中，OE=25，∴EB=B∵∠BOE=∠POG=90°，∠OEB=∠OGP=90°，∴△OEB∽△OGP，∴BEPG∴5PG∴PG=4+5，OG=8+2∴P-4-題型04與圓有關的證明問題1）證明兩個三角形相似23．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，△ACD內接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延長線相交于點(1)求證：△CAD∽△CEA；(2)求∠ADC的度數．【答案】(1)見詳解(2)45°【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質，圓內接四邊形的性質，等邊對等角等知識，掌握這些性質是解題的關鍵．（1）由等弧所對的圓周角相等可得出∠CAD=∠DAB，再由等邊對等角得出∠DAB=∠E，等量代換可得出∠CAD=∠E，又∠C=∠C，即可得出△CAD∽△CEA．（2）連接BD，由直徑所對的圓周角等于90°得出∠ADB=90°，設∠CAD=∠DAB=α，即∠CAE=2α，由相似三角形的性質可得出∠ADC=∠CAE=2α，再根據圓內接四邊形的性質可得出2α+2α+90°=180°，即可得出α的值，進一步即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵CD∴∠CAD=∠DAB，∵DE=AD，∴∠DAB=∠E，∴∠CAD=∠E，又∵∠C=∠C∴△CAD∽△CEA，（2）連接BD，如下圖：∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，設∠CAD=∠DAB=α，∴∠CAE=2α，由（1）知：△CAD∽△CEA∴∠ADC=∠CAE=2α，∵四邊形ABDC是圓的內接四邊形，∴∠CAB+∠CDB=180°，即2α+2α+90°=180°，解得：α=22.5°∠ADC=∠CAE=2×22.5°=45°24．（2024·福建·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，AE⊥OC，垂足為E,BE的延長線交AD于點F．(1)求OEAE(2)求證：△AEB∽△BEC；(3)求證：AD與EF互相平分．【答案】(1)1(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）先證得AC=2AO，再在Rt△AOC中，tan∠AOC=ACAO=2．在Rt（2）過點B作BM∥AE，交EO延長線于點M，先證明△AOE≌△BOM，可得AE=BM,OE=OM，再證得∠BAE=∠CBE，再由相似三角形的判定可得結論；（3）如圖，連接DE,DF，由（2）△AEB∽△BEC，可得AEBE=ABBC=2AO2BD=AOBD,∠EAO=∠EBD，從而得出△AOE∽△BDE，得出∠BED=∠AEO=90°【詳解】（1）∵AB=AC，且AB是⊙O的直徑，∴AC=2AO．∵∠BAC=90°，∴在Rt△AOC中，tan∵AE⊥OC，∴在Rt△AOE中，tan∴AE∴OE（2）過點B作BM∥AE，交EO延長線于點M．∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°．∵AO=BO，∴△AOE≌△BOM，∴AE=BM,OE=OM．∵OE∴BM=2OE=EM，∴∠MEB=∠MBE=45°，∴∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°，∠BEC=180°-∠MEB=135°，∴∠AEB=∠BEC．∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∴∠ABM=∠CBE，∴∠BAE=∠CBE，∴△AEB∽△BEC．（3）如圖，連接DE,DF．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠AFB=90°,AB=2AO．∵AB=AC,∠BAC=90°，∴BC=2BD,∠DAB=45°．由（2）知，△AEB∽△BEC，∴AE∴△AOE∽△BDE，∴∠BED=∠AEO=90°．∴∠DEF=90°．∴∠AFB=∠DEF，∴AF∥DE．由（2）知，∠AEB=135°，∴∠AEF=180°-∠AEB=45°．∵∠DFB=∠DAB=45°，∴∠DFB=∠AEF，∴AE∥FD，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AD與EF互相平分．【點睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質、銳角三角函數、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、圓的基本性質等基礎知識，考查推理能力、幾何直觀、運算能力、創(chuàng)新意識等，熟練掌握相關圖形的性質定理是關鍵．2）求證兩個三角形全等25．（2023·山東·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD=CB，BE切⊙O于點B，過點C作CF⊥OE交BE于點F，若EF=2BF．

(1)如圖1，連接BD，求證：△ADB≌△OBE；(2)如圖2，N是AD上一點，在AB上取一點M，使∠MCN=60°，連接MN．請問：三條線段MN，【答案】(1)見解析(2)MN=BM+DN，證明見解析【分析】（1）根據CF⊥OE，OC是半徑，可得CF是⊙O的切線，根據BE是⊙O的切線，由切線長定理可得BF=CF，進而根據sinE=CFEF=12，得出∠E=30°，∠EOB=60°，根據CD=CB得出CD=CB，根據垂徑定理的推論得出OC⊥BD，進而得出（2）延長ND至H使得DH=BM，連接CH，BD，根據圓內接四邊形對角互補得出∠HDC=∠MBC，證明△HDC≌△MBCSAS，結合已知條件證明NC=NC，進而證明△CNH≌△CNMSAS，得出NH=MN，即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵CF⊥OE，OC是半徑，∴CF是⊙O的切線，∵BE是⊙O的切線，∴BF=CF，∵EF=2BF∴EF=2CF，∴sin∴∠E=30°，∠EOB=60°，∵CD=CB∴CD=∴OC⊥BD，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°=∠EBO，∵∠E+∠EBD=90°，∠ABD+∠EBD=90°∴∠E=∠ABD=30°，∴AD=BO=1∴△ABD≌△OEBAAS（2）MN=BM+DN，理由如下，延長ND至H使得DH=BM，連接CH，BD，如圖所示

∵∠CBM+∠NDC=180°,∠HDC+∠NDC=180°∴∠HDC=∠MBC，∵CD=CB，DH=BM∴△HDC≌△MBCSAS，∴∠BCM=∠DCH，CM=CH由（1）可得∠ABD=30°，又AB是直徑，則∠ADB=90°，∴∠A=60°，∴∠DCB=180°-∠A=120°，∵∠MCN=60°，∴∠BCM+∠NCD=120°-∠NCM=120°-60°=60°，∴∠DCH+NCD=∠NCH=60°,∴∠NCH=∠NCM，∵NC=NC，∴△CNH≌△CNMSAS，∴NH=MN，

∴MN=DN+DH=DN+BM．即MN=BM+DN．【點睛】本題考查了切線的判定，切線長定理，垂徑定理的推論，全等三角形的性質與判定，根據特殊角的三角函數值求角度，圓周角定理，圓內接四邊形對角互補，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．26．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，在⊙O中，點A，B，C，D為圓周的四等分點，AE為切線，連接ED，并延長交⊙O于點F，連接BF交AC于點G．(1)求證：AD平分∠CAE；(2)求證：△ADE≌△ABG；(3)若AE=3，AG=3GC，求cos∠CBF【答案】(1)見解析(2)見解析(3)cos【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、、切線的性質和解直角三角形，證明△ADE≌△ABG實際解題的關鍵．（1）利用圓周四等分點得到∠COD=∠BOC=90°，再根據切線的性質得到∠CAE=90°，所以∠DAE=45°，從而即可解題；（2）根據圓內接四邊形的性質證明∠ADE=∠ABG，則可利用“ASA”判斷△ADE≌△ABG；（3）過點G作GH⊥BC于點H，如圖，先利用△ADE≌△ABG得到AE=AG=3，DE=BG，所以GC=1，AC=4，然后利用解直角三角形解題即可．【詳解】（1）證明：連接BD.∵點A，B，C，D為圓周的四等分點，∴AC⊥BD，即圓心角∠COD=∠BOC=90°.∵CD∴∠CAD=1∵AE為⊙O的切線，∴∠CAE=90°，∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-45°=45°.∴∠DAE=∠CAD.∴AD平分∠CAE.（2）∵BC=∴∠BAC=1∴∠BAC=∠DAE.在四邊形ABFD中，∠ABF+∠BFD+∠FDA+∠DAB=360°.∵BD為直徑，∴∠BFD+∠DAB=90°+90°=180°，∴∠ABG+∠ADF=360°-180°=180°.∵∠ADE+∠ADF=180°，∴∠ADE=∠ABG.∵點A，B，C，D為圓周的四等分點，∴AD∴AD=AB.在△AED和△ABG中，∠EAD=∠BAG,∴△ADE≌△ABGASA（3）連接CF，∵AE=3，由（2）中△ADE≌△ABG，得AE=AG=3，DE=BG.又AG=3GC，即AG=3GC=3，∴GC=1，∴AC=AG+GC=3GC+GC=4GC=4.∴⊙O的半徑為2.∴在△BOG中，BG=B過點G作GH⊥BC于點H.由題意得∠ACB=45°，∴△CGH為等腰直角三角形，∴GH=2在△BGH中，BH=B∴cos3）證明線段相等27．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，△ABC內接于⊙O，點D為BC的中點，連接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于點E，過點D作DF∥BC交AC的延長線于點(1)求證：DF是⊙O的切線．(2)求證：BD=ED．(3)若DE=5，CF=4，求AB的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)AB=【分析】（1）如圖，連接OD，證明OD⊥BC，結合DF∥BC，可得（2）證明∠CBD=∠BAD，∠ABE=∠CBE，結合∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠DBE=∠CBD+∠CBE，再進一步可得結論；（3）如圖，連接CD，證明CD=BD=5，再證明△FDC∽△DAB，可得FCDB=CD【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，∵點D為BC的中點，∴OD⊥BC，∵DF∥∴DF⊥OD，且OD是⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線；（2）證明：∵點D為BC的中點，∴BD=∴∠CBD=∠BAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠DBE=∠CBD+∠CBE，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE；（3）解：如圖，連接CD，∵DE=5，BD=DE，∴BD=5，∵BD=∴CD=BD=5，∵BC∥∴∠ACB=∠F，而∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠F，∵四邊形ABDC為⊙O的內接四邊形，∴∠ABD+∠ACD=180°=∠ACD+∠DCF，∴∠DCF=∠ABD，∴△FDC∽△DAB，∴FCDB=CD∴45∴AB=25【點睛】本題考查的是圓周角定理的應用，切線的判定，相似三角形的判定與性質，圓的內接四邊形的性質，等腰三角形的判定與性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.28．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是一條弦，點D是AC的中點，DN⊥AB于點E，交AC于點F，連結DB交AC于點G．(1)求證：AF=DF；(2)延長GD至點M，使DM=DG，連接AM．①求證：AM是⊙O的切線；②若DG=6，DF=5，求⊙O的半徑．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析，②⊙O的半徑為203【分析】（1）如圖，連接AD，證明AD=CD，可得∠ABD=∠CAD，證明AN=（2）①證明∠ADB=90°=∠ADM，可得AD是MG的垂直平分線，可得AM=AG，∠M=∠AGD=∠GAB+∠B，∠MAD=∠GAD，而∠GAD=∠B，可得∠MAD=∠B，進一步可得結論；②證明DE∥AM，可得△GDF∽△GMA，求解AM=10，AD=A【詳解】（1）證明：如圖，連接AD，∵點D是AC的中點，∴AD=∴∠ABD=∠CAD，∵DN⊥AB，AB為⊙O的直徑，∴AN=∴∠ADN=∠ABD，∴∠ADN=∠CAD，∴AF=DF．（2）證明：①∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°=∠ADM，∴∠B+∠BAD=90°，∵DM=DG，∴AD是MG的垂直平分線，∴AM=AG，∴∠M=∠AGD=∠GAB+∠B，∠MAD=∠GAD，而∠GAD=∠B，∴∠MAD=∠B，∴∠MAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°，∴∠BAM=90°，∵AB為⊙O的直徑，∴AM是⊙O的切線；②∵DG=6，∴DM=DG=6，∵DN⊥AB，∠MAB=90°，∴DE∥∴△GDF∽△GMA，∴DGGM∵DF=5，∴AM=10，∴AD=A∴tan∠M=∴AB=80∴⊙O的半徑為203【點睛】本題考查的是圓周角定理的應用，弧與圓心角之間的關系，切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數的應用，做出合適的輔助線是解本題的關鍵．4）證明垂直/平行/角平分線29．（2024·貴州·中考真題）如圖，AB為半圓O的直徑，點F在半圓上，點P在AB的延長線上，PC與半圓相切于點C，與OF的延長線相交于點D，AC與OF相交于點E，DC=DE．(1)寫出圖中一個與∠DEC相等的角：______；(2)求證：OD⊥AB；(3)若OA=2OE，DF=2，求PB的長．【答案】(1)∠DCE（答案不唯一）(2)16(3)16【分析】（1）利用等邊對等角可得出∠DCE=∠DEC，即可求解；（2）連接OC，利用切線的性質可得出∠DCE+∠ACO=90°，利用等邊對等角和對頂角的性質可得出∠AOE=∠DCE，等量代換得出∠AEO+∠CAO=90°，然后利用三角形內角和定理求出∠AOE=90°，即可得證；（3）設OE=2，則可求AO=OF=BO=2x，EF=x，OD=2x+2，DC=DE=2+x，在Rt△ODC中，利用勾股定理得出2+2x2=x+22+2x【詳解】（1）解：∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，故答案為：∠DCE（答案不唯一）；（2）證明：連接OC，，∵PC是切線，∴OC⊥CD，即∠DCE+∠ACO=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，∵∠DCE=∠DEC，∠AEO=∠DEC，∴∠AEO+∠CAO=90°，∴∠AOE=90°，∴OD⊥AB；（3）解：設OE=x，則AO=OF=BO=2x，∴EF=OF-OE=x，OD=OF+DF=2x+2，∴DC=DE=DF+EF=2+x，在Rt△ODC中，O∴2+2x2解得x1=4，∴OD=10，CD=6，OC=8，∵tanD=∴OP10解得OP=40∴BP=OP-OB=16【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，切線的性質，勾股定理，解直角三角形的應用等知識，靈活運用以上知識是解題的關鍵．30．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，直線l與⊙O相切于點D，AB為⊙O的直徑，過點A作AE⊥l于點E，延長AB交直線l于點C．(1)求證：AD平分∠CAE；(2)如果BC=1，DC=3，求⊙O的半徑．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）連接OD，根據切線的性質可得出OD⊥l，結合題意可證OD∥AE，即得出∠DAE=∠ADO，再根據等邊對等角可得出∠DAO=∠ADO，即得出∠DAO=∠DAE，即AD平分∠CAE；（2）設⊙O的半徑為r，則OC=OB+BC=r+1，OD=r．再根據勾股定理可列出關于r的等式，求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接OD．∵直線l與⊙O相切于點D，∴OD⊥l．∵AE⊥l，∴OD∥AE，∴∠DAE=∠ADO．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠DAO=∠DAE，即AD平分∠CAE；（2）解：設⊙O的半徑為r，則OC=OB+BC=r+1，OD=r．在Rt△OCD中，O∴r2解得：r=4，∴⊙O的半徑為4．【點睛】本題考查切線的性質，等腰三角形的性質，同圓半徑相等，平行線的判定和性質，角平分線的判定，勾股定理等知識．連接常用的輔助線是解題關鍵．31．（2024·浙江·中考真題）如圖，在圓內接四邊形ABCD中，AD<AC，∠ADC<∠BAD，延長AD至點E，使AE=AC，延長BA至點F，連結EF，使∠AFE=∠ADC(1)若∠AFE=60°，CD為直徑，求∠ABD的度數．(2)求證：①EF∥BC；②【答案】(1)30°(2)①見詳解；②見詳解【分析】（1）根據圓周角定理即可求解，由CD為直徑，得到∠DAC=90°，故∠ACD=30°，由AD=AD，得到（2）①由四點共圓得∠ADC+∠ABC=180°，而∠AFE=∠ADC，等量代換得到∠AFE+∠ABC=180°，故EF∥②過點D作EF平行線交AF于點G，可證明△ADG∽△AEF，△CDA∽△BGD，因此得到ACBD=ADGD=【詳解】（1）解：∵∠AFE=∠ADC，∠AFE=60°，∴∠ADC=60°，∵CD為直徑，∴∠DAC=90°，∴∠ACD=90°-60°=30°，∵AD=∴∠ABD=∠ACD=30°；（2）證明①：∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠AFE=∠ADC，∴∠AFE+∠ABC=180°，∴EF∥②過點D作EF平行線交AF于點G，∵DG∥EF，∴∠F=∠DGA，△ADG∽△AEF，∵∠F=∠ADC，∴∠DGA=∠ADC，∵由（1）知∠ABD=∠ACD，∴△CDA∽△BGD，∴ACBD∵△ADG∽△AEF，∴ADAE∴ADGD∴ACBD∵AE=AC，∴EF=BD．【點睛】本題考查了圓周角定理，圓的內接四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．5）證明角度相等32．（2024·陜西·中考真題）如圖，直線l與⊙O相切于點A，AB是⊙O的直徑，點C，D在l上，且位于點A兩側，連接BC，BD，分別與⊙O交于點E，F，連接(1)求證：∠BAF=∠CDB；(2)若⊙O的半徑r=6，AD=9，AC=12，求EF的長．【答案】(1)見解析(2)EF=42【分析】（1）利用切線和直徑的性質求得∠BAD=∠BFA=90°，再利用等角的余角相等即可證明∠BAF=∠CDB；（2）先求得AB=12=AC，BD=15，證明△ABC和△ABE是等腰直角三角形，求得AE的長，再證明△BEF∽△BDC，據此求解即可．【詳解】（1）證明：∵直線l與⊙O相切于點A，∴∠BAD=90°，∴∠BDA+∠ABD=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BFA=90°，∴∠BAF+∠ABD=90°，∴∠BAF=∠CDB；（2）解：∵r=6，∴AB=2r=12=AC，BD=A∵直線l與⊙O相切于點A，∴∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BEA=90°，∴△ABE也是等腰直角三角形，∴AE=BE=AB?cos∵BF=∴∠BEF=∠BAF，∵∠BAF=∠CDB，∴∠BEF=∠BDC，∴△BEF∽△BDC，∴BEBD=EF∴EF=42【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，切線的性質，勾股定理等知識點的應用，掌握切線的性質定理、相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．33．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線與AC的延長線交于點D，點E在⊙O上，AC=CE，CE交AB于點F．(1)求證：∠CAE=∠D；(2)過點C作CG⊥AB于點G，若OA=3，BD=32，求FG【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】（1）由直徑所對的圓周角是直角得到∠BCD=90°，則∠D+∠CBD=90°，由切線的性質推出∠ABC+∠CBD=90°，則∠ABC=∠D，再由同弧所對的圓周角相等和等邊對等角得到∠E=∠ABC，∠CAE=∠E，據此即可證明∠CAE=∠D；（2）由勾股定理得AD=36，利用等面積法求出BC=23，則AC=26，同理可得CG=22，則AG=4，進而得到BG=2；如圖所示，過點C作CH⊥AE于H，則AE=2AH，證明△ACB∽△CHA，求出AH=22，則AE=42；設FG=x，則AF=4+x，證明△AEF∽△CBF，推出【詳解】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BCD=90°，∴∠D+∠CBD=90°；∵BD是⊙O的切線，∴∠ABD=90°，∴∠ABC+∠CBD=90°，∴∠ABC=∠D，∵AC=∴∠E=∠ABC，∵AC=CE，∴∠CAE=∠E，∴∠CAE=∠D；（2）解：∵OA=3，∴AB=2OA=6，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=∵S△ABD∴BC=AB?BD∴AC=A同理可得CG=22∴AG=A∴BG=2；如圖所示，過點C作CH⊥AE于H，則AE=2AH，由（1）可得∠ABC=∠CAH，∴△ACB∽△CHA，∴AHBC=AC∴AH=22∴AE=42設FG=x，則AF=4+x，∵∠E=∠CBF，∴△AEF∽△CBF，∴CFAF=BC∴CF=4在Rt△CGF中，由勾股定理得C∴46解得x=45或∴FG=4【點睛】本題主要考查了切線的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形的性質等等，正確作出輔助線構造直角三角形和相似三角形是解題的關鍵．34．（2024·內蒙古通遼·中考真題）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點O為AC邊上一點，以點O為圓心，OC為半徑作圓與AB相切于點D，連接CD．(1)求證：∠ABC=2∠ACD；(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半徑．【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】（1）連接OD，根據題意可得∠ODA=90°，根據余角的性質可得∠AOD=∠ABC，根據圓周角定理可得∠AOD=2∠ACD，等量代換即可得證；（2）在Rt△ABC中，勾股定理求得AB=10,證明Rt△ODB≌Rt△OCBHL，設⊙O的半徑為r，則OD=OC=r，OA=8-r【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，∵AB為切線，∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，∴∠A+∠AOD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠A=90°∴∠AOD=∠ABC，∵∠AOD=2∠ACD，∴∠ABC=2∠ACD．（2）解：在Rt△ABC中，AB=B∵∠OCB=90°=∠ODB，在Rt△ODB和Rt△OCB中，OD=OC，∴Rt△ODB≌Rt∴BD=BC=6，∴AD=AB-BD=4，設⊙O的半徑為r，則OD=OC=r，OA=8-r，在Rt△AOD中，r解得r=3，∴⊙O半徑的長為3【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．6）證明線段間存在的比值關系35．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為斜邊AB上一點，以BD為直徑作⊙O，交AC于E，F兩點，連接BE，BF，DF(1)求證：BC?DF=BF?CE；(2)若∠A=∠CBF，tan∠BFC=5，AF=45，求CF【答案】(1)見詳解；(2)5，36【分析】（1）先證明△EBC∽△DBF，然后利用對應邊成比例，即可證明；（2）利用△EBC∽△DBF，知道∠EBC=∠DBF，從而推出∠CBF=∠EBA，結合∠A=∠CBF，知道∠A=∠EBA，推出AE=BE，接下來證明∠BFC=∠ABC，那么有tan∠BFC=tan∠ABC=5，即CBCF=ACBC=5，不妨設CF=x，代入求得CF的長度，不妨設EF=y，在Rt△CEB和【詳解】（1）∵BD是⊙O的直徑∴∠BFD=90°=∠C又∵∠CEB=∠FDB∴△EBC∽△DBF∴∴BC?DF=BF?CE（2）由（1）可知，△EBC∽△DBF∴∠EBC=∠DBF∴∠EBC-∠FBE=∠DBF-∠FBE∴∠CBF=∠EBA∵∠A=∠CBF∴∠A=∠EBA∴AE=BE∵∠A=∠CBF∴90°-∠A=90°-∠CBF∴∠ABC=∠CFB∵∴∴不妨設CF=x，那么CB=∵AF=4∴∴x=∴CF=5，不妨設EF=y，那么AE=AF-EF=4在Rt△CEB中，CE=EF+CF=y+5，CB=5∴∴y=∴EF=在Rt△CFB中，CF=5∴BF=∵∠CEB=∠FDB∴∴∴∴DF=2∴BD=∴⊙O的直徑是36【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，三角形相似的判定與性質，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性質，二次根式的化簡，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．36．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，點D，E在以AC為直徑的⊙O上，∠ADC的平分線交⊙O于點B，連接BA，EC，EA，過點E作EH⊥AC，垂足為H，交AD于點F．

(1)求證：AE(2)若sin∠ABD=25【答案】(1)見解析(2)AD=2【分析】（1）先證明∠ADE=∠AEH，再利用兩角分別相等的兩個三角形相似證明△EAF∽△DAE，利用相似三角形的性質即可求證；（2）先利用勾股定理求出AC，再利用∠ABD=∠ACD和正弦值即可求出AD．【詳解】（1）連接ED，∵EH⊥AC，∴∠EAH+∠AEH=90°，∵AC是直徑，∴∠AEC=90°，∴∠EAH+∠ACE=90°，∴∠ACE=∠AEH，∴∠ADE=∠AEH，又∵∠EAF=∠DAE，∴△EAF∽△DAE，∴AEAD∴AE

（2）如圖，連接BC，∵∠ADC的平分線交⊙O于點B，∴∠ADB=∠BDC，∴AB=∴AB=BC，∵AC是直徑，∴∠ABC=∠ADC=90°，∵sin∠ABD=2∴AC=52+∴AD=210

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、正弦函數、圓周角定理的推論和勾股定理等知識，學生應理解與掌握正弦的定義、兩角分別相等的兩個三角形相似和相似三角形的對應邊成比例、圓周角定理的推論，即同弧或等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角等知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．37．（2023·黑龍江大慶·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓上的一點，CD⊥AD于點D，AD交⊙O于點F，連接AC，若AC平分∠DAB，過點F作FG⊥AB于點G，交AC于點H，延長AB，DC交于點E．

(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求證：AF?AC=AE?AH；(3)若sin∠DEA=45【答案】(1)證明，見解析(2)證明，見解析(3)AH【分析】（1）連接OC，根據AC平分∠DAB，則∠DAC=∠CAB，根據OA=OC，得∠CAB=∠OCA，根據平行線的判定和性質，即可；（2）由（1）得，∠DAC=∠CAB，根據∠AHF∠CAB+90°，∠ACE=∠OCA+90°，相似三角形的判定和性質，即可；（3）根據sin∠DEA=45，則OCOE=45，設⊙O的半徑為4x，則OE=5x，根據勾股定理求出CE；根據AE=OA+OE，AD=45【詳解】（1）連接OC∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥∵CD⊥AD，∴∠D=∠OCE=90°，∴CD是⊙O的切線．

（2）證明，如下：由（1）得，∠OCE=90°，∵∠DAC=∠CAB，∵FG⊥AB，∴∠FGA=90°，∴∠AHF