2025屆麓山國際高三第一次學情檢測試卷高三年級數學試卷總分：150分時量：120分鐘一、單選題（每小題5分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合，結合交集概念即可得解.【詳解】因為，，所以.故選：B.2.復數，則z的虛部為（）．A.3 B. C.i D.【答案】B【解析】【分析】利用復數的除法運算可得答案.【詳解】復數，所以的虛部為故選：B.3.已知向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據投影向量的公式求解.【詳解】根據題意，在上的投影向量為：.故選：A4.已知函數在上單調遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據復合函數的單調性法則“同增異減”求解即可.【詳解】解：由于函數在上單調遞減，在定義域內是增函數，所以根據復合函數的單調性法則“同增異減”得：在上單調遞減，且，所以且，解得：.故的取值范圍是故選：C.【點睛】本題考查根據對數型復合函數單調性求參數問題，是中檔題.5.已知函數存在兩個零點，則實數t的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】采用參變分離法，將函數存在兩個零點轉化為函數與函數的圖象有兩個交點，利用導數探究函數的圖象及趨勢特征即得參數范圍.【詳解】由，，可得：，令，依題意，函數存在兩個零點，等價于函數與函數的圖象有兩個交點.又，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，故時，取得極大值，且當時，，當時，，故要使函數與函數的圖象有兩個交點.，需使，解得.故選：C.6.將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.7.如圖，在中，C是的中點，P在線段上，且.過點P的直線交線段分別于點N，M，且，其中，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】依題意可得，再根據平面向量共線定理得到，再利用基本不等式計算可得；【詳解】解：，則，，又P，M，N共線，∴.又，∴，當且僅當時取等號，故選：C.8.已知函數在上存在最值，且在上單調，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等變換然后結合整體法結合三角函數圖像性質對進行最值分析，對區間上進行單調分析；【詳解】因為，當時，因為，則，因為函數在上存在最值，則，解得，當時，，因為函數在上單調，則，所以其中，解得，所以，解得，又因為，則．當時，；當時，；當時，．又因為2，因此的取值范圍是．故選：B．【點睛】關鍵點睛：整體法分析是本題的突破點，結合三角函數圖像分析是本題的核心；二、多選題（每小題6分，共18分，每題全對得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分）9.下列說法中，正確的命題有（）A.已知隨機變量服從正態分布，則B.以模型去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和0.3C.在做回歸分析時，殘差圖中殘差點分布的帶狀區域的寬度越窄表示回歸效果越好D.若樣本數據的方差為2，則數據的方差為16【答案】ABC【解析】【分析】對于A，利用正態分布的對稱性計算判斷；對于B，對給定模型取對數比對即得；對于C，利用殘差圖的意義即可判斷；對于D，利用新數據方差計算公式判斷作答.【詳解】對于A，因，且，于是得，故A正確；對于B，由得，依題意得，即，故B正確；對于C，在做回歸分析時，由殘差圖表達的意義知，C正確；對于D，依題意的方差為，故D不正確．故選：ABC.10.已知函數，若將的圖象平移后能與函數的圖象完全重合，則下列結論正確的是（）A.B.將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象對應的函數為奇函數C.的圖象關于點對稱D.在上單調遞增【答案】BC【解析】【分析】利用二倍角公式結合輔助角公式化簡，并結合給定條件判斷A，利用函數平移的性質結合正弦函數的性質判斷B，利用對稱中心的求法求解對稱中心判斷C，舉反例判斷D即可.【詳解】因為，所以，所以，而將的圖象平移后能與函數的圖象完全重合，所以，解得，故A錯誤，此時，向右平移個單位長度后，設得到的新函數為，，由正弦函數性質得是奇函數，故B正確，令，解得，當時，，所以圖象關于點對稱，故C正確，由題意得，，，所以在上不單調，故D錯誤.故選：BC11.如圖，正方體的棱長為1，P是線段上的動點，則下列結論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.平面C.的最小值為D.當，C，，P四點共面時，四面體的外接球的體積為【答案】ABD【解析】【分析】A選項，求出為定值，且P到平面的距離為1，從而由等體積得到錐體體積為定值；B選項，證明出面面平行，得到線面平行；C選項，將兩平面展開到同一平面，連接，交于點，此時最小，最小值即為的長，由勾股定理得到最小值；D選項，點P在點B處，，C，，P四點共面，四面體的外接球即正方體的外接球，求出正方體的外接球半徑，得到外接球體積.【詳解】對于A，因為不在平面內，平面，所以平面，又，所以點到平面的距離為，又為定值，故定值，A正確；對于B，因為，平面，平面，所以平面，同理可知平面，又，平面，所以平面平面，由于平面，故平面，B正確.對于C，展開兩線段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，連接，交于點，此時最小，最小值即為的長，過點作⊥，交的延長線于點，其中，故，又勾股定理得，C正確；對于D，點P在點B處，，C，，P四點共面，四面體的外接球即正方體的外接球，故外接球的半徑為，所以該球的體積為，D正確.故選：ABD【點睛】特殊幾何體的內切球或外接球的問題，常常進行補形，轉化為更容易求出外接球或內切球球心和半徑的幾何體，比如墻角模型，對棱相等的三棱錐常常轉化為棱柱來進行求解.三、填空題（每小題5分，共15分）12.記為等差數列的前n項和，若，，則________.【答案】95【解析】【分析】利用等差數列通項公式得到方程組，解出，再利用等差數列的求和公式節即可得到答案.【詳解】因為數列為等差數列，則由題意得，解得，則故答案為：.13.數列的前項和為，若，則_____________．【答案】【解析】【分析】降次作差得，再利用等比數列通項公式即可得到答案.【詳解】①，②，兩式相減得，故，，令中得，，所以，而不適合上式，故答案為：.14.已知橢圓：的左、右焦點分別為，點是軸正半軸上一點，交橢圓于點A，若，且的內切圓半徑為1，則該橢圓的離心率是______．【答案】##【解析】【分析】根據題意結合直角三角形以及內切圓的性質分析可得，結合橢圓的定義以及勾股定理可得，即可求得橢圓的離心率.【詳解】如圖，的內切圓與三邊分別切于點，若，則，因為，則，可得，則，可得，因為，即，可得，又因為，即，可得，且，解得，所以橢圓的離心率是．故答案為：.【點睛】方法點睛：橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求e的值．焦點三角形的作用，在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結合起來．四、解答題（共77分）15.在中，內角的對邊分別為，為鈍角，，．（1）求；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）；（2）選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）選擇①，利用正弦定理得，結合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出，再代入式子得，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；【小問1詳解】由題意得，因為為鈍角，則，則，則，解得，因為為鈍角，則.【小問2詳解】選擇①，則，因為，則為銳角，則，此時，不合題意，舍棄；選擇②，因為為三角形內角，則，則代入得，解得，,則.選擇③，則有，解得，則由正弦定理得，即，解得，因為為三角形內角，則，則，則16.某機構為了了解某地區中學生的性別和喜愛游泳是否有關，隨機抽取了100名中學生進行了問卷調查，得到如下列聯表：喜歡游泳不喜歡游泳合計男生25女生35合計已知在這100人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳的學生的概率為.（1）請將上述列聯表補充完整；（2）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為喜歡游泳與性別有關聯；（3）將樣本頻率視為總體概率，在該地區的所有中學生中隨機抽取3人，計抽取的3人中喜歡游泳的人數為，求隨機變量的分布列和期望．附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列聯表見解析（2）認為是否喜歡游泳與性別無關（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據題中信息即可統計數據求解.（2）根據獨立性檢驗計算卡方值即可求解.（3）根據二項分布求概率即可求解分布列和期望.【小問1詳解】喜歡游泳不喜歡游泳合計男生252550女生351550合計6040100【小問2詳解】零假設:假設是否喜歡游泳與性別無關，，依據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即認為是否喜歡游泳與性別無關.【小問3詳解】X的可能取值為0，1，2，3，，.的分布列為X0123P.17.如圖所示，在三棱錐中，與AC不垂直，平面平面，．（1）證明：；（2）若，點M滿足，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由平面平面，再作，可證明平面，從而可得，又因為，所以可證明平面，即可證明；（2）利用（1）以A為坐標原點建立如圖坐標系，利用等邊三角形和等腰直角三角形，標出各點的空間坐標，對于點M滿足，可用向量線性運算求出，最后利用空間向量法來解決直線與平面所成角的正弦值．【小問1詳解】證明：在平面中，過點P作的垂線，垂足為D．因為平面平面ABC，且平面平面，平面，所以平面．又因為平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，故．【小問2詳解】由（1）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，故，，又因為，所以即．設平面ACM的一個法向量，則令，則．又因為，設直線AP與平面ACM所成角為，則，所以直線AP與平面ACM所成角的正弦值為．18.已知直線與拋物線交于兩點，且．（1）求；（2）設F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關系，聯立直線和拋物線方程求出弦長即可得出；（2）設直線：，利用，找到的關系，以及的面積表達式，再結合函數的性質即可求出其最小值．【小問1詳解】設，由可得，，所以，所以，即，因為，解得：．【小問2詳解】因為，顯然直線的斜率不可能為零，設直線：，，由可得，，所以，，，因為，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設點到直線的距離為，所以，，所以面積，而或，所以，當時，的面積．【點睛】本題解題關鍵是根據向量的數量積為零找到的關系，一是為了減元，二是通過相互的制約關系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.19.南宋的數學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續量問題轉化為求離散變量的垛積問題”.在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應立體圖形作類比，推導出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式.如圖，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第層球數比第層球數多，設各層球數構成一個數列an.（1）求數列an通項公式；（2）求的最小值；（3）若數列bn滿足，對于，證明：.【答案】（1）；（2）