1.2集合間的關系（精講）考點一集合間的關系【例1-1】（2022·廣西桂林）已知集合，則下列關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為集合，所以根據子集的定義可知，故選：D.【例1-2】（2022·陜西）設集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由且，即，而，所以為的子集，則.故選：A集合與元素關系：屬于不屬于集合與元素關系：屬于不屬于集合與集合的關系：包含、不包含、真包含溫馨提示【一隅三反】1．（2022·全國·高一）有下列關系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正確的是（

）A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④【答案】D【解析】對①：因為集合元素具有無序性，顯然①正確；對②：因為集合，故正確，即②正確；對③：空集是一個集合，而集合是以為元素的一個集合，因此，故③不正確；對④：是一個集合，僅有一個元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正確；對⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正確；對⑥：顯然成立，因此⑥正確．綜上，本題不正確的有③④，故選：D2（2022·甘肅張掖·高一期末）（多選）下列關系式錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】A選項由于符號用于元素與集合間，是任何集合的子集，所以應為，A錯誤；B選項根據子集的定義可知正確；C選項由于符號用于集合與集合間，C錯誤；D選項是整數集，所以正確.故選：AC.3．（2022·全國·高一期末）（多選）若集合，，則A與B之間最適合的關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，集合的元素是的倍數，集合的元素是的倍數，所以集合是集合的真子集.故選：D考點二空集【例2-1】（2022·全國·高一課時練習）下列四個集合中，是空集的是（

）A． B．，且C． D．【答案】B【解析】A中有元素0，B中集合沒有任何元素，為空集，C中有元素1，D中集合，大于4的實數都是其中的元素．故選：B．【例2-2】（2021·北京市）若集合，則實數a的取值范圍______．【答案】【解析】故無解則故答案為：【一隅三反】1．（2022·浙江）下列集合是空集的是（

）A．或 B．C． D．【答案】D【解析】A、B、C選項的集合中均含有元素，均不為空集；對D，因為，所以不存在實數，使得，所以.故選：D2．（2021·全國·高一專題練習）下列命題中正確的是（

）A．空集沒有子集B．空集是任何一個集合的真子集C．任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集D．設集合，那么，若，則【答案】D【解析】A選項，空集是其本身的子集，A錯；B選項，空集是任一非空集合的真子集，B錯；C選項，空集只有一個子集，即是空集本身；C錯；D選項，若，則中元素都在中，中沒有的元素，則中也沒有；故D正確.故選：D.3．（2021·全國·高一課時練習）已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝?，則實數m的取值范圍是____.【答案】m≥1【解析】∵M＝?，∴2m≥m＋1，∴m≥1.故答案為m≥1考點三集合的（真）子集個數【例3-1】（2022·河南）集合的非空真子集的個數為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】由題意可知，集合A的非空真子集為，共6個.故選：B.【例3-2】（2022·內蒙古赤峰）已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因為集合的所有非空真子集為：，所以有，故選：D【一隅三反】1．（2022·安徽省蚌埠第三中學高一開學考試）集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的個數是()A．7 B．8 C．16 D．4【答案】A【解析】，集合含有3個元素，真子集的個數是，故選A.2．（2022·江西·高一階段練習）設集合，且，則滿足條件的集合的個數為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，由題意可知，集合為的子集，則滿足條件的集合的個數為.故選：B.3．（2022·河北衡水）已知集合，，則滿足條件的集合C的個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由知．又，則集合．又，則滿足條件的集合C可以為，，，，共4個，故選：C．考點四集合相等【例4】（2022·全國·高三專題練習）下列集合中表示同一集合的是（

）．A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】選項A，集合，為點集，而點與點為不同的點，故A錯；選項C，集合為點集，集合為數集，故C錯；選項D，集合為數集，集合為點集，故D錯；選項B，集合，表示的都是“大于的實數”，為同一個集合．故選：B【一隅三反】1．（2022·江西新余·高一期末）下列集合與集合相等的是()A．(1,2022) B．C． D．{(2022,1)}【答案】C【解析】(1,2022)表示一個點，不是集合，A不符；集合的元素是點，與集合A不相等，B不符；，故C符合題意；集合{(2022,1)}的元素是點，與集合A不相等，D不符題意.故選：C.2．（2022·江蘇）設集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，則實數x的值組成的集合為（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}【答案】C【解析】因為，所以，解得或，的取值集合為，故選：C3．（2022·全國·高一）下列各組兩個集合和表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A選項中集合中的元素為無理數，而中的元素為有理數，故；B選項中集合中的元素為實數，而中的元素為有序數對，故；C選項中因為，則集合，故；D選項中集合中的元素為0，1，而中的元素為1，故．故選：C．考點五已知集合關系求參數【例5-1】（2022·江蘇）已知集合，，若，則實數組成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，解得，或，解得，當時，，，，滿足題意.當時，，不滿足集合的互異性.當時，，，若，滿足題意.當時，，，若，滿足題意.故選：C.【例5-2】（2022·山西太原）若集合，，若，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以或，所以或，當時，不成立，所以，所以滿足，當時，因為，所以，又因為，所以，所以，當時，因為，所以，又因為，所以，所以，綜上可知：.故選：A.【一隅三反】1．（2022·寧夏·銀川一中）已知集合，集合．若，則實數m的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，所以，所以實數m的取值集合為.故選：C2．（2022·北京密云）已知集合，且，則可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，又，所以任取，則，所以可能為，A對，又，，∴

不可能為，，，B，C，D錯，故選：A.3．（2022·北京工業大學）已知集合，，若，則實數的取值組成的集合是（

）A． B． C． D．【答案