第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年河南省新鄉市封丘一中高二（上）開學數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈N|1<x<6}，B={x|4?x>0}，則A∩B=(

)A.{2,3,4} B.{2,3} C.{2} D.{3}2.已知復數z滿足z(2?i)=1?3i，則z=(

)A.?i B.i C.1?i D.1+i3.已知e1，e2是夾角為3π4的單位向量，則e1在eA.?2e1 B.?24.若直線l的傾斜角為135°，則直線l的一個法向量是(

)A.(1,?1) B.(1,1) C.(?1,1) D.(2,?5.下列四個函數中，以π為最小正周期，且在區間(π2,π)上為減函數的是A.y=cosx B.y=2|sinx| C.y=cosx26.冪函數f(x)=(m2?m?1)xm2+2m?3在區間(0,+∞)上單調遞增，且A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.無法判斷7.一水平放置的平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，其中O′A′=O′C′=1，O′C′⊥x′軸，A′B′⊥x′軸，B′C′//y′軸，則四邊形OABC的面積為(

)A.322

B.32

8.已知點P是直線x?y?m=0上的動點，由點P向圓O：x2+y2=1引切線，切點分別為M，N且∠MPN=90°，若滿足以上條件的點PA.2 B.±2 C.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若直線l的方向向量為m，平面α的法向量為n，則不可能使l/?/α的是(

)A.m=(1,0,0)，n=(?2,0,0) B.m=(1,3,5)，n=(1,0,1)

C.m=(0,2,1)，n10.銳角三角形ABC中，角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，下列結論一定成立的有(

)A.sin2A+sin2B<sin2C B.sin(A+B)=sinC

C.若11.分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件M=“第一枚硬幣正面朝上”，事件N=“第二枚硬幣反面朝上”，則下列說法中正確的是(

)A.M與N是互斥事件 B.M與N是對立事件

C.P(M)=P(N) D.M與N是相互獨立事件三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某校在高一、高二、高三三個年級中招募志愿者50人，現用分層抽樣的方法分配三個年級的志愿者人數，已知高一、高二、高三年級的學生人數之比為4：3：3，則應從高三年級抽取______名志愿者．13.從2，3，8，9中任取兩個不同的數字，分別記為a，b，則logab為整數的概率是______．14.如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，EF/?/AB，平面FBC⊥平面ABCD，△FBC中BC邊上的高FH=2，EF=32.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知|a|=4，|b|=3，(2a?3b)?(2a+b)=61．

(1)求a與b16.(本小題15分)

2024年5月15日是第15個全國公安機關打擊和防范經濟犯罪宣傳日，某市組織了多個小分隊走進社區，走進群眾，開展主題為“與民同心，為您守護”的宣傳活動，為了讓宣傳更加全面有效，某個分隊隨機選擇了200位市民進行宣傳，這些市民年齡的樣本數據的頻率分布直方圖如圖：

(1)請估計這200位市民的平均年齡(同組數據用組中值代替)；

(2)現用分層抽樣的方法從年齡在區間[20,30)和[70,80)兩組市民中一共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行電話回訪，求“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率．17.(本小題15分)

甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是23和34，假設兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，每人每次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響．

(1)求甲、乙各射擊一次，至少擊中目標一次的概率；

(2)若乙在射擊中出現連續2次未擊中目標就會被終止射擊，求乙恰好射擊418.(本小題17分)

在以下三個條件中任選一個，補充到下面的問題中并作答．

①2a?b=2ccosB；

②2csinA=atanC；

③△ABC的面積為12c(asinA+bsinB?csinC)(如多選，則按選擇的第一個記分)

問題：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且_____．

(1)求角C；

(2)若c=2，求△ABC面積的最大值；

(3)在(2)的條件下，若△ABC為銳角三角形，求2a?b的取值范圍．19.(本小題17分)

如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，M是線段AD上的一動點，將△ABM沿著BM折起，使點A到達點A′的位置，滿足點A′?平面BCDM且點A′在平面BCDM內的射影E落在線段BC上．

(1)當點M與點D重合時，

①證明：A′B⊥平面A′CD；

②求二面角A′?BD?C的余弦值；

(2)設直線CD與平面A′BM所成的角為α，二面角A′?BM?C的平面角為β，求sin2α參考答案1.B

2.C

3.B

4.B

5.B

6.A

7.B

8.D

9.ABC

10.BCD

11.CD

12.15

13.1614.15215.解：(1)由(2a?3b)?(2a+b)=61，得4a2?3b2?4a?b=61，

即64?27?4×4×3cosθ=6116.解：(1)這100位市民的平均年齡為：5×0.01+15×0.02+25×0.12+35×0.17+45×0.23+55×0.2+65×0.17+75×0.06+85×0.02=47.9≈48，

即這100位市民的平均年齡約為48；

(2)參與調查的100為市民中年齡在區間[20,30)內的人數為0.012×10×200=24，年齡在區間[70,80)內的人數為0.006×10×200=12，

按照分層抽樣的方法抽取6人，則年齡在區間[20,30)內的應抽取2424+12×6=4，設為1，2，3，4，

年齡在區間[70,80)內的應抽取1224+12×6=2，設為a，b，

從這6人中隨機抽取2人，所有可能出現的情況如下：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,a}，{1,b}，{2,3}，{2,4}，{2,a}，{2,b}，{3,4}，{3,a}，{3,b}，{4,a}，{4,b}，{a,b}，共15種，

則2人的年齡差大于10的有{1,a}，{1,b}，{2,a}，{2,b}，{3,a}，{3,b}，{4,a}，{4,b}，共8種，

17.解：(1)根據題意，設甲射擊一次，擊中目標為事件A，乙射擊一次，擊中目標為事件B，

甲、乙各射擊一次，至少擊中目標一次，即事件AB+A?B+AB?，

則有P(AB+A?B+AB?)=23×34+(1?18.解：(1)若選①：由正弦定理得2sinA?sinB=2sinCcosB，則2sin(B+C)?sinB=2sinCcosB，

∴2sinBcosC+2cosBsinC?sinB=2sinCcosB，

∴2sinBcosC?sinB=0，

∵B∈(0,π)，sinB≠0，

∴cosC=12，

∵C∈(0,π)，

∴C=π3；

選②：2csinA=atanC，

則2csinA=atanC=a?sinCcosC，

由正弦定理得，2sinC?sinA=sinA?sinCcosC，

即2cosC=1，cosC=12，

∵C∈(0,π)，

∴C=π3；

若選③：△ABC的面積為12c(asinA+bsinB?csinC)，

則12absinC=12c(asinA+bsinB?csinC)，

由正弦定理得12abc=12c(a2+b2?c2)，

∴a2+b2?c2=ab，

∴cosC=a2+b2?c22ab=12，

∵C∈(0,π)，

∴C=19.解：(1)①證明：

當點M與端點D重合時，由∠BAD=90°可知A′B⊥A′D，

由題意知A′E⊥平面BCD，CD?平面BCD，所以A′E⊥CD，

又BC⊥CD，A′E∩BC=E，A′E?平面A′BC，BC?平面A′BC，

所以CD⊥平面A′BC，又A′B?平面A′BC，可知A′B⊥CD，

A′D∩CD=D，CD?平面A′CD，A′D?平面A′CD，

所以A′B⊥平面A′CD．

②

過E作EO⊥BD于點O，連接A′O．

因為A′E⊥平面BCD，BD?平面ABCD，所以A′E⊥BD，

因為EO⊥BD，A′E⊥BD，A′E∩EO=E，所以BD⊥平面A′OE，所以BD⊥A′O

所以∠A′OE為二面角A′?BD?C的平面角，

且在四邊形ABCD中，A、O、E三點共線．

因為AB=1,AD=3，由幾何關系可得AO=32,EO=36

所以在Rt△A′EO中，cos∠A′OE=OEA′O=3632=13

即二面角A′?BD?C的余弦值為13．

(2)

過點E作EQ//CD交BM于Q，

所以直線EQ與平面A′BM所成的角即為直線CD與平面A′BM所成的角，

過E作EO⊥BM于點O，連接A′O．

由②同理可得BM⊥平面A′OE，BM?平面A′BM，

所以平面A′BM⊥平面A′OE，

作EH⊥A′O，垂足