2024年華僑、港澳、臺聯考高考數學試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，0，1，，，，2，，則A． B．， C．，， D．，，0，1，2，2．計算A． B． C． D．3．函數的最大值是A．1 B． C．2 D．4．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．5．已知平面向量，，則A．“，”是“”的必要條件 B．“，”是“”的充分條件 C．“，”是“”的必要條件 D．“，”是“”的充分條件6．已知函數，則A．是奇函數，不是增函數 B．是增函數，不是奇函數 C．既是奇函數，也是增函數 D．既不是奇函數，也不是增函數7．若的展開式中的系數是，則A．1 B． C． D．8．圓與圓交于，兩點，則直線的方程為A． B． C． D．9．已知和都是函數的極值點，則的最小值是A．4 B．2 C．1 D．10．拋物線的焦點為，上的點到的距離等于到直線的距離，則A．2 B．1 C． D．11．正四棱柱的八個頂點都在一個半徑為1的球的球面上，到該正四棱柱側面的距離為，則該正四棱柱的體積是A． B． C． D．12．已知偶函數的圖像關于直線對稱，當時，，則當時，A． B． C． D．二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。13．用1，2，，9這9個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中奇數共有個．14．記等差數列的前項和為，若，，則．15．不等式的解集為．16．函數的最小值為．17．已知函數的定義域為，若，（1），則（9）．18．已知二面角的大小為，正方形在內，等邊三角形在內，則異面直線與所成角的余弦值為．三、解答題：本題共4小題，每小題15分，共60分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。19．（15分）已知△中，，．（1）求；（2）求．20．（15分）在一個工作日中，某工人至少使用甲、乙兩儀器中的一個，該工人使用甲儀器的概率為0.6，使用乙儀器的概率為0.5，且不同工作日使用儀器的情況相互獨立．（1）求在一個工作日中該工人既使用甲儀器也使用乙儀器的概率；（2）記為在100個工作日中，該工人僅使用甲儀器的天數，求．21．（15分）記數列的前項和為，已知，．（1）證明：數列是等比數列；（2）求的通項公式．22．（15分）已知橢圓的左焦點為，點，，過的直線交于，兩點．（1）求的坐標；（2）若點在直線上，證明：是的角平分線．

2024年華僑、港澳、臺聯考高考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，0，1，，，，2，，則A． B．， C．，， D．，，0，1，2，【解析】：，，0，1，，，，2，，則，，．故選：．2．計算A． B． C． D．【解析】：．故選：．3．函數的最大值是A．1 B． C．2 D．【解析】：．，當時，函數取得最大值2．故選：．4．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【解析】：雙曲線的離心率為，可得，即，可得．雙曲線的漸近線方程為：．故選：．5．已知平面向量，，則A．“，”是“”的必要條件 B．“，”是“”的充分條件 C．“，”是“”的必要條件 D．“，”是“”的充分條件【解析】：對于，若，則，即，充分性不成立，錯誤，對于，當，時，則，不成立，錯誤，對于，若，則，必要性不成立，故錯誤，對于，當，時，則，，，充分性成立，故正確．故選：．6．已知函數，則A．是奇函數，不是增函數 B．是增函數，不是奇函數 C．既是奇函數，也是增函數 D．既不是奇函數，也不是增函數【解析】：函數的定義域為，，所以，所以為奇函數，，錯誤；當時，單調遞增，根據奇函數的單調性可知，在上單調遞增，根據復合函數單調性可知，為增函數，錯誤，正確．故選：．7．若的展開式中的系數是，則A．1 B． C． D．【解析】：的展開式中的系數是，．故選：．8．圓與圓交于，兩點，則直線的方程為A． B． C． D．【解析】：圓，即①，圓，即②，②①可得，化簡整理可得，，故直線的方程為．故選：．9．已知和都是函數的極值點，則的最小值是A．4 B．2 C．1 D．【解析】：因為和都是函數的極值點，所以周期為，所以，所以，即的最小值是4．故選：．10．拋物線的焦點為，上的點到的距離等于到直線的距離，則A．2 B．1 C． D．【解析】：拋物線的焦點，，準線方程為，上的點到的距離等于到直線的距離，可得，解得，故選：．11．正四棱柱的八個頂點都在一個半徑為1的球的球面上，到該正四棱柱側面的距離為，則該正四棱柱的體積是A． B． C． D．【解析】：正四棱柱的八個頂點都在一個半徑為1的球的球面上，到該正四棱柱側面的距離為，正四棱柱的底面邊長為1，設正四棱柱的高為，則正四棱柱的體對角線即為其外接球的直徑，，即，，該正四棱柱的體積為．故選：．12．已知偶函數的圖像關于直線對稱，當時，，則當時，A． B． C． D．【解析】：根據題意，為偶函數，則，又由的圖像關于直線對稱，則，則有，當時，有，則，則有．故選：．二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。13．用1，2，，9這9個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中奇數共有280個．【解析】：，2，，9這9個數字中奇數共有5個，用1，2，，9這9個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中奇數共有個．故答案為：280．14．記等差數列的前項和為，若，，則．【解析】：設等差數列的首項為，公差為，由，，得，即，解得．所以等差數列的通項公式為，．故答案為：．15．不等式的解集為，．【解析】：，則，化簡整理可得，，解得，故所求解集為，．故答案為：，．16．函數的最小值為．【解析】：，令，解得．可得：函數在上單調遞減，在上單調遞增．時，函數取得極小值即最小值，．故答案為：．17．已知函數的定義域為，若，（1），則（9）11．【解析】：函數的定義域為，，（1），（1）（3），（3），（3）（5），（5），（5）（7），（7），（7）（9），則（9）．故答案為：11．18．已知二面角的大小為，正方形在內，等邊三角形在內，則異面直線與所成角的余弦值為．【解析】：過作，在平面過作軸，因為二面角的大小為，所以平面，設正方形的邊長為2，由題意，可得，0，，，0，，，0，，，2，，則，0，，，2，，所以，，，所以，．所以異面直線與所成角的余弦值為，．故答案為：．三、解答題：本題共4小題，每小題15分，共60分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。19．（15分）已知△中，，．（1）求；（2）求．【解析】：（1）由，可得，由正弦定理，可得，又，，所以，由誘導公式，可得，所以或，，又，所以，，又，故；（2）由（1）知，，，則，所以．20．（15分）在一個工作日中，某工人至少使用甲、乙兩儀器中的一個，該工人使用甲儀器的概率為0.6，使用乙儀器的概率為0.5，且不同工作日使用儀器的情況相互獨立．（1）求在一個工作日中該工人既使用甲儀器也使用乙儀器的概率；（2）記為在100個工作日中，該工人僅使用甲儀器的天數，求．【解析】：（1）設事件表示“在一個工作日中該工人既使用甲儀器也使用乙儀器”，則（A）；（2）因為在一個工作日中該工人僅使用甲儀器的概率為，則，所以．21．（15分）記數列的前項和為，已知，．（1）證明：數列是等比數列；（2）求的通項公式．【解析】：（1）證明：，，，，，，，又，數列是以首項為3，公比為3的等比數列；（2）由（1）可得，①，當時，②，①②可得，又，也滿足上式，，．22．（15