蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《3.2雙曲線》2023年同步練習卷一、選擇題1．已知雙曲線C：＝1的左、右焦點分別為F1，F2，P為C的右支上一點，且|PF2|＝|F1F2|，則△PF1F2的面積等于（）A．24 B．36 C．48 D．962．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，點P是該雙曲線上的一點，且|PF1|＝10，則|PF2|＝（）A．2或18 B．2 C．18 D．43．定義焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線為一對相關曲線．已知F1，F2是一對相關曲線的焦點，P是這對相關曲線在第一象限的交點，則點P與以F1F2為直徑的圓的位置關系是（）A．在圓外 B．在圓上 C．在圓內 D．不確定4．已知點P是雙曲線﹣＝1右支上一點，F1是雙曲線的左焦點，且雙曲線的一條漸近線恰是線段PF1的中垂線，則該雙曲線的漸近線方程是（）A．y＝x B．y＝±x C．y＝x D．y＝±2x5．已知雙曲線的左焦點為F，過F的直線l交雙曲線C的左、右兩支分別于點Q，P，若|FQ|＝t|QP|，則實數t的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知F1，F2是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且F1P＞F2P，線段F1P的垂直平分線過F2.若橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，則的最小值為（）A． B．3 C．6 D．7．雙曲線的左、右焦點為F1、F2，點P是C右支上異于頂點的任意一點，PQ是∠F1PF2的平分線，過點F1作PQ的垂線，垂足為Q，O為坐標原點，則|OQ|的值為（）A．3 B．4 C．5 D．不確定，隨P點位置變化而變化8．如圖所示，F1和F2分別是雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，A和B是以O為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．+19．已知常數k1，k2滿足0＜k1＜k2，k1k2＝1．設C1和C2分別是以y＝±k1（x﹣1）+1和y＝±k2（x﹣1）+1為漸近線且通過原點的雙曲線，則C1和C2的離心率之比＝（）A． B． C．1 D．二、多選題（多選）10．已知F1，F2分別是雙曲線C：x2﹣y2＝1的左、右焦點，點P是雙曲線上異于雙曲線頂點的一點，且?＝0，則下列結論正確的是（）A．雙曲線C的漸近線方程為y＝±x B．以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2＝1 C．F1到雙曲線的一條漸近線的距離為1 D．△PF1F2的面積為1（多選）11．P為雙曲線﹣y2＝1上一點，A（﹣2，0），B（2，0），令∠PAB＝α，∠PBA＝β，下列為定值的是（）A．tanαtanβ B．tantan C．S△PABtan（α+β） D．S△PABcos（α+β）三、填空題12．設直線x﹣3y+m＝0（m≠0）與雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于點A，B，若點P（﹣m，0）滿足|PA|＝|AB|，則該雙曲線的漸近線方程為．13．過雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點，若|AB|≥|CD|，則雙曲線離心率的取值范圍為．14．雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F2，過F2作F1F2的垂線，交雙曲線于A，B兩點，D是雙曲線的右頂點，連接AD，BD，并延長分別交y軸于點M，N．若點P（﹣3a，0）在以MN為直徑的圓上，則雙曲線C的離心率為．四、解答題15．已知雙曲線的實軸長為2，點在此雙曲線上．（Ⅰ）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）已知直線x﹣y+m＝0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB中點N在圓x2+y2＝5上，求實數m的值．16．已知直線y＝ax+1與雙曲線3x2﹣y2＝1交于A、B兩點，（1）若以AB線段為直徑的圓過坐標原點，求實數a的值．（2）是否存在這樣的實數a，使A、B兩點關于直線對稱？說明理由．17．已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的離心率為，實軸長為2；（1）求雙曲線C的標準方程；（2）已知直線x﹣y+m＝0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x2+y2＝5上，求實數m的值．

蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《3.2雙曲線》2023年同步練習卷參考答案與試題解析一、選擇題1．【分析】先根據雙曲線方程求出焦點坐標，再利用雙曲線的第一定義求得||PF1|，作PF1邊上的高AF2，則可知AF1的長度，進而利用勾股定理求得AF2，則△PF1F2的面積可得．【解答】解：∵雙曲線中a＝3，b＝4，c＝5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0），∵|PF2|＝|F1F2|，∴|PF1|＝2a+|PF2|＝6+10＝16，作PF1邊上的高AF2，則AF1＝8，∴，∴△PF1F2的面積為，故選：C．2．【分析】判斷P所在位置，然后利用雙曲線的定義轉化求解即可．【解答】解：因為|PF1|＝10＜a+c＝12，所以點P在該雙曲線左支上，則|PF2|＝2a+|PF1|＝2×4+10＝18．故選：C．3．【分析】設橢圓的長軸長為2a1，橢圓的焦距為2c，雙曲線的實軸長為2a2，根據題意可得c2＝a1a2，設|PF?|＝x，|PF2|＝y，x＞y＞0，根據橢圓與雙曲線的定義將x，y分別用a1，a2表示，設P（m，n），m＞0，n＞0，再根據兩點的距離公式將P點的坐標用a1，a2，c表示，從而可判斷出點與圓的位置關系．【解答】解：設橢圓的長軸長為2a1，橢圓的焦距為2c，雙曲線的實軸長為2a2，設橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則，所以c2＝a1a2，以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2＝c2，設|PF1|＝x，|PF2|＝y，x＞y＞0，則有，所以，設P（m，n），m＞0，n＞0，F1（﹣c，0），F2（c，0），所以①，②①﹣②得，，所以，所以m＝c，將m＝c代入②得，所以n＝|a1﹣a2|，P（c，|a1﹣a2|），則點P到圓心O的距離為，所以點P在以F1F2為直徑的圓外，故選：A．4．【分析】畫出圖形，利用已知條件，求出漸近線方程，利用中垂線的性質結合雙曲線的定義轉化求解即可．【解答】解：因雙曲線線的漸近線為，雙曲線的一條漸近線恰是線段PF1的中垂線，交點為M，如圖所示，對于|OF1|＝c，直線PF1：，由原點O（0，0）到直線PF1：ax﹣by+ac＝0的距離得，因此|OM|＝a，|F1M|＝b，則根據幾何圖形的性質可得|F1P|＝2b，|F2P|＝2a，根據雙曲線的定義得|F1P|﹣|F2P|＝2a＝2b﹣2a，因此可得b＝2a，則雙曲線的線近線為y＝±2x．故選：D．5．【分析】設P（x1，y1），Q（x2，y2），利用坐標向量法表示可得x2＝，y2＝，代入雙曲線可得x1＝≥，解得即可．【解答】解：根據條件可得F（﹣2，0），設P（x1，y1），Q（x2，y2），則＝（x2+2，y2），＝（x1﹣x2，y1﹣y2），因為|FQ|＝t|QP|，則（x2+2，y2）＝t（x1﹣x2，y1﹣y2），所以x2＝，y2＝，又因為P、Q都在雙曲線上，所以，整理可得x1＝，易知x1≥，所以≥，又t＞0，所以0＜t≤，即實數t的取值范圍是（0，），故選：A．6．【分析】根據橢圓與雙曲線的定義可得|F1P|+2c＝2a1，|F1P|﹣2c＝2a2，兩式相減可得a1﹣a2＝2c，可化簡為，由基本不等式可求得最值．【解答】解：設橢圓長軸長為2a1，雙曲線實軸長為2a2，不妨設點P在第一象限，如圖，由題意可知|F1F2|＝|F2P|＝2c，又因為|F1P|+|F2P|＝2a1，|F1P|﹣|F2P|＝2a2，所以|F1P|+2c＝2a1，①，|F1P|﹣2c＝2a2，②，兩式相減得a1﹣a2＝2c，所以+＝，又因為，當且僅當，即c＝2a2時等號成立，所以的最小值為6，故選：C．7．【分析】先畫出雙曲線和焦點三角形，由題意可知PQ是MF1的中垂線，再利用雙曲線的定義和中位線定理，數形結合即可得結果．【解答】解：過點F1作PQ的垂線，垂足為Q，交PF2的延長線于M，由三角形PF1M為等腰三角形，可得Q為F1M的中點，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝|F2M|＝2a＝6，由三角形的中位線定理可得|OQ|＝|F2M|＝a＝3，故選：A．8．【分析】連接AF1，根據△F2AB是等邊三角形可知∠AF2B＝60°，F1F2是圓的直徑可表示出|AF1|、|AF2|，再由雙曲線的定義可得c﹣c＝2a，從而可求雙曲線的離心率．【解答】解：連接AF1，則∠F1AF2＝90°，∠AF2B＝60°，∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，∴c﹣c＝2a，∴e＝＝+1，故選：D．9．【分析】由題意可得曲線C1和C2的中心（1，1），且C1為實軸在直線x＝1上的雙曲線，C2為實軸在直線y＝1上的雙曲線，可用k1，k2表示離心率，進而求出離心率之比．【解答】解：由題意知雙曲線C1和C2的中心為（1，1），由雙曲線過原點可知C1為實軸在直線x＝1上的雙曲線，所以＝，＝＝1+＝1+，C2為實軸在直線y＝1上的雙曲線，所以＝，＝1+，又因為k1k2＝1，所以＝＝＝1，故選：C．二、多選題10．【分析】給出雙曲線方程，可以得出abc的值，左右焦點的坐標，漸近線方程，由?＝0，得P的橫縱坐標的關系，再由P在雙曲線上，可求出P的坐標．進而得命題的真假．【解答】解：A中雙曲線x2﹣y2＝1，可得焦點在x軸上，a2＝b2，a＞0，b＞0，a是實半軸長，b虛半軸長，所以漸近線方程為y＝±x即y＝±x，所以A正確；B中，x2﹣y2＝1，可得左焦點F1（﹣，0），右焦點F2（，0），所以以F1F2為直徑的圓的圓心是（0，0），半徑為，所以圓的方程為x2+y2＝2，所以B不正確；C中，F1（﹣，0）到一條漸近線為x﹣y＝0的距離d＝＝1，所以C正確；D中，?＝0，設P坐標（x，y），＝（﹣﹣x，﹣y），＝（﹣x，﹣y），∴?＝（﹣﹣x）?（）+（﹣y）2＝0?x2+y2＝2①，又P在雙曲線上，所以x2﹣y2＝1（y≠0）②，由①②得，|y|＝，∴S△PF1F2＝|F1F2|?|y|＝＝1，∴D正確；故選：ACD．11．【分析】可設P（m，n），代入雙曲線的方程，求得直線PA，PB的斜率之積為定值，即可得到所求結論．【解答】解：可設P（m，n），可得﹣n2＝1，即m2﹣4＝4n2，則kPAkPB＝?＝＝＝，可得tanαtanβ＝﹣為定值，由S△PABtan（α+β）＝×4|n|?＝2|n|?（﹣）＝±?＝±，故選：AC．三、填空題12．【分析】先求出A，B的坐標，可得AB中點坐標，利用點P（﹣m，0）滿足|PA|＝|PB|，可得＝﹣3，從而可求雙曲線的漸近線方程．【解答】解：雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線方程為y＝±x，則與直線x﹣3y+m＝0聯立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中點坐標為（，），∵點P（﹣m，0）滿足|PA|＝|AB|，∴＝﹣3，∴a＝b，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x．故答案為：y＝±x．13．【分析】設出雙曲線的右焦點和漸近線方程，令x＝c，聯立方程求出A，B，C，D的坐標，結合距離關系和條件，運用離心率公式和a，b，c的關系，進行求解即可．【解答】解：設雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為（c，0），當x＝c時代入雙曲線﹣＝1得y＝±，則A（c，），B（c，﹣），則AB＝，將x＝c代入y＝±x得y＝±，則C（c，），D（c，﹣），則|CD|＝，∵|AB|≥|CD|，∴≥?，即b≥c，則b2＝c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，則e2＝≥，則e≥．故答案為：[，+∞）．14．【分析】求得M，N點的坐標，根據P在以MN為直徑的圓上列方程，化簡求得雙曲線C的離心率．【解答】解：由得，不妨設，而D（a，0），所以直線AD的方程為，令x＝0得，則，同理可求得，所以以MN為直徑的圓的方程為，將P（﹣3a，0）代入上式得：，即c2+2ac﹣8a2＝0，（c﹣2a）（c+4a）＝0，則．故答案為：2．四、解答題15．【分析】（Ⅰ）根據雙曲線的性質，求出a，b即可求雙曲線C的方程；（Ⅱ）根據直線與雙曲線的位置關系，求出中點坐標，結合中點坐標在圓上的關系進行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）依題意知：2a＝2，∴a＝1，又點在雙曲線上，∴，∴雙曲線方程為：（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0）由消y有x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0，∴Δ＝（﹣2m）2+4（m2+2）＞0，∴，∵N為AB中點，∴，∵N在圓x2+y2＝5上即m2+（2m）2＝5，∴m＝±1，經檢驗，符合題意．所以，實數m的值為±1．16．【分析】（1）聯立方程，設A（x1，y1），B（x2，y2），根據方程的根與系數關系可求x1+x2，x1x2，代入直線y＝ax+1可求y1y2＝（ax1+1）（ax2+1），由題意可得，，即x1x2+y1y2＝0，代入可求a的值．（2）假定存在這樣的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）關于直線