高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市閔行區六校聯考2023-2024學年高一下學期期末考試數學試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1.是第_____________象限角.〖答案〗三〖解析〗易知，因此與的終邊相同，因為在第三象限，所以是第三象限角.故〖答案〗為：三.2.函數的最小正周期是_____________.〖答案〗〖解析〗函數的最小正周期.故〖答案〗為：.3.已知扇形的半徑長為5cm，圓心角是2rad，則扇形的弧長是______cm．〖答案〗10〖解析〗由題意，弧長是cm.故〖答案〗為：10.4.已知點，，若，則點的坐標是______．〖答案〗〖解析〗設，則，，因為，所以，即，解得，所以.故〖答案〗為：.5.已知無窮數列滿足，，則______．〖答案〗〖解析〗因為，，即，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，設的前項和為，則，所以.故〖答案〗為：.6.若，則__________.〖答案〗〖解析〗，，，，，，.故〖答案〗為：.7.己知等差數列，若，則______．〖答案〗〖解析〗因為等差數列，，，則.故〖答案〗為：.8.已知，，在上的投影向量的坐標為________．〖答案〗〖解析〗由，得，所以在上的投影向量.故〖答案〗為：.9.已知，且關于的方程有實數根，則與的夾角的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗因為關于的方程有實數根，所以，即，設與的夾角為，所以，因為，所以，即與的夾角的取值范圍是.故〖答案〗為：.10.若復數，滿足．且（i為虛數單位），則______．〖答案〗〖解析〗設，，，，又，所以，，，，.故〖答案〗為：.11.已知函數，將圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，而縱坐標保持不變，得到函數的部分圖像如圖所示，若，則______．〖答案〗〖解析〗設，其中為的最小正周期，根據得：，解得，因為是由圖像上的點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變，所以的〖解析〗式為，故，即.故〖答案〗：.12.已知關于的方程有四個互不相等的根，若這四個根在復平面上對應的點共圓，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因為，即，解得，設所對應的兩點分別為、，則、，設的解所對應的兩點分別為、，記為，，當，即，解得，即時，因為、關于軸對稱，且，關于軸對稱，則以、、、為頂點的四邊形為矩形或等腰梯形，所以、、、四點共圓；當，即或時，此時，，且，，故此圓的圓心為，半徑，又圓心到的距離，解得，綜上可得.故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確〖答案〗，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.已知等差數列，，……，則該數列的前n項和（）A.無最大值，有最小值 B.有最大值，無最小值C.有最大值，有最小值 D.無最大值，無最小值〖答案〗A〖解析〗易得該等差數列首項為負，公差為正，故該數列的前n項和，故當或時取得最小值，無最大值.故選：A.14.用數學歸納法證明時，由到時，不等式左邊應添加的項是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗當n＝k時，有不等式，當n＝k+1時，不等式為，將上面兩式左邊相減可得，由n＝k到n＝k+1時，不等式左邊應添加的項是.故選：D.15.對于函數，給出下列結論：①函數的圖象關于點對稱；②函數的對稱軸是，；③若函數是偶函數，則的最小值為；④函數在的值域為.其中正確的命題個數是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗因為，因為，所以函數的圖象關于點對稱，故①正確；令，解得，所以函數的對稱軸是，，故②正確；因為為偶函數，所以，解得，所以的最小值為，故③正確；當，則，當，即時，故④錯誤.故選：D.16.中國文化中的太極八卦圖蘊含了現代哲學中的矛盾對立統一規律，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，若點P是其內部任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由八卦圖的對稱性可得，故，，設到的距離為，則，解得，又，又即在上的投影，其最大值為，最小值為，故，即.故選：C.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.17.已知，，．（1）求；（2）若，求實數k的值．解：（1）因為，，，所以，所以.（2）因為，所以，即，即，解得.18.設復數，．（1）若在復平面上所對應的點在第一象限，求a的取值范圍；（2）若為純虛數，求．解：（1）由題意可知，因為，所以，所以，又因為在復平面上對應的點在第一象限，所以，解得，所以實數的取值范圍為.（2）因為為純虛數，所以，即，所以，故.19.如圖，某快遞小哥從A地出發，沿小路以平均時速20km/h，送快件到C處，已知，，，，．（1）求的面積．（2）快遞小哥出發25分鐘后，公司發現快件有重大問題，由于通訊不暢，公司只能派車沿大路追趕，若汽車平均時速50km/h，問汽車能否先到達C處？解：（1）因為，，，由余弦定理得，即，故，解得，負值舍去，故.（2）在中，由正弦定理得，又，故，因為，所以，，故汽車所需時間為h，因為，由余弦定理得，故，故，快遞小哥出發25分鐘，騎行路程為，剩余路程為，到達C處所需時間為，其中，故，所以汽車先到達C處.20.已知，，記.（1）求函數的值域；（2）求函數，的單調減區間；（3）若，恰有2個零點，求實數的取值范圍和的值．解：（1）由題意可知，，則函數函數的值域為.（2）由，因為，所以，令，解得，函數，的單調減區間.（3），因為，所以，根據條件在恰有2個零點，則有兩個根，即有兩個根，則，解得，實數的取值范圍，根據函數在恰有2個零點，即有兩個根，因為，令，解得，所以關于對稱，則．21.已知數列，若為等比數列，則稱具有性質P.（1）若數列具有性質P，且，，求的值；（2）若，求證：數列具有性質P；（3）設，數列具有性質P，其中，，，若，求正整數m的取值范圍.解：（1）由題意可知成等比數列，則，即，，解得.（2）證明：；，，，數列是以6為首項，以2為公比的等比數列故數列具有性質.（3）設數列的前項和為，則，當時，；當時，；經檢驗，，由，解得，則，由數列具有性質，則為等比數列，，故數列為以2為首項以2為公比的等比數列，則，于是，即，由，則數列是以為首項，以為公比的等比數列，故，則，，化簡可得，①若為偶數，則，即；②若為奇數，則，即；綜上可得，的取值范圍是且.上海市閔行區六校聯考2023-2024學年高一下學期期末考試數學試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1.是第_____________象限角.〖答案〗三〖解析〗易知，因此與的終邊相同，因為在第三象限，所以是第三象限角.故〖答案〗為：三.2.函數的最小正周期是_____________.〖答案〗〖解析〗函數的最小正周期.故〖答案〗為：.3.已知扇形的半徑長為5cm，圓心角是2rad，則扇形的弧長是______cm．〖答案〗10〖解析〗由題意，弧長是cm.故〖答案〗為：10.4.已知點，，若，則點的坐標是______．〖答案〗〖解析〗設，則，，因為，所以，即，解得，所以.故〖答案〗為：.5.已知無窮數列滿足，，則______．〖答案〗〖解析〗因為，，即，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，設的前項和為，則，所以.故〖答案〗為：.6.若，則__________.〖答案〗〖解析〗，，，，，，.故〖答案〗為：.7.己知等差數列，若，則______．〖答案〗〖解析〗因為等差數列，，，則.故〖答案〗為：.8.已知，，在上的投影向量的坐標為________．〖答案〗〖解析〗由，得，所以在上的投影向量.故〖答案〗為：.9.已知，且關于的方程有實數根，則與的夾角的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗因為關于的方程有實數根，所以，即，設與的夾角為，所以，因為，所以，即與的夾角的取值范圍是.故〖答案〗為：.10.若復數，滿足．且（i為虛數單位），則______．〖答案〗〖解析〗設，，，，又，所以，，，，.故〖答案〗為：.11.已知函數，將圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，而縱坐標保持不變，得到函數的部分圖像如圖所示，若，則______．〖答案〗〖解析〗設，其中為的最小正周期，根據得：，解得，因為是由圖像上的點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變，所以的〖解析〗式為，故，即.故〖答案〗：.12.已知關于的方程有四個互不相等的根，若這四個根在復平面上對應的點共圓，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因為，即，解得，設所對應的兩點分別為、，則、，設的解所對應的兩點分別為、，記為，，當，即，解得，即時，因為、關于軸對稱，且，關于軸對稱，則以、、、為頂點的四邊形為矩形或等腰梯形，所以、、、四點共圓；當，即或時，此時，，且，，故此圓的圓心為，半徑，又圓心到的距離，解得，綜上可得.故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確〖答案〗，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.已知等差數列，，……，則該數列的前n項和（）A.無最大值，有最小值 B.有最大值，無最小值C.有最大值，有最小值 D.無最大值，無最小值〖答案〗A〖解析〗易得該等差數列首項為負，公差為正，故該數列的前n項和，故當或時取得最小值，無最大值.故選：A.14.用數學歸納法證明時，由到時，不等式左邊應添加的項是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗當n＝k時，有不等式，當n＝k+1時，不等式為，將上面兩式左邊相減可得，由n＝k到n＝k+1時，不等式左邊應添加的項是.故選：D.15.對于函數，給出下列結論：①函數的圖象關于點對稱；②函數的對稱軸是，；③若函數是偶函數，則的最小值為；④函數在的值域為.其中正確的命題個數是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗因為，因為，所以函數的圖象關于點對稱，故①正確；令，解得，所以函數的對稱軸是，，故②正確；因為為偶函數，所以，解得，所以的最小值為，故③正確；當，則，當，即時，故④錯誤.故選：D.16.中國文化中的太極八卦圖蘊含了現代哲學中的矛盾對立統一規律，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，若點P是其內部任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由八卦圖的對稱性可得，故，，設到的距離為，則，解得，又，又即在上的投影，其最大值為，最小值為，故，即.故選：C.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.17.已知，，．（1）求；（2）若，求實數k的值．解：（1）因為，，，所以，所以.（2）因為，所以，即，即，解得.18.設復數，．（1）若在復平面上所對應的點在第一象限，求a的取值范圍；（2）若為純虛數，求．解：（1）由題意可知，因為，所以，所以，又因為在復平面上對應的點在第一象限，所以，解得，所以實數的取值范圍為.（2）因為為純虛數，所以，即，所以，故.19.如圖，某快遞小哥從A地出發，沿小路以平均時速20km/h，送快件到C處，已知，，，，．（1）求的面積．（2）快遞小哥出發25分鐘后，公司發現快件有重大問題，由于通訊不暢，公司只能派車沿大路追趕，若汽車平均時速50km/h，問汽車能否先到達C處？解：（1）因為，，，由余弦定理得，即，故，解得，負值舍去，故.（2）在中，由正弦定理得，又，故，因為，所以，，故汽車所需時間為h，因為，由余弦定理得，故，故，快遞小哥出發25分鐘，騎行路程為，剩余路程為，到達C處所需時間為，其中，故，所以汽車先到達C處.20.已知，，記.（1）求函數的值域；（2）求函數，的單調減區間；（3）若，恰有2個零點，求實數的取值范圍和的值．解：（1）由題意可知，，則函數函數的值域為.（2）由，因為，所以，令，解得，函數，的單調減區間.（3），因為，所以，根據條件在恰有2個零點，則有兩個根，即有兩個根，則，解得，實數的取值范圍，根據函數在恰有2個零點，即有兩個根，因為，令，解得，所以關于對稱，則．21.已知數列，若為等