高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市寶山區2023-2024學年高一下學期期末教學質量監測數學試卷一、填空題（本大題共12小題，1-6每小題3分，7-12每小題4分，滿分42分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，否則一律得零分．1.已知集合，，則______．〖答案〗〖解析〗由，可得、，則.故〖答案〗為：.2.函數的最小正周期為______．〖答案〗〖解析〗由正切型函數性質可知.故〖答案〗為：.3.若指數函數是上的單調增函數，則實數的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由題意，函數是上的單調增函數，根據指數函數的圖象與性質，則滿足，解得，即實數的取值范圍是.故〖答案〗為：.4.已知扇形的弧長是，面積是，則扇形的圓心角的弧度數為______．〖答案〗〖解析〗設該扇形半徑為，弧長為，圓心角為，面積為，則，即，即，又，則.故〖答案〗為：.5.若，則的值為______．〖答案〗125〖解析〗由題意知，，則，所以，解得.故〖答案〗為：125.6.向量，能組成平面向量的一個基，則實數的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意可得，不共線，故有，即，故實數的取值范圍是.故〖答案〗：.7.已知中，，，，則在方向上的數量投影為______．〖答案〗〖解析〗.

故〖答案〗為：.8.若正數，，滿足，且的最小值是4，則的值為______．〖答案〗1〖解析〗由題意得，，所以，即，當且僅當時，等號成立，令，則，方程，，所以是方程的根，所以.故〖答案〗為：1.9.已知，，，則______．〖答案〗〖解析〗由，，，則，則，，.故〖答案〗為：.10.若函數的定義域為，值域為，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗觀察在上的圖象，當時，或，當時，，所以的最小值為：，的最大值為：，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.11.若函數對于任意，總存在使得，則稱是上的“階依賴函數”．已知函數是上的“階依賴函數”，則實數的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意可得，對于任意，存在使得，即，則，即.故〖答案〗為：.12.中，，當時，的最小值為，則______．〖答案〗〖解析〗令，則，又，則點在線段上，取上靠近點的三等分點，連接，則，則，令點關于的對稱點為，則，即有，設，則在中，有，即，即，又，則，則有，即，即.

故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，滿分12分）每題有且只有一個正確〖答案〗，考生應在答題紙的相應編號上，將代表〖答案〗的小方格涂黑，選對得3分，否則一律得零分．13.已知角終邊上一點，若，則實數的值為（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由三角函數定義可得，解得.

故選：C.14.設函數是定義在上的奇函數，則“在上為嚴格增函數”是“在上的最小值為”的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要〖答案〗A〖解析〗若在上為嚴格增函數，由奇函數性質可得在上為嚴格增函數，則在上最小值為，若在上的最小值為，不能得到在上為嚴格增函數，即不能得到在上為嚴格增函數，故“在上為嚴格增函數”是“在上最小值為”的充分非必要條件.故選：A.15.如果兩個復數的實部互為相反數，虛部相等，那么這兩個復數互為“共胚復數”．已知與互為“共胚復數”，其中，，為虛數單位，則的值為（）A. B.0 C.3 D.〖答案〗D〖解析〗，則有，則.故選：D.16.已知函數，，，實數是函數的一個零點，下列選項中，不可能成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由在上單調遞減，y＝log2x在上單調遞增，所以，在定義域上是單調減函數，當時，，又因為，，所以，當都為負值，則都大于，當，則都小于，大于，綜合可得，不可能成立．故選：C.三、解答題（本大題共有5題，滿分46分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟．17.已知冪函數的圖像經過點．（1）求此冪函數的表達式和定義域；（2）若，求實數的取值范圍．解：（1）設，則有，解得，故，即，則其定義域為.（2）由，則在上單調遞減，故有，即，即.18.已知坐標平面內，向量，，．（1）求滿足的實數、；（2）若向量滿足，且，求的坐標．解：（1）由，則有，解得，即，.（2）設，則有，解得或，故或.19.銳角中角、、的對邊分別為、、，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，則.（2）由，則、，則，由為銳角三角形，可得，解得，則，則，故.20.已知函數的部分圖像如圖所示：（1）求函數的表達式；（2）當時，求方程的所有根的和．解：（1）由函數的圖象，可得，可得，所以，因為，即，可得，即，又因為，可得，所以.（2）由，可得或，因為，可得，當時，，設方程的解為，則，可得；當時，，則，可得，綜上所述，方程的所有根的和為.21.已知集合（其中是虛數單位），定義：，.（1）計算的值；（2）記，若，且滿足，求的最大值，并寫出一組符合題意的、；（3）若，且滿足，，記，求證：當時，函數必存在唯一的零點，且當時，．解：（1）.（2）設，由，得，所以，當，時等號成立，所以的最大值為4，符合題意的一組解：.（3）由條件可知，所以，設，當時，和是單調遞增函數，則在上單調遞增，又，，所以在上有唯一的零點，即在上有唯一的零點，當時，是單調遞增函數，得，先增后減，且，因此，即在上沒有零點，當時，是單調遞增函數，則，而，因此，即在上沒有零點，綜上，當時，必存在唯一的零點，當時，，且得，所以，其中，此時是單調遞增函數，所以，從而，所以當時，.上海市寶山區2023-2024學年高一下學期期末教學質量監測數學試卷一、填空題（本大題共12小題，1-6每小題3分，7-12每小題4分，滿分42分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，否則一律得零分．1.已知集合，，則______．〖答案〗〖解析〗由，可得、，則.故〖答案〗為：.2.函數的最小正周期為______．〖答案〗〖解析〗由正切型函數性質可知.故〖答案〗為：.3.若指數函數是上的單調增函數，則實數的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由題意，函數是上的單調增函數，根據指數函數的圖象與性質，則滿足，解得，即實數的取值范圍是.故〖答案〗為：.4.已知扇形的弧長是，面積是，則扇形的圓心角的弧度數為______．〖答案〗〖解析〗設該扇形半徑為，弧長為，圓心角為，面積為，則，即，即，又，則.故〖答案〗為：.5.若，則的值為______．〖答案〗125〖解析〗由題意知，，則，所以，解得.故〖答案〗為：125.6.向量，能組成平面向量的一個基，則實數的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意可得，不共線，故有，即，故實數的取值范圍是.故〖答案〗：.7.已知中，，，，則在方向上的數量投影為______．〖答案〗〖解析〗.

故〖答案〗為：.8.若正數，，滿足，且的最小值是4，則的值為______．〖答案〗1〖解析〗由題意得，，所以，即，當且僅當時，等號成立，令，則，方程，，所以是方程的根，所以.故〖答案〗為：1.9.已知，，，則______．〖答案〗〖解析〗由，，，則，則，，.故〖答案〗為：.10.若函數的定義域為，值域為，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗觀察在上的圖象，當時，或，當時，，所以的最小值為：，的最大值為：，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.11.若函數對于任意，總存在使得，則稱是上的“階依賴函數”．已知函數是上的“階依賴函數”，則實數的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意可得，對于任意，存在使得，即，則，即.故〖答案〗為：.12.中，，當時，的最小值為，則______．〖答案〗〖解析〗令，則，又，則點在線段上，取上靠近點的三等分點，連接，則，則，令點關于的對稱點為，則，即有，設，則在中，有，即，即，又，則，則有，即，即.

故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，滿分12分）每題有且只有一個正確〖答案〗，考生應在答題紙的相應編號上，將代表〖答案〗的小方格涂黑，選對得3分，否則一律得零分．13.已知角終邊上一點，若，則實數的值為（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由三角函數定義可得，解得.

故選：C.14.設函數是定義在上的奇函數，則“在上為嚴格增函數”是“在上的最小值為”的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要〖答案〗A〖解析〗若在上為嚴格增函數，由奇函數性質可得在上為嚴格增函數，則在上最小值為，若在上的最小值為，不能得到在上為嚴格增函數，即不能得到在上為嚴格增函數，故“在上為嚴格增函數”是“在上最小值為”的充分非必要條件.故選：A.15.如果兩個復數的實部互為相反數，虛部相等，那么這兩個復數互為“共胚復數”．已知與互為“共胚復數”，其中，，為虛數單位，則的值為（）A. B.0 C.3 D.〖答案〗D〖解析〗，則有，則.故選：D.16.已知函數，，，實數是函數的一個零點，下列選項中，不可能成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由在上單調遞減，y＝log2x在上單調遞增，所以，在定義域上是單調減函數，當時，，又因為，，所以，當都為負值，則都大于，當，則都小于，大于，綜合可得，不可能成立．故選：C.三、解答題（本大題共有5題，滿分46分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟．17.已知冪函數的圖像經過點．（1）求此冪函數的表達式和定義域；（2）若，求實數的取值范圍．解：（1）設，則有，解得，故，即，則其定義域為.（2）由，則在上單調遞減，故有，即，即.18.已知坐標平面內，向量，，．（1）求滿足的實數、；（2）若向量滿足，且，求的坐標．解：（1）由，則有，解得，即，.（2）設，則有，解得或，故或.19.銳角中角、、的對邊分別為、、，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，則.（2）由，則、，則，由為銳角三角形，可得，解得，則，則，故.20.已知函數的部分圖像如圖所示：（1）求函數的表達式；（2）當時，求方程的所有根的和．解：（1）由函數的圖象，可得，可得，所以，因為，即，可得，即，又因為，可得，所以.（2）由，可得或，因為，可得，當時，，設方程的解為，則，可得；當時，，則，可得，綜上所述，方程的所有根的和為.21.已知集合（其中是虛數單位），定義：，.（1）計算的值；（2）記，若，且滿足，求的最大值，并寫出一組符合題意的、；（3）若