2020年第37屆全國中學生物理競賽預賽試題第37屆全國中學生物理競賽預賽試題一、選擇題1.有兩個同樣的梯子，其頂部用活頁連在一起，在兩梯中間某相對的位置用一輕繩系住，便形成了人字梯。如圖所示，將兩個同樣的人字梯甲、乙放置于水平地面上，甲梯用的繩更長一些。當某人先、后站在甲、乙兩梯頂端時，下述說法正確的是（）A.甲梯所受地面支持力一定較大B.甲、乙兩梯所受地面的支持力一定相等C.繩子被張緊時，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的大D.繩子被張緊時，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的小2.某飛機（見圖a）起落架結構如簡圖b所示。當驅動桿甲轉動時，通過桿上螺紋帶動連桿乙，實現輪子的收放。忽略空氣對輪子的阻力。不考慮地球自轉。下述說法正確的是（）A.飛機在著陸瞬間，連桿乙、丙對輪軸的合力豎直向下B.飛機在著陸瞬間，連桿乙、丙對輪軸的合力豎直向上C.飛機沿直線勻速飛行時，連桿乙、丙對輪軸的合力豎直向上D.輪子受到的重力與連桿乙、丙對輪軸的合力是一對作用力與反作用力3.某電動汽車自重2.0t，其電池額定容量為50kWh。車行駛時受到的阻力約為車重的十分之一。電池瞬時功率最高可達90kW，理論續航里程為400km。國家電網的充電樁可在電池額定容量的30%~80%范圍內應用快充技術（500V，50A）充電，而便攜充電器(220V，16A)可將電池容量從零充至100%；不計充電電源的內阻。當汽車電池剩余電量為其額定值的30%時，下列說法正確的是A.汽車至少還能行駛130kmB.用國家電網充電樁將電池容量充至其額定值的80%，理論上需要40minC.用便攜充電器將電池電量充至其額定值的80%，理論上需要7h以上D.此電動汽車最高行駛速度可超過130km/h4.甲、乙兩車在同一平直公路上以相同速度30m/s同向行駛，甲車在前，乙車在后，兩車距離100m。從時起，甲、乙兩車的加速度隨時間變化如圖所示。取運動方向為正方向，下面說法正確的是（）

A.t=3s時刻兩車距離最近B.t=9s時刻兩車距離100mC.3~9s內乙車做勻減速運動D.t=9s時刻乙車速度為零5.在生產紡織品、紙張等絕緣材料過程中，為了實時監控材料的厚度，生產流水線上設置如圖所示的傳感器，其中甲、乙為平行板電容器的上、下兩個固定極板，分別接在恒壓直流電源的兩極上。當通過極板間的材料厚度增大時，下列說法正確的是（）A.有負電荷從b向a流過靈敏電流計GB.甲、乙兩板間材料內電場強度不變C.乙板上的電荷量變小D.甲、乙平行板構成的電容器的電容增大二、填空題6.某同學在原地進行單手運球訓練中發現，讓籃球從靜止開始下落并自由反彈，彈起的最大高度比原來低20cm。為了讓球每次都能彈回到原來的高度，當球回到最高點時，向下拍打一次球，每分鐘拍打100次，籃球質量為600g。取重力加速度大小為10m/s2。不計空氣阻力和拍球瞬間的能量損失，則該同學每次拍打小球需做功為___J，拍打小球的平均功率為___W。7.如圖，導電物質為電子的霍爾元件長方體樣品置于磁場中，其上下表面均與磁場方向垂直，其中的1、2、3、4是霍爾元件上的四個接線端。若開關S1處于斷開狀態、開關S2處于閉合狀態，電壓表示數為0；當開關S1、S2閉合后，三個電表都有明顯示數。已知由于溫度非均勻性等因素引起的其它效應可忽略，則接線端2的電勢___（填“低于”、“等于”或“高于”）接線端4的電勢；若將電源、均反向接入電路，電壓表的示數___（填“正負號改變，大小不變”、“正負號和大小都不變”或“正負號不變，大小改變”）。8.為了提高風力發電的效率，我國目前正逐步采用變槳距（即調節風機葉片與風輪平面之間的夾角，當風速小時使葉片的迎風面積增大，當風速超過一定限度時使葉片的迎風面積減小，以穩定其輸出功率）控制風力發電機替代定槳距控制風力發電機。圖a所示中風力發電機每片葉片長度為54m，定槳距風機和變槳距風機的功率與風速的對應關系如圖b所示，所處地域全天風速均為7.5m/s，空氣密度為1.29kg/m3，煤的燃燒值為2.9×107J/kg。每小時進入一臺變槳距控制風力發電機的風的初始動能與完全燃燒___kg煤所放出的熱量相當，變槳距控制風力發電機將風能轉化成電能的效率為___%。9.我國“玉兔號”月球車利用太陽能電池產生的電能進行驅動。月球車總質量為140kg，所安裝的太陽能電池的電動勢為45V，內阻為10Ω，正常工作時電池的輸出功率為45.0W。月球車在某次正常工作時，從靜止出發沿直線行駛，經過5.0s后速度達到最大為0.50m/s。假設此過程中月球車所受阻力恒定，電池輸出功率的80%轉化為用于牽引月球車前進的機械功率。在此運動過程中，月球車所受阻力大小為___N，前進的距離約為___m。10.海平面能將無線電波全反射，反射波與入射波之間存在由于反射造成的半個波長的相位突變。一艘船在其離海平面高度為25m的桅桿上裝有發射天線，向位于海岸高處的山頂接收站發射波長在2~4m范圍內的無線電波。當船駛至與接收站的水平距離L越接近2000m，山頂接收站所接收到的信號越弱；當L=2000m時失去無線電聯系。山頂接收站海拔高度為150m。船上天線發出的無線電波中有一部分直接傳播到接收站，另一部分經海平面反射后傳播到接收站，兩列波的幾何波程差為___m，該無線電波的實際波長為___m。三、計算題11.大氣中存在可自由運動的帶電粒子，其密度隨距地面高度的增加而增大，離地面50km以下的大氣可視為具有一定程度漏電（即電阻率較大）的物質，離地面50km以上的大氣可視為帶電粒子密度非常高的良導體，地球本身帶負電，其周圍空間存在電場。離地面50km處的大氣層與地面之間的電勢差約為。由于電場的作用，地球處于放電狀態。但大氣中頻繁發生雷暴又對地球充電，從而保證了地球周圍電場強度大小恒定不變；統計表明，雷暴每秒帶給地球的平均電荷量約為。已知地球半徑。求離地面50km以下的大氣層（漏電大氣層）的平均電阻率和該大氣層向地球的平均漏電功率。12.潛艇從海水高密度區域駛入低密度區域，浮力頓減，潛艇如同汽車那樣掉下懸崖，稱之為“掉深”，曾有一些潛艇因此沉沒。某潛艇總質量為，在高密度海水區域水下200m沿水平方向緩慢潛航，如圖所示。當該潛艇駛入海水低密度區域時，浮力突然降為；10s后，潛艇官兵迅速對潛艇減重（排水），此后潛艇以1.0m/s2的加速度勻減速下沉，速度減為零后開始上浮，到水下200m處時立即對潛艇加重（加水）后使其緩慢勻減速上浮，升到水面時速度恰好為零。取重力加速度為10m/s2，不計潛艇加重和減重的時間和水的粘滯阻力。求：（1）潛艇“掉深”達到的最大深度（自海平面算起）；（2）潛艇為阻止“掉深”減重后質量以及升到水面時的質量。13.如圖，一半徑的球形薄壁玻璃魚缸內充滿水，水中有一條小魚。玻璃和水的折射率都是，觀察者在不同位置和不同角度對玻璃魚缸里的魚進行觀察。（1）當魚位于魚缸的中心時，求觀察者看到的魚的表觀位置和橫向放大率；（2）當魚位于某些位置時，有時觀察到魚缸里的魚“消失”，試找出魚可能“消失”的位置范圍以及觀察者的觀測位置范圍，并于圖中標出，并作簡要說明。14.球磨機利用旋轉圓筒驅動錳鋼球對礦石顆粒進行沖擊和剝磨。如圖，某球磨機圓筒半徑為，繞其（水平）對稱軸勻速旋轉。球磨機內裝有礦石顆粒和一個質量為m的錳鋼小球，鋼球與筒壁之間摩擦系數足夠大。若圓筒轉速較低，球磨機內的鋼球達到一定高度后會因為其本身的重量沿圓筒內壁滑滾下落（被稱為處于瀉落狀態），此時礦石被鋼球剝磨；若圓筒旋轉的角速度超過某臨界值，鋼球隨著圓筒旋轉而不下落（被稱為處于離心狀態），球磨機研磨作用停止；若圓筒的角速度介于上述兩情形之間，鋼球沿圓筒內壁上升至某一點后會脫離圓筒落下（被稱為處于拋落狀態）沖擊筒中的礦石粉，此時礦石被沖磨。重力加速度大小為g，求：（1）能使球磨機正常工作的圓筒轉動角速度的范圍；（2）能使鋼球對礦石的沖擊作用最大時的圓筒轉動角速度以及鋼球對礦石的最大沖擊功。（可利用不等式：設均為正數，則等號當且僅當時成立。）15.如圖，間距為的兩根平行光滑金屬導軌MN、PQ放置于同一水平面內，導軌左端連接一阻值為的定值電阻，導體棒a垂直于導軌放置在導軌上，在a棒左側和導軌間存在豎直向下的勻強磁場，磁感應強度大小為B，在a棒右側有一絕緣棒b，b棒與a棒平行，且與固定在墻上的輕彈簧接觸但不相連，彈簧處于壓縮狀態且被鎖定?，F解除鎖定，b棒在彈簧的作用下向左移動，脫離彈簧后以速度與a棒碰撞并粘在一起。已知a、b棒的質量分別為、，碰撞前后，兩棒始終垂直于導軌，a棒在兩導軌之間的部分的電阻為r，導軌電阻、接觸電阻以及空氣阻力均忽略不計，a、b棒總是保持與導軌接觸良好。不計電路中感應電流的磁場，求：（1）彈簧初始時的彈性勢能和a棒中電流的方向；（2）a棒從開始運動到停止的過程中產生的焦耳熱Q；（3）在a棒從開始向左滑行直至滑行距離為的過程中通過定值電阻的電量。16.線性渦流制動是磁懸浮列車高速運行過程中進行制動的一種方式。某研究所制成如圖所示的車和軌道模型來定量模擬磁懸浮列車的渦流制動過程。車廂下端有電磁鐵系統固定在車廂上，能在長、寬的矩形區域內產生沿豎直方向的勻強磁場，磁感應強度可隨車速的減小而自動增大（由車內速度傳感器控制），但最大不超過，長大于、寬也為的單匝矩形線圈間隔鋪設在軌道正中央，其間隔也為，每個線圈的電阻為，導線粗細忽略不計。在某次實驗中，模型車速度為時，啟動電磁鐵制動系統，車立即以加速度做勻減速直線運動；當磁感應強度增加到后，磁感應強度保持不變，直到模型車停止運動。已知模型車的總質量為，不計空氣阻力，不考慮磁場邊緣效應的影響，求：（1）電磁鐵磁場的磁感應強度達到最大時，模型車的速度；（2）模型車的制動距離。第37屆全國中學生物理競賽預賽試題一、選擇題1.有兩個同樣的梯子，其頂部用活頁連在一起，在兩梯中間某相對的位置用一輕繩系住，便形成了人字梯。如圖所示，將兩個同樣的人字梯甲、乙放置于水平地面上，甲梯用的繩更長一些。當某人先、后站在甲、乙兩梯頂端時，下述說法正確的是（）A.甲梯所受地面的支持力一定較大B.甲、乙兩梯所受地面的支持力一定相等C.繩子被張緊時，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的大D.繩子被張緊時，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的小【1題答案】【答案】B【解析】分析】【詳解】本題考查現實模型的受力分析。將人字梯和人作為整體，甲、乙兩梯所受地面的支持力等于兩梯和人的重力之和，故甲、乙兩梯所受地面的支持力相等，A錯誤，B正確；輕繩完全張緊時，對整體分析可知，人形梯水平方向上不受地面的摩擦力作用，C、D錯誤。2.某飛機（見圖a）起落架結構如簡圖b所示。當驅動桿甲轉動時，通過桿上螺紋帶動連桿乙，實現輪子的收放。忽略空氣對輪子的阻力。不考慮地球自轉。下述說法正確的是（）A.飛機在著陸瞬間，連桿乙、丙對輪軸的合力豎直向下B.飛機在著陸瞬間，連桿乙、丙對輪軸的合力豎直向上C.飛機沿直線勻速飛行時，連桿乙、丙對輪軸的合力豎直向上D.輪子受到的重力與連桿乙、丙對輪軸的合力是一對作用力與反作用力【2題答案】【答案】C【解析】【詳解】AB．飛機在著陸瞬間若為普通飛機將在水平方向做減速運動，若為鷂式戰斗機將在豎直方向做減速運動，加速度都不為零，所以輪子受到的力除重力、地面的支持力、乙與丙的作用力外，還受到地面的摩擦力；重力豎直向下，地面的支持力豎直向上，所以連桿乙、丙對輪軸的合力一定不在豎直方向上，AB錯誤；C．飛機勻速運動時，連桿的合力與輪軸的重力相平衡，因此豎直向上，C正確；D．作用力與反作用力是同一種性質的力，重力和連桿的彈力為不同性質的力，D錯誤。故選C。3.某電動汽車自重2.0t，其電池額定容量為50kWh。車行駛時受到的阻力約為車重的十分之一。電池瞬時功率最高可達90kW，理論續航里程為400km。國家電網的充電樁可在電池額定容量的30%~80%范圍內應用快充技術（500V，50A）充電，而便攜充電器(220V，16A)可將電池容量從零充至100%；不計充電電源的內阻。當汽車電池剩余電量為其額定值的30%時，下列說法正確的是A.汽車至少還能行駛130kmB.用國家電網充電樁將電池容量充至其額定值的80%，理論上需要40minC.用便攜充電器將電池電量充至其額定值的80%，理論上需要7h以上D.此電動汽車的最高行駛速度可超過130km/h【3題答案】【答案】CD【解析】【詳解】A．由題干可知汽車還能夠行使的距離為故A錯誤；B．用充電樁充電的時間為故B錯誤；C．用便攜式充電器充電的時間為故C正確；D．當汽車勻速行使時速度最大，此時速度為故D正確。故選CD。4.甲、乙兩車在同一平直公路上以相同速度30m/s同向行駛，甲車在前，乙車在后，兩車距離100m。從時起，甲、乙兩車的加速度隨時間變化如圖所示。取運動方向為正方向，下面說法正確的是（）

A.t=3s時刻兩車距離最近B.t=9s時刻兩車距離為100mC.3~9s內乙車做勻減速運動D.t=9s時刻乙車速度為零【4題答案】【答案】CD【解析】【詳解】A．圖像的面積表示速度變化量，因此在３s末甲車的速度變化量為可知此時甲車的速度為零，甲車的位移為乙車的位移為則此時兩車之間的距離為此時乙車沒追趕上甲車，乙車速度比甲車速度大，因此距離進一步縮小，A錯誤；BCD．甲車9s末的速度為乙車9s末的速度為乙車在3~9s做勻減速運動，說明甲乙兩車在3~9s互逆向運動，因此位移大小相等，因此9s的距離和3s末相同為55m，故B錯誤CD正確；故選CD。5.在生產紡織品、紙張等絕緣材料過程中，為了實時監控材料的厚度，生產流水線上設置如圖所示的傳感器，其中甲、乙為平行板電容器的上、下兩個固定極板，分別接在恒壓直流電源的兩極上。當通過極板間的材料厚度增大時，下列說法正確的是（）A.有負電荷從b向a流過靈敏電流計GB.甲、乙兩板間材料內的電場強度不變C.乙板上的電荷量變小D.甲、乙平行板構成的電容器的電容增大【5題答案】【答案】D二、填空題6.某同學在原地進行單手運球訓練中發現，讓籃球從靜止開始下落并自由反彈，彈起的最大高度比原來低20cm。為了讓球每次都能彈回到原來的高度，當球回到最高點時，向下拍打一次球，每分鐘拍打100次，籃球質量為600g。取重力加速度大小為10m/s2。不計空氣阻力和拍球瞬間的能量損失，則該同學每次拍打小球需做功為___J，拍打小球的平均功率為___W?！?題答案】【答案】①.1.2②.2.0【解析】【詳解】[1][2]每次拍打做得功使得小球能夠多上升20cm，因此為拍打小球的平均功率為

7.如圖，導電物質為電子的霍爾元件長方體樣品置于磁場中，其上下表面均與磁場方向垂直，其中的1、2、3、4是霍爾元件上的四個接線端。若開關S1處于斷開狀態、開關S2處于閉合狀態，電壓表示數為0；當開關S1、S2閉合后，三個電表都有明顯示數。已知由于溫度非均勻性等因素引起的其它效應可忽略，則接線端2的電勢___（填“低于”、“等于”或“高于”）接線端4的電勢；若將電源、均反向接入電路，電壓表的示數___（填“正負號改變，大小不變”、“正負號和大小都不變”或“正負號不變，大小改變”）?！?題答案】【答案】①.低于②.正負號和大小都不變【解析】【詳解】[1][2]開關S1接通以后，產生的磁場方向由上到下，霍爾元件中的電流方向由1到2，因此電子的運動方向由2到1，則由左手定則可知電子向2方向偏轉，因此2一面的電勢低，當電源E1和E2反向，則磁場方向和電子移動方向均反向，因此電子的偏轉方向不變，電壓表的正負號不變，磁場的強度不變，電流的大小不變，電子的移動速度不變，因此可知電壓表示數不變。8.為了提高風力發電效率，我國目前正逐步采用變槳距（即調節風機葉片與風輪平面之間的夾角，當風速小時使葉片的迎風面積增大，當風速超過一定限度時使葉片的迎風面積減小，以穩定其輸出功率）控制風力發電機替代定槳距控制風力發電機。圖a所示中風力發電機每片葉片長度為54m，定槳距風機和變槳距風機的功率與風速的對應關系如圖b所示，所處地域全天風速均為7.5m/s，空氣密度為1.29kg/m3，煤的燃燒值為2.9×107J/kg。每小時進入一臺變槳距控制風力發電機的風的初始動能與完全燃燒___kg煤所放出的熱量相當，變槳距控制風力發電機將風能轉化成電能的效率為___%。【8題答案】【答案】①.3.1×102②.16【解析】【詳解】[1][2]在一個小時內空氣進入發電機的總質量為則空氣的總動能為則等效燃燒的煤的質量為則進風的原始功率為由圖可知當前風速的實際功率為，因此效率為9.我國“玉兔號”月球車利用太陽能電池產生的電能進行驅動。月球車總質量為140kg，所安裝的太陽能電池的電動勢為45V，內阻為10Ω，正常工作時電池的輸出功率為45.0W。月球車在某次正常工作時，從靜止出發沿直線行駛，經過5.0s后速度達到最大為0.50m/s。假設此過程中月球車所受阻力恒定，電池輸出功率的80%轉化為用于牽引月球車前進的機械功率。在此運動過程中，月球車所受阻力大小為___N，前進的距離約為___m?！?題答案】【答案】①.72②.2.3【解析】【詳解】[1][2]由題意可知月球車的機械功率為當月球車到達最大速度則有代入數據可得對月球車動能定了可得解得10.海平面能將無線電波全反射，反射波與入射波之間存在由于反射造成的半個波長的相位突變。一艘船在其離海平面高度為25m的桅桿上裝有發射天線，向位于海岸高處的山頂接收站發射波長在2~4m范圍內的無線電波。當船駛至與接收站的水平距離L越接近2000m，山頂接收站所接收到的信號越弱；當L=2000m時失去無線電聯系。山頂接收站海拔高度為150m。船上天線發出的無線電波中有一部分直接傳播到接收站，另一部分經海平面反射后傳播到接收站，兩列波的幾何波程差為___m，該無線電波的實際波長為___m?！?0題答案】【答案】①.3.74②.3.74【解析】【詳解】[1][2]兩列波的傳播關系如圖所示則有波程差為因由半波損失，則信號站信號弱因為兩列波疊加減弱造成，因此應有又因波長為2~4m，因此實際波長為3.74m三、計算題11.大氣中存在可自由運動的帶電粒子，其密度隨距地面高度的增加而增大，離地面50km以下的大氣可視為具有一定程度漏電（即電阻率較大）的物質，離地面50km以上的大氣可視為帶電粒子密度非常高的良導體，地球本身帶負電，其周圍空間存在電場。離地面50km處的大氣層與地面之間的電勢差約為。由于電場的作用，地球處于放電狀態。但大氣中頻繁發生雷暴又對地球充電，從而保證了地球周圍電場強度大小恒定不變；統計表明，雷暴每秒帶給地球的平均電荷量約為。已知地球半徑。求離地面50km以下的大氣層（漏電大氣層）的平均電阻率和該大氣層向地球的平均漏電功率?！?1題答案】【答案】【解析】【分析】【詳解】漏電大氣層可視為高度為50km、橫截面積為地球表面積的導體，漏電電流為①根據歐姆定律，漏電大氣層的電阻為②由電阻定律，漏電大氣層的電阻率滿足③由此得④向地球的平均漏電功率為⑤12.潛艇從海水高密度區域駛入低密度區域，浮力頓減，潛艇如同汽車那樣掉下懸崖，稱之為“掉深”，曾有一些潛艇因此沉沒。某潛艇總質量為，在高密度海水區域水下200m沿水平方向緩慢潛航，如圖所示。當該潛艇駛入海水低密度區域時，浮力突然降為；10s后，潛艇官兵迅速對潛艇減重（排水），此后潛艇以1.0m/s2的加速度勻減速下沉，速度減為零后開始上浮，到水下200m處時立即對潛艇加重（加水）后使其緩慢勻減速上浮，升到水面時速度恰好為零。取重力加速度為10m/s2，不計潛艇加重和減重的時間和水的粘滯阻力。求：（1）潛艇“掉深”達到的最大深度（自海平面算起）；（2）潛艇為阻止“掉深”減重后的質量以及升到水面時的質量。【12題答案】【答案】（1）；（2）減重后的質量為，升到水面的質量為【解析】【詳解】（1）由牛頓第二定律，潛艇剛“掉深”時加速度滿足①代入數據解得，方向豎直向下②“掉深”歷時時，潛艇下落高度為③潛艇速度為④減重后，潛艇以加速度勻減速下落，直至其速度為零，潛艇下落的距離為⑤潛艇“掉深”達到的最大深度為⑥（2）潛艇在減重后減速下降過程中，由牛頓第二定律有⑦解得⑧設潛艇從水面下200m處升到水面的過程中加速度為，按運動學公式有⑨解得，方向豎直向下⑩在潛艇從水面下200m處升到達水面的過程中，由牛頓第二定律有?解得?13.如圖，一半徑的球形薄壁玻璃魚缸內充滿水，水中有一條小魚。玻璃和水的折射率都是，觀察者在不同位置和不同角度對玻璃魚缸里的魚進行觀察。（1）當魚位于魚缸的中心時，求觀察者看到的魚的表觀位置和橫向放大率；（2）當魚位于某些位置時，有時觀察到魚缸里的魚“消失”，試找出魚可能“消失”的位置范圍以及觀察者的觀測位置范圍，并于圖中標出，并作簡要說明?！?3題答案】【答案】（1）；（2）見解析【解析】【詳解】（1）由近軸條件下單球面的成像公式有……①式中，和分別是空氣和水的折射率，是小魚到球面的距離，是小魚的像離球面的距離。依題意將上式代入①式得……②即觀察者看到的魚的像（虛像）與魚所在處重合。像的橫向放大率為……③（2）如解題圖a，設與水球球心O距離為a處有一小魚M。從M點發出任一光線MB與的延長線的夾角為，從M點發出的另一光線MA與垂直，光線MA、MB在玻璃球殼上的入射點分別為A、B，入射角分別為、。在中，由正弦定理有……④在直角中有……⑤又……⑥由④⑤⑥式得……⑦為了保證從M點發出光線有發生全反射的可能，至少要求……⑧式中C是水的全反射臨界角……⑨由⑤⑧⑨式和題給數據得⑩值得指出的是：⑨式中的是水相對于空氣的折射率。這時從M發出的光線一定可以折射入玻璃內部；但由于題設，玻璃球壁很薄，光線穿過等厚的薄壁玻璃（對于某根光線，該處玻璃可視為一小平面）前后（只要光線能穿過），其方向實際上沒有發生偏折（即使玻璃與水的折射率不一樣）；相當于從M發出的光線直接入射到與水的交界面上?？紤]到球的旋轉對稱性，則處于解題圖b所示的陰影區內的魚發出的光線都有可能出現全反射，也就是說，魚可能“消失”的位置范圍是解題圖b所示的陰影區……?現考慮觀察者的觀測位置范圍。在解題圖c中，假設魚所在位置N到球心的距離b滿足……?即在解題圖b的陰影之內。由以上討論知，從N發出的垂直于ON的光線NA的入射角必大于水相對于空氣的全反射臨界角C；且該入射角為極大值，光線NA兩側的入射光線NB、ND等的入射角都小于NA的入射角。進而，當NB、ND的入射角都等于全反射臨界角C時，NB、ND之間的所有入射光線的入射角都大于全反射臨界角，而發生全反射。NB、ND分別對應臨界的折射光線、。所以，當觀察者的眼睛處于解題圖c所示的、之間的陰影區域時，就看不到位于N點的魚。再考慮球的對稱性，將解題圖c繞ON軸旋轉一周，則眼睛看不到N點的魚時應選取的觀測位置范圍是解題圖c的陰影區域的集合……?由以上討論可知，魚在魚缸中“消失”需要兩個條件：一是魚要相對靠近魚缸內壁，二是要選擇合適的觀察位置。14.球磨機利用旋轉圓筒驅動錳鋼球對礦石顆粒進行沖擊和剝磨。如圖，某球磨機圓筒半徑為，繞其（水平）對稱軸勻速旋轉。球磨機內裝有礦石顆粒和一個質量為m的錳鋼小球，鋼球與筒壁之間摩擦系數足夠大。若圓筒轉速較低，球磨機內的鋼球達到一定高度后會因為其本身的重量沿圓筒內壁滑滾下落（被稱為處于瀉落狀態），此時礦石被鋼球剝磨；若圓筒旋轉的角速度超過某臨界值，鋼球隨著圓筒旋轉而不下落（被稱為處于離心狀態），球磨機研磨作用停止；若圓筒的角速度介于上述兩情形之間，鋼球沿圓筒內壁上升至某一點后會脫離圓筒落下（被稱為處于拋落狀態）沖擊筒中的礦石粉，此時礦石被沖磨。重力加速度大小為g，求：（1）能使球磨機正常工作的圓筒轉動角速度的范圍；（2）能使鋼球對礦石的沖擊作用最大時的圓筒轉動角速度以及鋼球對礦石的最大沖擊功。（可利用不等式：設均為正數，則等號當且僅當時成立。）【14題答案】【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】（1）由題意知，為使球磨機正常工作，鋼球不能處于離心狀態。即在鋼球上升至其最高點點處滿足①由此得，球磨機正常工作時圓筒轉動的角速度范圍為②（2）為使鋼球對礦石的沖擊作用最大，鋼球應在圓筒某橫截面上處于拋落狀態。假設鋼球被提升至O點時，小球剛好脫離筒壁作拋體運動。此時，筒壁對鋼球的正壓力為零，由牛頓第二定律有③式中，是O點相對于它所在橫截面中心C的矢徑與豎直方向的夾角，是鋼球在O點拋落時的速度（見解題圖14a）。由③式得④球脫離筒壁作拋體運動，在以O為原點坐標系中有⑤鋼球所在的圓筒截面的圓周方程為⑥方程組⑤⑥有兩個解，其一為，這是拋出點O的坐標；其二是球的落點A的坐標⑦鋼球在A點的速度為⑧式中，是鋼球做拋體運動的最高點相對于A點的高度⑨設A點相對于C點的矢徑與水平方向的夾角為，則由幾何關系有⑩同理有由⑧⑩式得，鋼球在A點垂直于筒壁的速度（打擊附在筒壁上的礦粉的速度）為?由④?式得??式中的等號當且僅當時成立，于是有?這時，由?式知，小球的徑向速度最大，即小球對礦石的沖擊作用最大。[或：要使小球對礦石的沖擊作用最大，必須使小球的徑向速度最大，即?解得?]此時，圓筒的角速度為?鋼球對礦石的沖擊功為?將?式代入?式得，鋼球對礦石的最大