專題29半角模型考向1正方形中的半角模型【母題來源】2021年中考黑龍江省齊齊哈爾卷【母題題文】綜合與實踐數學實踐活動，是一種非常有效的學習方式，通過活動可以激發我們的學習興趣，提高動手動腦能力，拓展思維空間，豐富數學體驗，讓我們一起動手來折一折、轉一轉、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．（1）∠EAF＝°，寫出圖中兩個等腰三角形：（不需要添加字母）；轉一轉：將圖1中的∠EAF繞點A旋轉，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點P、Q，連接PQ，如圖2．（2）線段BP、PQ、DQ之間的數量關系為；（3）連接正方形對角線BD，若圖2中的∠PAQ的邊AP、AQ分別交對角線BD于點M、點N，如圖3，則CQBM=剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4．（4）求證：BM2+DN2＝MN2．【答案】（1）解：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，∴ABC，△ADC都是等腰三角形，∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，∴∠EAF=1∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∵CB＝CD，∴CE＝CF，∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，故答案為：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．（2）解：結論：PQ＝BP+DQ．理由：如圖2中，延長CB到T，使得BT＝DQ．∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，∴△ADQ≌△ABT（SAS），∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，∵∠PAQ＝45°，∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，∵AP＝AP，∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PQ＝PT，∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，∴PQ＝BP+DQ．故答案為：PQ＝BP+DQ．（3）解：如圖3中，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC=2∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，∴∠BAM＝∠CAQ，∴△CAQ∽△BAM，∴CQBM=AC（4）證明：如圖4中，將△ADN繞點A順時針旋轉90°得到△ABR，連接RM．∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∵∠DAN＝∠BAR，∴∠BAM+∠BAR＝45°，∴∠MAR＝∠MAN＝45°，∵AR＝AN，AM＝AM，∴△AMR≌△AMN（SAS），∴RM＝MN，∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，∴∠RBM＝90°，∴RM2＝BR2+BM2，∵DN＝BR，MN＝RM，∴BM2+DN2＝MN2．【試題解析】（1）利用翻折變換的性質可得∠EAF＝45°，證明△BAE≌△DAF（ASA），推出BE＝DF，AE＝AF，可得結論．（2）結論：PQ＝BP+DQ．如圖2中，延長CB到T，使得BT＝DQ．證明△PAT≌△PAQ（SAS），可得結論．（3）證明△CAQ∽△BAM，可得CQBM（4）如圖4中，將△ADN繞點A順時針旋轉90°得到△ABR，連接RM．證明△AMR≌△AMN（SAS），∠RBM＝90°，可得結論．【命題意圖】幾何綜合題；推理能力．【命題方向】一般設置為壓軸題型，考查學生的綜合探究與推理能力【得分要點】如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，連結EF，則：

（1）EF＝BE＋DF;

（2）如圖2，過點A作AG⊥EF于點G，則AG＝AD;

（3）如圖3，連結BD交AE于點H，連結FH．則FH⊥AE．

（1）如圖4，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADI證明．則∠IAF＝∠EAF＝45°，AI＝AE，

所以△AEF∽△AIF（SAS），

所以EF＝IF＝DI＋DF＝BE＋DF．

（2）因為△AEF∽△AIF，AG⊥EF，AD⊥IF，所以AG＝AD．

（3）由∠HAF＝∠HDF＝45°可得A，D，F，H

四點共圓，

從而∠AHF＝180°－∠ADF＝90°，即FH⊥AE．1．（2021?湖北襄樊模擬）如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AD＝DC，∠ADC＝90°，點E、F分別在邊AB、BC上，∠EDF＝45°．（1）觀察猜想：如圖1，若∠A、∠DCB都是直角，把△DAE繞點D逆時針旋轉90°至△DCG，使AD與DC重合，易得EF、AE、CF三條線段之間的數量關系，直接寫出它們之間的關系式；（2）類比探究：如圖2，若∠A、∠C都不是直角，則當∠A與∠C滿足數量關系時，EF、AE、CF三條線段仍有（1）中的關系，并說明理由；（3）解決問題：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC=222．（2021?山東臨沂模擬）某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下：如圖1，等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小敏將三角板中含45°角的頂點放在A上，斜邊從AB邊開始繞點A逆時針旋轉一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E．（1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉中發現：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請你證明小敏發現的結論；（2）當0°＜α≤45°時，小敏在旋轉中還發現線段BD、CE、DE之間存在如下等量關系：BD2+CE2＝DE2．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決：小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF，連接EF（如圖2）；小亮的想法：將△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACG，連接EG（如圖3）；請你從中任選一種方法進行證明；（3）小敏繼續旋轉三角板，請你繼續研究：當135°＜α＜180°時（如圖4），等量關系BD2+CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．3．（2021?山東日照三模）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，點F是AD延長線上一點，且DF＝BE，求證：CE＝CF．（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，