第1課時兩角差的余弦公式第五章

5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1.兩角差的余弦公式的推導過程.2.兩角差的余弦公式的應用.學習目標同學們，大家知道，求一個任意角的三角函數值，我們可以利用誘導公式將它轉化為銳角的三角函數值，再通過查表或使用計算器，就可以得出相應的三角函數值，但在實際應用中，我們將會遇到這樣一類問題：已知α，β的三角函數值，求α－β的三角函數值，為此，我們需要有解決此類問題的辦法及相應的計算公式.導語隨堂演練課時對點練一、兩角差的余弦公式二、給值求值三、給值求角內容索引一、兩角差的余弦公式問題1已知角α的終邊與單位圓的交點為P，請寫出點P的坐標.提示P(cosα，sinα).問題2

觀察右圖，并閱讀教材P215以及右下角的注解部分，分組討論，你能得到哪些結論？提示A(1,0)，P(cos(α－β)，sin(α－β))，A1(cosβ，sinβ)，P1(cosα，sinα).連接AP，A1P1，根據圓的旋轉對稱性，容易發現AP＝A1P1.問題3你還記得初中所學兩點間的距離公式嗎？由此可得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2.知識梳理兩角差的余弦公式cos(α－β)＝

，其中α，β為任意角，簡記作C(α－β).注意點：(1)該公式對任意角都能成立；(2)公式的結構，左端為兩角差的余弦，右端為這兩角的同名三角函數值積的和；(3)公式的逆用仍然成立.cos

αcos

β＋sin

αsin

β解析cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°√(2)求下列各式的值：解原式＝cos60°cos105°＋sin60°sin105°反思感悟

兩角差的余弦公式常見題型及解法(1)兩特殊角之差的余弦值，利用兩角差的余弦公式直接展開求解.(2)含有常數的式子，先將系數轉化為特殊角的三角函數值，再利用兩角差的余弦公式求解.(3)求非特殊角的三角函數值，把非特殊角轉化為兩個特殊角的差，然后利用兩角差的余弦公式求解.跟蹤訓練1

求下列各式的值：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；(2)－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°；解原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°二、給值求值問題4正弦、余弦、正切在每個象限內的符號如何？提示正弦在一、二象限為正，三、四象限為負；余弦在一、四象限為正，二、三象限為負；正切在一、三象限為正，二、四象限為負.√反思感悟

給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關系，即拆角與湊角.(2)由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據需要靈活地進行拆角或湊角的變換.常見角的變換有：①α＝(α＋β)－β；③2β＝(α＋β)－(α－β).所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα三、給值求角∵β＝α－(α－β)，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)反思感悟

已知三角函數值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據條件確定所求角的范圍.(2)求所求角的某種三角函數值.為防止增解最好選取在范圍內單調的三角函數.(3)結合三角函數值及角的范圍求角.提醒：由三角函數值求角時，易忽視角的范圍，而得到錯誤答案.解∵α，β均為銳角，1.知識清單：(1)兩角差的余弦公式的推導.(2)給角求值、給值求值、給值求角.2.方法歸納：構造法.3.常見誤區：求角時忽視角的范圍.課堂小結隨堂演練1.cos20°等于A.cos30°cos10°－sin30°sin10°B.cos30°cos10°＋sin30°sin10°C.sin30°cos10°－sin10°cos30°D.sin30°cos10°＋sin10°cos30°√1234解析cos20°＝cos(30°－10°)＝cos30°cos10°＋sin30°·sin10°.1234√2.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值為√12341234所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)1234課時對點練1.下列各式化簡錯誤的是A.cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos60°B.cos105°＝cos45°cos150°＋sin45°sin150°C.sin(α＋45°)sinα＋cos(α＋45°)cosα＝cos45°基礎鞏固123456789101112131415√16解析根據兩角差的余弦公式知，A，B，C均正確，D選項錯誤.√1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415√1612345678910111213141516√所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα12345678910111213141516√√12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)1234567891011121314151610.如圖，在平面直角坐標系中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)在(1)的條件下，求cos(β－α)的值.解∵β為鈍角，∴cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα綜合運用√1234567891011121314151612345678910111213141516√12.已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，則cos(α－β)的值是解析sinα＋sinβ＝－sinγ，cosα＋cosβ＝－cosγ，兩式分別平方，然后相加即可.A.等腰三角形B.A＝60°的三角形C.等腰三角形或A＝60°的三角形D.不能確定√1234567891011121314151612345678910111213141516所以sinAsinC－sinAsinB＝cosAcosB－cosAcosC，所以cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosB＋sinAsinB，即cos(A－C)＝cos(A－B)，所以A－C＝A－B或A－C＋A－B＝0，所以C＝B或A＝60°，所以△ABC為等腰三角形或A＝60°的三角形.12345678910111213141516拓廣探究1234567891011121314151615.《周髀算經》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大的正方形，若圖中直角三角形兩銳角分別為α，β，且小正方形與大正方形面積之比為9∶25，則cos(α－β)的值為√解析設大的正方形的邊長為1，由于小正方形與大正方形面積之比為9∶25，由圖可得cosα＝sinβ，sinα＝cosβ，＝sin2β