習題課同角三角函數的基本關系第五章

三角函數1.掌握利用同角三角函數的基本關系求值的幾種類型.2.靈活運用同角三角函數的基本關系的幾種變形證明恒等式.學習目標隨堂演練課時對點練一、弦切互化求值二、sinθ±cosθ型求值問題三、條件恒等式的證明內容索引一、弦切互化求值例1已知tanα＝－4，求下列各式的值.(1)sin2α；(2)cos2α－sin2α；(3)3sinαcosα；

反思感悟

已知tanα的值，求關于sinα，cosα齊次式的值的方法(1)tanα；解得tanα＝1.(2)sin2α＋sinαcosα＋1.二、sinθ±cosθ型求值問題所以sinθ－cosθ>0，反思感悟

已知sinα±cosα，sinαcosα求值問題，一般利用三角恒等式，采用整體代入的方法求解，涉及的三角恒等式有：(1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；(2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ；(3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2；(4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ.上述三角恒等式告訴我們，若已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一個，則另兩個式子的值均可求出.解析由已知得(sinθ－cosθ)2＝2，－2三、條件恒等式的證明例3

已知tan2α＝2tan2β＋1，求證：sin2β＝2sin2α－1.證明因為tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.反思感悟

含有條件的三角恒等式證明的常用方法(1)直推法：從條件直推到結論.(2)代入法：將條件代入到結論中，轉化為三角恒等式的證明.(3)換元法：把條件和要證明的式子的三角函數問題轉換為代數問題，利用代數即可完成證明.證明設sin2A＝m(0<m<1)，sin2B＝n(0<n<1)，則cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.即(m－n)2＝0，∴m＝n，1.知識清單：(1)弦切互化求值.(2)sinα±cosα型求值問題.(3)條件恒等式的證明.2.方法歸納：整體代換法.3.常見誤區：齊次式的化簡求值容易忽略添加分母“1”.課堂小結隨堂演練√1234√1234√12341234課時對點練基礎鞏固12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516A.2 B.－2 C.3 D.－3√12345678910111213141516√√123456789101112131415164.已知sinθ＋sin2θ＝1，則cos2θ＋cos4θ等于

解析因為sinθ＋sin2θ＝1，所以sinθ＝1－sin2θ＝cos2θ，所以cos2θ＋cos4θ＝sinθ＋sin2θ＝1.12345678910111213141516A.3 B.－3 C.1 D.－1√解析由角α的終邊落在第三象限，得sinα<0，cosα<0，12345678910111213141516√√√∵θ∈(0，π)，∴sinθ>0，cosθ<0，1234567891011121314151612345678910111213141516綜上可得，正確的有A，B，D.123456789101112131415167.已知asinα＋bcosα＝c，acosα－bsinα＝d，則a2＋b2_____c2＋d2(用>或＝或<填空).＝解析右邊＝c2＋d2＝(asinα＋bcosα)2＋(acosα－bsinα)2＝a2(sin2α＋cos2α)＋b2(cos2α＋sin2α)＝a2＋b2＝左邊.所以cosα＋sinα>0，12345678910111213141516123456789101112131415169.已知sinx－2cosx＝0.(1)求2sin2x－sinxcosx＋cos2x的值；解由sinx－2cosx＝0，可得tanx＝2，又由(1)知tanx＝2，1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求sinθcosθ的值；12345678910111213141516(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形，并說明理由.又θ是△ABC的一個內角，∴0<θ<π，∴sinθ>0，∴△ABC是鈍角三角形.12345678910111213141516綜合運用11.若1＋cos2θ＝3sinθ·cosθ，則tanθ的值等于

√解析由1＋cos2θ＝3sinθ·cosθ，得sin2θ＋2cos2θ＝3sinθ·cosθ，顯然cosθ≠0，sinθ≠0，所以tan2θ＋2＝3tanθ，解得tanθ＝1或2.12345678910111213141516√得sinα＋3cosα＝5(3cosα－sinα)，所以tanα＝2.12345678910111213141516√∴sinA>0，cosA>0，整理得(2tanα＋1)(tanα＋2)＝0，12345678910111213141516拓廣探究15.已知sinα，cosα是關于x的方程3x2＋ax－1＝0的兩根，則實數a等于

√解析∵sinα，cosα是關于x的方程3x2＋ax－1＝0的兩根，123456789101112131415161234567891011121314151616.已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的兩個實根是sinθ和cosθ.(1)求k的值；12345