高級中學名校試卷PAGEPAGE2重慶市萬州二中教育集團2023-2024學年高一下學期期中考試數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知復數z滿足，則的虛部是（）A. B.1 C. D.i〖答案〗B〖解析〗由已知，得，所以z的虛部為1.故選：B.2.若，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以.故選：D.3.已知一個圓錐的母線長為2，其側面積為，則該圓錐的高為（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗設圓錐的底面圓的半徑為，母線為，則，所以其側面積為，解得，所以圓錐的高為.故選：C.4.在中，，則（）A. B.或 C. D.或〖答案〗D〖解析〗在中，根據大邊對大角可得A>B，由正弦定理，得，所以，故或.故選：D.5.若，，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，，則，而，即得，所以，又，所以.故選：A.6.如圖，在中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題圖，.故選：A.7.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因，所以，因為，兩式相減，得，由正弦定理，得，即，因為，所以.故選：A.8.已知向量滿足：為單位向量，且與相互垂直，又對任意不等式恒成立，若，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗和相互垂直，則，則，設，則，因為恒成立，則，即，則，，對稱軸時：，即.故選：C.二、多項選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復數，則下列說法不正確的為（）A. B.C. D.在復平面上對應的點在第四象限〖答案〗ACD〖解析〗，所以，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；在復平面上對應的點在第三象限，故D錯誤.故選：ACD.10.在中，已知，下列結論中正確的是（）A.這個三角形被唯一確定 B.一定是鈍角三角形C. D.若，則的面積是〖答案〗BC〖解析〗依題意可設，對于A，當取不同的值時，三角形顯然不同，故A錯誤；對于B，因為，，所以，則三角形為鈍角三角形，故B正確；對于C，由正弦定理可知，，故C正確；對于D，因為，即，即，又因為，所以，則，故D錯誤.故選：BC.11.在中，角所對的邊分別是，下列命題正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則此三角形有兩解C.若，則為等腰三角形D.若，且，則該三角形內切圓面積的最大值是〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若，則，從而，即，即，故，從而為等腰三角形，A正確；對于B，若，則，而，即，解得或，故此三角形有兩解，B正確；對于C，注意到等價于，而這又等價于，所以或，也就是為等腰三角形或直角三角形，C錯誤；對于D，已知條件為，且，而等價于，即，對該等式通分得到，即，即，這即為，由知該等式即為，從而條件等價于且，從而該三角形內切圓半徑，又由于，當且僅當時等號成立，從而，故該三角形的內切圓面積，驗證知當時，等號成立，所以該三角形的內切圓面積的最大值是，D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.三個平面最多可以將空間分為______部分．〖答案〗〖解析〗如圖所示，空間中三個平面最多可以將空間分為8部分.故〖答案〗為：.13.已知為平面向量，．若在方向上的投影向量為，則__________.〖答案〗〖解析〗設的夾角為，因為在方向上的投影向量為，，所以，得，從而，.故〖答案〗為：.14.一個棱長為2的正四面體盒子內部放置了一個正方體，且該正方體在鐵盒內能任意轉動，則該正方體棱長的最大值為_______.〖答案〗〖解析〗由題意可知，正方體在正四面體內部任意旋轉，當正方體的棱長取得最大值時，正方體的外接球即為正四面體的內切球，將正四面體放到正方體中，作出圖形如圖，因為正四面體的棱長為2，則圖中正方體的棱長為，所以正四面體的體積為，側面積為，設正四面體內切球的半徑為，則，解得，設放置進去的正方體的棱長最大值為，則，解得.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量.（1）若向量，且，求的坐標；（2）若向量與互相垂直，求實數的值.解：（1）法一：設，則，所以，解得，所以或.法二：設，因為，，所以，因，所以，解得或，所以或.（2）因為向量與互相垂直，所以，即，而，，所以，因此，解得.16.在中，．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長．解：（1）因為，則，由已知可得，可得，因此，.（2）由三角形的面積公式可得，解得，由余弦定理可得，，所以，的周長為.17.如圖，在正方體中，E是的中點.（1）求證：平面；（2）設正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．解：（1）證明：因為在正方體中，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）因為正方體的棱長是1，E是的中點，所以，三角形ABC的面積，三棱錐的體積.18.在中，角所對的邊分別是，若是邊上的一點，且.（1）若時，求面積的最大值；（2）若，①求角的大小；②當取得最大值時，求的面積.解：（1）由題意可得，，根據余弦定理得，所以，所以的面積為，當，即時，面積最大，最大值1.（2）①由，，則，由正弦定理得，化簡得，所以，又因為，所以.②因為，由，可得，整理得，又因為，所以，令為銳角，則，其中為銳角，當，即時，取得最大值，此時，，解得，的面積為.19.1712年英國數學家布魯克·泰勒提出了著名的泰勒公式，該公式利用了多項式函數曲線來逼近任意一個原函數曲線，該公式在近似計算，函數擬合，計算機科學上有著舉足輕重的作用.如下列常見函數的階泰勒展開式為：其中，讀作的階乘.1748年瑞士數學家萊昂哈德·歐拉在泰勒公式的靈感下創造了人類數學最美妙的公式，即歐拉公式，特別的歐拉恒等式被后世稱為“上帝公式”.歐拉公式建立了復數域中指數函數與圓函數（正余弦函數）的關系，利用歐拉公式還可以完成圓的等分，即棣莫弗定理的應用.（1）請寫出復數的三角形式，并利用泰勒展開式估算出的3階近似值（精確到0.001）；（2）請根據上述材料證明歐拉公式，并計算與；（3）記，由棣莫弗定理得，從而得，復數，我們稱其為1在復數域內的三次方根.若為64在復數域內的6次方根.求取值構成的集合，其中.解：（1）設的三角形式為，，，所以復數的三角形式為，由泰勒公式令可得，的3階近似值為.（2）由，令得到，，化簡得，所以，歐拉公式得證，因為，所以，兩式相加得，兩式相減得，所以，.（3）記，由棣莫弗定理得，從而得，所以，所以64在復數域內的6次方根為，，，設，其中，代入計算可得，.重慶市萬州二中教育集團2023-2024學年高一下學期期中考試數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知復數z滿足，則的虛部是（）A. B.1 C. D.i〖答案〗B〖解析〗由已知，得，所以z的虛部為1.故選：B.2.若，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以.故選：D.3.已知一個圓錐的母線長為2，其側面積為，則該圓錐的高為（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗設圓錐的底面圓的半徑為，母線為，則，所以其側面積為，解得，所以圓錐的高為.故選：C.4.在中，，則（）A. B.或 C. D.或〖答案〗D〖解析〗在中，根據大邊對大角可得A>B，由正弦定理，得，所以，故或.故選：D.5.若，，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，，則，而，即得，所以，又，所以.故選：A.6.如圖，在中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題圖，.故選：A.7.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因，所以，因為，兩式相減，得，由正弦定理，得，即，因為，所以.故選：A.8.已知向量滿足：為單位向量，且與相互垂直，又對任意不等式恒成立，若，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗和相互垂直，則，則，設，則，因為恒成立，則，即，則，，對稱軸時：，即.故選：C.二、多項選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復數，則下列說法不正確的為（）A. B.C. D.在復平面上對應的點在第四象限〖答案〗ACD〖解析〗，所以，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；在復平面上對應的點在第三象限，故D錯誤.故選：ACD.10.在中，已知，下列結論中正確的是（）A.這個三角形被唯一確定 B.一定是鈍角三角形C. D.若，則的面積是〖答案〗BC〖解析〗依題意可設，對于A，當取不同的值時，三角形顯然不同，故A錯誤；對于B，因為，，所以，則三角形為鈍角三角形，故B正確；對于C，由正弦定理可知，，故C正確；對于D，因為，即，即，又因為，所以，則，故D錯誤.故選：BC.11.在中，角所對的邊分別是，下列命題正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則此三角形有兩解C.若，則為等腰三角形D.若，且，則該三角形內切圓面積的最大值是〖答案〗ABD〖解析〗對于A，若，則，從而，即，即，故，從而為等腰三角形，A正確；對于B，若，則，而，即，解得或，故此三角形有兩解，B正確；對于C，注意到等價于，而這又等價于，所以或，也就是為等腰三角形或直角三角形，C錯誤；對于D，已知條件為，且，而等價于，即，對該等式通分得到，即，即，這即為，由知該等式即為，從而條件等價于且，從而該三角形內切圓半徑，又由于，當且僅當時等號成立，從而，故該三角形的內切圓面積，驗證知當時，等號成立，所以該三角形的內切圓面積的最大值是，D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.三個平面最多可以將空間分為______部分．〖答案〗〖解析〗如圖所示，空間中三個平面最多可以將空間分為8部分.故〖答案〗為：.13.已知為平面向量，．若在方向上的投影向量為，則__________.〖答案〗〖解析〗設的夾角為，因為在方向上的投影向量為，，所以，得，從而，.故〖答案〗為：.14.一個棱長為2的正四面體盒子內部放置了一個正方體，且該正方體在鐵盒內能任意轉動，則該正方體棱長的最大值為_______.〖答案〗〖解析〗由題意可知，正方體在正四面體內部任意旋轉，當正方體的棱長取得最大值時，正方體的外接球即為正四面體的內切球，將正四面體放到正方體中，作出圖形如圖，因為正四面體的棱長為2，則圖中正方體的棱長為，所以正四面體的體積為，側面積為，設正四面體內切球的半徑為，則，解得，設放置進去的正方體的棱長最大值為，則，解得.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量.（1）若向量，且，求的坐標；（2）若向量與互相垂直，求實數的值.解：（1）法一：設，則，所以，解得，所以或.法二：設，因為，，所以，因，所以，解得或，所以或.（2）因為向量與互相垂直，所以，即，而，，所以，因此，解得.16.在中，．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長．解：（1）因為，則，由已知可得，可得，因此，.（2）由三角形的面積公式可得，解得，由余弦定理可得，，所以，的周長為.17.如圖，在正方體中，E是的中點.（1）求證：平面；（2）設正方體的棱長為1，求三棱錐的體積．解：（1）證明：因為在正方體中，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）因為正方體的棱長是1，E是的中點，所以，三角形ABC的面積，三棱錐的體積.18.在中，角所對的邊分別是，若是邊上的一點，且.（1）若時，求面積的最大值；（2）若，①求角的大小；②當取得最大值時，求的面積.解：（1）由題意可得，，根據余弦定理得，所以，所以的面積為，當，即時，面積最大，最大值1.（2）①由，，則，由正弦定理得，化簡得，所以，又因為，所以.②因為，由，可得，整理得，又因為，所以，令為銳角，則，其中為銳角，當，即時，取得最大值，此時，，解得，的面積為.19.1712年英國數學家布魯克·泰勒提出了著名的泰勒公式，該公式利用了多項式函數曲線來逼近任意一個原函數曲線，該公式在近似計算，函數擬合，計算機科學上有著舉足輕重的作用.如下列常見函數的階泰勒展開式為：其中，讀作的階乘.1748年瑞士數學家萊昂哈德·歐拉在泰勒公式的靈感下創造了人類數學最美妙的公式，即歐拉公式，特別的歐拉恒等式被后世稱為“上帝公式”.歐拉公式建立了復數域中指數函數與圓函數（正余弦函數）的關系，利用