PAGE10用比例解行程問題用比例解行程問題理解行程問題中正比例和反比例關系．用比例和份數思想解行程問題．本講是在秋季所學的火車過橋和流水行船的行程問題基礎上，講解運用比例性質解多次相遇追及行程問題．體會比例解決問題的優勢．用比例解多次相遇問題用比例解多次相遇問題距離、速度、時間這三個數量之間的關系，可以用下面的公式來表示：距離速度時間．顯然，知道其中的兩個量，就可以求出第三個量，這是我們在小學課堂中經常解決的問題．同時對于三者之間的關系，我們還可以發現：當時間相同時，路程和速度成正比；當速度相同時，路程和時間成正比；當路程相同時，速度和時間成反比．也就是說：設甲、乙兩個人，所走的路程分別為、；速度分別為、；所用時間分別為、時，由于，，有如下關系：⑴當時間相同即時，有；⑵當速度相同即時，；⑶當路程相同即時，．甲、乙二人分別從A、B兩地同時相向而行，甲的速度是每小時30千米，乙的速度是每小時20千米，二人相遇后繼續行進，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知二人第二次相遇的地點距第一次相遇的地點是20千米，那么，A、B兩地相距＿＿＿千米．因為甲乙同時出發，同時相遇，所以甲、乙相遇時間相同，因此，設全程為5份，則一個全程中，甲走了3份，乙走了2份，所以C是第一次相遇地點，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2個AB，因此從開始到第二次相遇，甲、乙共走了3個全程，一個全程甲走3份，3個全程甲共走份，所以D是第二次相遇地點，由圖看出DC是2份．但已知DC是20千米，所以AB的長度是202(23)50(千米)．(也可以用乙進行計算)甲、乙兩人在一條長100米的直路上來回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他們同時分別從直路的兩端出發，當他們跑了10分鐘后，共相遇多少次？(方法一)10分鐘兩人共跑了(32)60103000米300010030個全程．我們知道兩人同時從兩地相向而行，他們總是在奇數個全程時相遇(不包括追上)1，3，5，7，，29共15次．(方法二)第一次兩個人相遇需要100(32)20(秒),從第一次開始到第二次相遇要走兩個全程需要：200(32)40(秒)所以一個相遇：(106020)401(次)，即為15次．老師可以把【例1】的問題改為：已知兩個人第四次相遇的地點距離第三次相遇的地點20千米，那么A、B兩地相距多少千米？由此推出,第三次相遇甲乙共走：3215(個全程)，甲走了：3515(份)在B點，第四次相遇甲乙共走：4217(個全程)，甲走了：3721(份)在D點,已知BD是20千米，所以AB的長度是204(23)25(千米)．甲、乙二人同時從A地出發同向而行去往B地，甲的速度是每小時30千米，乙的速度是每小時20千米，二人相遇后繼續行進，甲、乙到B地后立即返回A地．已知二人第三次相遇的地點距第一次相遇的地點是20千米(兩人相遇指迎面相遇)，那么，A、B兩地相距＿＿＿千米．因為甲乙同時出發，同時相遇，所以甲、乙相遇時間相同，因此，設全程為5份，則一個全程中，甲走了3份，乙走了2份，第一次相遇，甲、乙一共行了兩個全程，一個全程甲走3份，2個全程甲共走了(份)所以C是第一次相遇地點，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2個AB，因此從開始到第二次相遇，甲、乙共走了4個全程，一個全程甲走3份，4個全程甲共走份，所以D是第二次相遇地點，由圖看出DC是2份．但已知DC是20千米，所以AB的長度是202(23)50(千米)．(也可以用乙進行計算)老師可以把【例2】的問題改為：已知兩個人第四次相遇的地點距離第三次相遇的地點20千米，那么A、B兩地相距多少千米？由此推出,第三次相遇甲乙共走：326(個全程)，甲走了：3618(份)在第D點，第四次相遇甲乙共走：428(個全程)，甲走了：3824(份)在F點,已知DF是20千米，所以AB的長度是20(23)100(千米)．設一個全程中甲走的路程為M,乙走的路程為N=1\*GB2⑴甲乙二人從兩端出發的直線型多次相遇問題：=2\*GB2⑵同一出發點的直線型多次相遇問題相遇次數甲乙共走的路程和甲共走的路程乙共走的路程11MN233M3N355M5N…………相遇次數甲乙共走的路程和甲共走的路程乙共走的路程12MN244M4N366M6N…………甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發相向而行，在A、B兩地之間不斷往返行駛．甲車速度是乙車速度的，并且甲、乙兩車第2008次相遇的地點和第2009次相遇的地點恰好相距120千米(注:當甲、乙兩車同向時,乙車追上甲車不算作相遇)，那么，A、B兩地之間的距離是多少千米？

因為甲乙同時出發，同時相遇，所以甲、乙相遇時間相同，因此，設全程為10份，則一個全程中，甲走了3份，乙走了7份，通過總結的規律分析第2008次相遇時，甲走：(200821)312045(份)，，所以第2008次相遇地點是在從A地向右數5份的C點，第2009次相遇時甲走：(200921)12051(份)，，所以第2009次相遇地點在從B點向左數1份的D點，由圖看出CD間距離為4份，A、B兩地之間的距離是(千米)．對于份數比較大找相遇地點時，用甲走的總份數除以全程份數，得到商和余數，當商為偶數時，從甲的出發點向終點數余數的份數即為相遇地點，當商為奇數時，從終點向甲的起點數余數的份數即為相遇地點甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發，往返跑步．甲每分跑180米，乙每分跑240米．如果他們的第100次相遇點與第101次相遇點的距離是160米，求A、B兩點間的距離為多少米？因為甲乙同時出發，同時相遇，所以甲、乙相遇時間相同，因此，設全程為7份，則一個全程中，甲走了3份，乙走了4份，通過總結的規律分析第100次相遇時，甲走：(10021)3597(份)，，所以第100次相遇地點是在從B地向左數2份的C點，第101次相遇時甲走：(10121)603(份)，，所以第101次相遇地點在從A點向右數1份的D點，由圖看出CD間距離為4份，A、B兩地之間的距離是(米)．小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發，在兩村之間往返行走(到達另一村后就馬上返回)，他們在離甲村千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第六次相遇的地點離乙村多遠(相遇指迎面相遇)？畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3(千米).從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是2(千米).第六次相遇時，兩人已共同走了兩村距離倍的行程.其中張走了(千米)，，就知道第六次相遇處，離乙村千米.甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發，相向而行，他們第一次相遇地點離A地4千米，相遇后二人繼續前進，走到對方出發點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離.第二次相遇兩人總共走了3個全程，所以甲一個全程里走了4千米，三個全程里應該走4312千米，通過畫圖，我們發現甲走了一個全程多了回來那一段，就是距B地的3千米，所以全程是1239千米，所以兩次相遇點相距9(34)2千米．A、B兩地相距2400米，甲從A地、乙從B地同時出發，在A、B間往返長跑．甲每分鐘跑300米，乙每分鐘跑240米，在30分鐘后停止運動．甲、乙兩人在第幾次相遇時距A地最近？最近距離是多少米？(個)，即甲乙共行了6.75個全程，共相遇了3次，甲乙兩人的速度比是，設全程為9份，第一次相遇甲行5份，乙行4份，所以第一次相遇地點距A地是全程的，第二次相遇時兩人共行了３個全程，甲行的距A地份，所以第二次相遇地點距A地是全程的，第三次相遇時兩人共行了5個全程，甲行的距A地7份，所以第三次相遇地點距A地是全程的，所以第二次相遇距A地最近，最近距離是(米)A、B是一圈形道路的一條直徑的兩個端點，現有甲、乙兩人分別從A、B兩點同時沿相反方向繞道勻速跑步(甲、乙兩人的速度未必相同)，假設當乙跑完100米時，甲、乙兩人第一次相遇，當甲差60米跑完一圈時，甲、乙兩人第二次相遇，那么當甲、乙兩人第二十一次相遇時，甲跑完幾圈又幾米？甲、乙第一次相遇時共跑圈，乙跑了100米；第二次相遇時，甲、乙共跑圈，則乙跑了米，此時甲差60米跑一圈，則可得圈是米，一圈是480米．第一次相遇時甲跑了米，以后每次相遇甲又跑了米，所以第二十一次相遇時甲共跑了：(米)，．即跑完11圈又460米．甲和乙兩人分別從圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運動，當乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇．求此圓形場地的周長？第一次相遇，兩人共走了圈；第二次相遇，兩人共走了圈．所以第二次相遇時，乙一共走了(米)，又知到(米)，所以圓形場地的半周長為(米)，那么，周長為米．A、B兩地相距13.5千米，甲、乙兩人分別由A、B兩地同時相向而行，往返一次，甲比乙早返回原地，途中兩人第一次相遇于C點，第二次相遇于點D，CD相距３千米，則甲．乙兩人的速度比是為多少？方法一：根據題意畫圖如下設甲、乙第一次相遇時分別走的路程為千米，千米，依題意列方程組得，解得，所以甲乙的速度比，即為甲乙路程比方法二：用甲、乙代表兩個人第一次相遇走的路程，可以整體的分析從開始到第二次相遇甲走的路程為：3甲，乙走的路程為：3乙，甲乙二人的路程差為：3(甲乙)；分開考慮甲一共走的路程為：一個全程乙3，乙一共走的路程為：一個全程甲3，兩個人的路程差為：(一個全程乙3)－(一個全程甲3)乙甲6.綜合列式為：3(甲乙)乙甲6，得到：甲乙1.5，由于，甲乙，所以甲(千米)，乙6(千米)，所以甲乙的速度比，即為甲乙路程比．兩輛電動小汽車在周長為360米的圓形道上不斷行駛，甲車每分行駛20米．甲、乙兩車同時分別從相距90米的A，B兩點相背而行，相遇后乙車立即返回，甲車不改變方向，當乙車到達B點時，甲車過B點后恰好又回到A點．此時甲車立即返回(乙車過B點繼續行駛)，再過多少分與乙車相遇？設右圖中C表示甲、乙第一次相遇地點．因為乙從B到C又返回B時，甲恰好轉一圈回到A，所以甲、乙第一次相遇時，甲剛好走了半圈，因此C點距B點(米)．因此相同時間內，甲乙所行路程比為，所以甲乙二人的速度比為，因此乙每分行駛(米)，甲、乙第二次相遇，即分別同時從A，B出發相向而行相遇需要(分)．如圖所示，某單位沿著圍墻外面的小路形成一個邊長300米的正方形．甲、乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方向同時出發．如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么經過多少時間甲才能看到乙？甲看到乙的時候，甲和乙在同一條邊上，甲乙兩人之間的距離最多有300米長，當甲追上乙一條邊(300米)需(分)，此時甲走了(條)邊，甲、乙不在同一條邊上，甲看不到乙．甲再走條邊就可以看到乙了，即甲走5條邊后可看到乙，共需分鐘，即16分40秒．用比例解其他行程問題用比例解其他行程問題甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離．先畫圖如下：方法一:若設甲、乙二人相遇地點為C，甲追及乙的地點為D，則由題意可知甲從A到C用6分鐘.而從A到D則用26分鐘，因此甲從C走到D之間的路程時，所用時間應為：(分)．同理乙從C走到D之間的路程時，所用時間應為：(分)，所以相同路程內甲乙所用時間比為，因此甲、乙二人的速度比為，所以甲的速度為(米/分)，A、B兩地的距離為(米)，或(米)方法二：設甲的速度是x米/分鐘那么有解得B兩地的距離為(米)，或(米)甲、乙兩人分別從Ａ、B兩地同時相向出發．相遇后，甲繼續向B地走，乙馬上返回，往Ｂ地走．甲從Ａ地到達B地．比乙返回Ｂ地遲小時．已知甲的速度是乙的．甲從Ａ地到達地Ｂ共用了多少小時?相遇時，甲、乙兩人所用時間相同．由題意知，甲乙二人速度比為，所以甲乙二人所行的路程比為，從相遇到返回B地，甲乙所行路程相同，所以返回所用時間比為，又知甲從Ａ地到達B地比乙返回B地遲小時，即從相遇點到B地這同一段路程中，甲比乙多用小時．可求出從相遇點到B地甲用了(小時)，相遇時，甲乙二人所行的路程比為，甲用時為(小時)甲從Ａ地到達地Ｂ共用(小時)一輛汽車從甲地開往乙地，如果車速提高20％，可以提前1小時到達．如果按原速行駛一段距離后，再將速度提高30％，也可以提前1小時到達，那么按原速行駛了全部路程的幾分之幾？設原速度是1.后來速度為，速度比值：這是具體地反映：距離固定，時間與速度成反比.時間比值6:5這樣可以把原來時間看成6份，后來就是5份，這樣就節省1份，節省1個小時．原來時間就是166小時．同樣道理，車速提高30％，速度比值：時間比值：這樣節省了3份，節省1小時，可以推出行駛一段時間后那段路程的原時間為所以前后的時間比值為(6)．所以總共行駛了全程的.(第三屆走美試題)從上海開車去南京，原計劃中午11：30到達．但出發后車速提高了，11點鐘就到了．第二天返回，同一時間從南京出發．按原速行駛了120千米后，再將車速提高，到達上海時恰好11：10．上海、南京兩市的路程是千米．由題意設原來速度和車速提高了后速度比為，則所用時間比為，設原計劃用時8份，提速后用時7份，差的一份正好是30分鐘，,則原計劃用時為240分鐘,返回時間縮短20分鐘，是由于車速提高，原來計劃速度與返回提速后速度比為，則返回提速后這段路程內所用時間比為，設這段路程原計劃用時7份，提速后用時為6份，差的一份正好是20分鐘，所以返回提速后用時120分鐘，原計劃用時140分鐘，則原速行駛120千米用時(分鐘)，上海、南京兩市的路程是(千米)甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發，相向而行，出發時他們的速度之比是3:2,他們第一次相遇后甲的速度提高了20﹪，乙的速度提高了30﹪，這樣，當甲到達B地時，乙離A地還有14千米，那么A、B兩地的距離是多少千米？因為他們第一次相遇時所行的時間相同，所以第一次相遇時甲、乙兩人行的路程之比也為，設第一次相遇時甲、乙兩人行的路程分別是3份，2份相遇后，甲、乙兩人的速度比為，到達B地時，即甲又行了2份的路程，這時乙行的路程和甲行的路程比是，即乙的路程為2．乙從相遇后到達A還要行3份的路程，還剩下(份)，正好還剩下14千米，所以1份這樣的路程是(千米)．A、B兩地有這樣的(份)，因此A、B兩地的總路程為：(千米)(第五屆走美決賽試題)小王8點騎摩托車從甲地出發前往乙地，8點15追上一個騎車人．小李開大客車8點15從甲地出發前往乙地，8點半追上這個騎車人．小張8點多也從甲地開小轎車出發前往乙地，速度是小李的1.25倍．當他追上騎車人后，速度提高了20％．結果小王、小李、小張三人一同于9點整到達乙地．小王、小李、騎車人的速度始終不變．騎車人從甲地出發時是點分，小張從甲地出發時是8點分秒．由題意知小王與小李從甲地到乙地所用時間分別是60分、45分，因此小王與小李的速度比是，又小張速度是小李的1.25倍，因此小王、小李、小張的速度比為，設小王、小李、小張的速度分別為3、4、5.由上圖可以看小李比小王15分鐘多行的路程恰是騎車人15分鐘的路程，因此騎車人的速度為，即小王的速度是騎車人的3倍，而小王追上騎車人要15分鐘，所以騎車人行這段路程要45分鐘，因此騎車人是8點30分出發的．小王從甲地到乙地要1小時，可知全程為，因此騎車人到乙地要3小時，騎車人在9點時恰好行了全程的一半，由題意小張追上騎車人后速度變為6，從追上騎車人到到達乙地小張比騎車人多行了，因此小張以速度6行駛路程所用時間為(分)，所行路程為，則追趕騎車人所用時間為(分)，因此小張從甲地到乙地共用時間為(分)32分24秒，即小張從甲地出發時是8點27分36秒甲從A出發步行向B．同時，乙、丙兩人從B地駕車出發，向A行駛．甲乙兩人相遇在離A地3千米的C地，乙到A地后立即調頭，與丙在C地相遇．若開始出發時甲就跑步，速度提高到步行速度的2.5倍，則甲、丙相遇地點距A地7.5千米．求AB兩地距離．設間的路程為，甲的速度為，乙的速度為，丙的速度為，由題意知，，,則，甲提速后速度變為．則，即，所以，解得，所以兩地間路程為(千米)甲、乙兩車同時分別從相距55千米的AB兩地相向開出，甲行駛了23千米后跟乙相遇，相遇后兩車繼續前進，到達對方出發地后立刻返回．問：=1\*GB2⑴第2次相遇點距B地多少千米？=2\*GB2⑵第6次相遇點距A地多少千米？通過分析，我們可以發現：一個全程里甲走23千米，=1\*GB2⑴第2次相遇共3全程，故甲走了23369(千米)，甲走了一個全程多了一點，故距離B地就是695514(千米)．=2\*GB2⑵第6次相遇總共是11個全程，故甲走了2311253(千米)，，甲走了4個全程多點，多的那部分就是我們要求的距A的距離為：33千米．甲、乙兩列車同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地75千米處相遇．相遇后繼續前進，到達對方出發地后都又立刻返回，第二次相遇在離B地55千米處，求A、B兩地相距多遠．通過畫圖找出行程之間的關系．第一次相遇就相當于甲車和乙車一共走了一個全程，根據總結：第2次相遇總共走了3個全程，則甲就走了3個75千米，375225千米，畫圖可以知道甲走了一個全程多了那55千米，所以全程為22555170千米．甲、乙兩車分別從A、B兩地出發，并在A、B兩地間不斷往返行駛，已知甲車的速度是15千米／小時，乙車的速度是25千米／小時，甲乙兩車第三次相遇地點與第四次相遇的地點相差100千米，求A、B兩地的距離是多少千米？甲、乙兩車的速度比為：，所以可以把全程分成8份，每走一個全程甲走3份，乙走5份，第三次相遇甲乙共走：(個全程