易錯06圓

??s?

/弦的圓周角麗卜、易錯點一：忽略了兩個圓周角

/平行弦問題卜一易錯點二：忽略兩弦與圓心的位置

勺切線的判定及性質(zhì)卜、易錯點三：理解不準確

~圄與圄的位JL關系I易錯點四：易忽略多種情況

舊不熄則圖形的面積卜、易錯點五：易支復或減少面積

、三角形的內(nèi)心和外心卜、易錯點六：混淆兩心的構成

易錯點一：忽略了兩個圓周角

易錯提醒：在同一個圓中，一條弦對著兩種圓周角，這兩種圓周角互補。

@0??

例1.如圖，。。的半徑是2,AB是。O的弦，點P是弦AB上的動點，且1SOPS2,則弦AB所對的圓周

B.120

C.60或120D.30或150

【答案】C

【詳解】作。￡＞，4反如圖,

E

:點P是弦AB上的動點，M1<OP<2,.-.00=1,

ZOAB=30,

.-.ZAOB=120,

:.ZAEB=-AAOB=6Q,

2

ZE+ZF=180,

NF=120.

即弦AB所對的圓周角的度數(shù)為60或12。.

故選C.

點睛：圓內(nèi)接四邊形的對角互補.

例2.在半徑為1的二。中，弦=力，則弦A3所對的圓周角的度數(shù)為（）.

A.45°B.30°C.45°或135°D.60°或120°

【答案】C

【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理，掌握一條弦所對的圓周角有兩種情況是解答本題的

關鍵.連結。4,OB,先根據(jù)勾股定理的逆定理得到NAOB=90。，再根據(jù)圓周角的頂點在優(yōu)弧和劣弧上

兩種情況，分別求出弦A3所對的圓周角的度數(shù)即可.

【詳解】如圖，連結。4,OB,

04=03=1,AB=y/2,

O^+OB-=AB2,

■■.ZAOB=90°,

當圓周角的頂點在優(yōu)弧上時，ZADB=^ZAOB=45°,

當圓周角的頂點在劣弧上時，43=90。，

=360°-90°=270%

.\ZADB=135°

綜上所述，弦A3所對的圓周角的度數(shù)為45。或135。.

故選C.

i易錯警示：圓周角定理是重點，同弧（等弧）所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角。直角的圓周

；角所對的弦是直徑，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

為武7.一日幣二素癰面而初后宿算3涓：而應心嬴茂苗面面排防底藪直二二

【答案】15。或165。

【分析】本題考查圓周角定理，分弦所對的弧為優(yōu)弧和劣弧兩種情況進行討論即可.解題時，要注意分類

討論.

【詳解】解：當弦所對的弧為劣弧時，

?.,該弦所對的圓心角是30。，

???這條弦所對的圓周角的度數(shù)是15。；

當弦所對的弧為優(yōu)弧時，貝U：這條弦所對的圓周角的度數(shù)是180。-15。=165。；

故答案為：15。或165。.

變式2.已知A3為O的弦，沿A3折疊「。，圓心。恰好落在。上，則弦A3所對的圓周角的度數(shù)

為一

【答案】60。或120。

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，圓的基本概念，等邊三角形的性質(zhì)，解題關鍵是“數(shù)形結合”.由沿A3

折疊」。，圓心。恰好落在3。上點O',可得△03。是等邊三角形，即可得一403,再由圓的基本概念

即可求解.

【詳解】解：沿A3折疊i。，圓心。恰好落在「。上點O',00'交AB于點C如圖：

由折疊可得：。8=。'氏。4=。幺，

.-.OB^O'B^OO',

：.030'是等邊三角形，

:.ZO'OB=6f)°,

:.ZAOB=nO°,

??.弦A3所對的圓周角的度數(shù)為：60。或120°

故答案為：60°或120。

變式3.如圖，。的半徑為1,A3是(。的一條弦，且AB=1,則弦AB所對的圓周角的度數(shù)為

【分析】連接Q4，OB,判定△AO3是等邊三角形，再根據(jù)圓周角定理可得/C=:/402=30。，根據(jù)圓

內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得到答案.

【詳解】解：如圖：連接。4,OB,在優(yōu)弧上取一點C,在劣弧A3上取一點。，

AB=1J。的半徑為1,

/.OA=OB=AB，

??..405是等邊三角形，

,\ZAOB=6Q0,

ZC=-ZAOB=3Q°,

2

NAD3=180°-NC=150°,

弦A3所對的圓周角的度數(shù)為30°或150。.

故答案為：30。或150。.

c

【點睛】本題考查的是圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握同弧所對的圓

周角是圓心角的一半是解題的關鍵.

變式4.線段A8是圓內(nèi)接正十邊形的一條邊，則所對的圓周角的度數(shù)是_度.

【答案】18或162/162或18

【分析】作出圖形，求出一條邊所對的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角和圓心角的關系解答.

【詳解】解：如下圖，

圓內(nèi)接正十邊形的邊AB所對的圓心角4=360。+10=36。,

貝U/2=360。-36。=324。,

根據(jù)圓周角等于同弧所對圓心角的一半，

所對的圓周角的度數(shù)是36。義［=18。或324°x1=162°.

故答案為：18或162.

【點睛】本題主要考查了正多邊形的中心角、圓周角定理等知識，解題關鍵是熟練掌握圓周角和圓心角的

關系，并要注意分兩種情況討論.

1.已知弦把。的周長分成1:3的兩部分，則弦所對的圓周角的度數(shù)為一.

【答案】45。或135。

【分析】此題考查了圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及圓心角與弧的關系.此題難度不大，解題

的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用.先根據(jù)題意畫出圖形，然后由圓的一條弦把圓周分成1:3兩部分，

求得/AO3的度數(shù)，又由圓周角定理，求得的度數(shù)，然后根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，求得

-4D3的度數(shù)，繼而可求得答案.

【詳解】解：.?弦AB把：。分成1:3兩部分,

.-.ZAOB=-x360°=90°,

4

ZACB=-ZAOB=45°,

2

四邊形AD3C是。。的內(nèi)接四邊形，

ZADB=180°-ZACB=135°.

弦AB所對的圓周角的度數(shù)為45。或135。,

故答案為45。或135。.

2.已知A3是半徑為6的圓的一條弦，若AB=6拒,則A3所對圓周角的度數(shù)是（）

A.60°B.30。或150°C.60°或120°D.120°

【答案】C

【分析】根據(jù)垂徑定理和正弦定義求得NAOC=60。，進而得到/AO3的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)

接四邊形的對角互補求解即可.

【詳解】解：如圖，OCJ_AB于C,則=

/.ZAOC=60°,

VOA=OB,OCLAB,

：.ZBOC=ZAOC=60°,

：.ZAOB=2ZAOC=120°,

ZADB=-ZAOB=60°,

2

???四邊形AD3E是圓內(nèi)接四邊形，

ZAEB=180°-ZADB=120°,

故所對圓周角的度數(shù)是60°或120。，

故選：C.

【點睛】本題考查垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，

熟練掌握圓周角定理是解答的關鍵.

3.在半徑為5的。中，弦AB=5,則弦AB所對的圓周角的度數(shù)為一.

【答案】30。或150。

【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補；

弦所對的弧有優(yōu)弧和劣弧，故弦所對的圓周角也有兩個，它們的關系是互補關系；弦長等于半徑時，弦所

對的圓心角為60。.

【詳解】解：如圖，弦A3所對的圓周角為/C,ND,

連接。4、OB,

因為AB=Q4=O3=5,

所以，ZAOB=60°,

根據(jù)圓周角定理知，ZC=^ZAOB=30°,

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，ZD=180°-ZC=150°,

所以，弦A5所對的圓周角的度數(shù)30。或150。.

故答案為：30。或150。.

4.在（。中，ZAOB=84°,則弦AB所對的圓周角的度數(shù)為.

【答案】42。或138。

【分析】畫出圖形，可知弦所對的圓周角有兩個，根據(jù)“同弧所對的圓周角等于圓心角的一半”，“圓的

內(nèi)接四邊形對角互補”即可求解，本題考查圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是注意弦所

對的圓周角有兩個，且互補.

【詳解】解：如圖，/ACB和-4DB都是弦A3所對的圓周角,

弦AB所對的圓心角ZAOB=84°,

NACB=-ZAOB=42°,

2

四邊形AD3C是.。的內(nèi)接四邊形，

ZADB+ZACB=180°,

ZADB=180°-ZACB=138°,

故答案為：42。或138。.

5.已知。。半徑為r，弦則AB所對圓周角的度數(shù)為一.

【答案】30。或150°

【分析】先計算出/A03的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理即可求出NC的度數(shù)，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形定理，可

得的NADB度數(shù)，這兩個角都是弦所對的圓周角.

【詳解】解：如圖，

。中OA=OB=AB,

：.ZAOB^60°,

：.ZC=-ZAOB=30°,

2

:四邊形ACBD是。的內(nèi)接四邊形,

ZC+ZADB=180°,

NAD5=180°—30°=150°,

.?.弦AB所對的圓周角的度數(shù)是30。或150°.

故答案為:30。或150°.

【點睛】本題考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形定理，熟練掌握這兩個定理是解題的關鍵.注意：圓當中

一條弦對了兩條弧，也就對了兩個圓周角，做題時防止漏掉一個解.

6.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。，0c=4,AC=4A/2.

(1)求點。到AC的距離；

(2)求出弦AC所對的圓周角的度數(shù).

【答案】(1)272

(2)/8=45°,Z0=135°.

【分析】(1)連接04作于“，根據(jù)勾股定理的逆定理得到/AOC=90。，根據(jù)等腰直角三角形

的性質(zhì)解答；

(2)根據(jù)圓周角定理求出根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算，得到答案.

【詳解】(1)連接。A,作。于

OA=OC=4,AC=4^/2，

：.Q42+OC2=42+42=32,AC2=(40)=32,

，(9A2+OC2=AC2,

.?.△AOC為等腰直角三角形，ZAOC=90°,

又；OHLAC,

：.AH=CH,

：.0*AC=2立,即點。到AC的距離為2&;

(2)Q?AOC90?,

ZB=1ZAOC=45°,

?.,四邊形ABCD內(nèi)接于。O,

ZZ)=180o-45°=135°.

綜上所述：弦AC所對的圓周角=45。，ZZ)=135°.

【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圓內(nèi)接四邊形對角互

補是解本題的關鍵.

7.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于?O,OC=4,AC=472.

DC

⑴求點。到AC的距離；

⑵直接寫出弦AC所對的圓周角的度數(shù).

【答案】⑴點。到到AC的距離為2立

⑵弦AC所對的圓周角的度數(shù)為45。或135。

【分析】(1)過點。作OE1AC于點E,利用勾股定理求解即可；

(2)連接。4,利用圓周角定理求出再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出/WC即可.

【詳解】(1)解：過點。作OE1AC于點E,則CE=；AC,

AC=472，

/?CE=2>/2，

在RtOCE中，OC=4,

/.OE=VOC2-CE2="-(2何2=272，

.??點。到到AC的距離為2&;

(2)解：連接。4,

由(1)知，在RtOCE中，OE=CE,

Z.ZOCE=NEOC=45°,

OA=OC,

：.ZOAC=OCA=45°,

ZAOC=9G°,

：.4=45。，

ZADC=180°-ZB=180°-45°=135°,

...弦AC所對的圓周角的度數(shù)為45。或135°.

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵.

易錯點二：忽略兩弦與圓心的位置

易錯提醒：求兩條弦間的距離時要分類討論兩條弦與圓心的相對位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的

異側(cè).

例3.如圖，一下水管道橫截面為圓形，直徑為260cm,下雨前水面寬為100cm,一場大雨過后，水面寬

【答案】70或170/170或70

【分析】過圓心作垂直于弦的線段，構造直角三角形，再分水位分別在圓心上方和下方的兩種情況去討論,

垂徑定理與勾股定理結合求解即可.

【詳解】解:

如圖所示：OE±CD,OF±AB,由題意AB=100cm,CD=240cm,

根據(jù)垂徑定理，DE=CD=120cm,BF=AB=50cm,

直徑為260cm,半徑8=03=130cm,

???在BJNOED中，OE2=OD2-DE2=1302-1202=2500,

OE=50cm

二在RtzXOEB中，OF2=OB2-BF2=1302-502=14400.

OF=120cm

①當CO在圓心下方時，

EF=OF-OE=12.0-50=70cm

②當CO在圓心上方時，

=O尸+OE=120+50=170cm

故答案為：70或170

【點睛】本題考查了垂徑定理的應用，掌握垂徑定理、靈活運用分類討論的思想是解題的關鍵.

例4.已知OO的直徑為20,AB,CD分別是的兩條弦，且AB//CD,AB=16,CD=10,貝ijAB,CD

之間的距離是

【答案】56-6或5岳6

【分析】分兩種情況考慮：當兩條弦位于圓心。一側(cè)時，如圖1所示，過。作OELCD,交CD于點E,

交AB于點F,連接OA,OC,由AB//CD,得到OF_LAB,利用垂徑定理得到E與F分別為CD與AB

的中點，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的長，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的

長，由OE-OF即可求出EF的長；當兩條弦位于圓心。兩側(cè)時，如圖2所示，同理由OE+OF求出EF的

長即可.

【詳解】解：分兩種情況考慮：

當兩條弦位于圓心O一側(cè)時，如圖1所示，

過0作OELAB,交CD于點E,交AB于點F,連接OA,OC,

AB//CD,.".OE1CD,

；.F、E分別為AB、CD的中點,

.-.AF=BF=-AB=8,CE=DE=-CD=5,

22

在RtCOE中，OC=10,CE=5,

根據(jù)勾股定理得：OE=>/OC2-CE2=7102-52=573，

在RtAOF中，OA=10,AF=8,

根據(jù)勾股定理得：OF=VOA2-AF1=71O2-82=6，

則EF=OE-OF=5y/3-6;

當兩條弦位于圓心O兩側(cè)時，如圖2所示，同理可得￡F=OE+O/=5—+6,

綜上，弦AB與CD的距離為5G-6或5石+6,

故答案為：56-6或5百+6.

【點睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵.

變式1.如圖，。的半徑為4,AB,CO是O的弦，且AB〃CD,AB=4,8=4攻，則A3和CO

之間的距離為一.

【答案】2A/3±2>/2

【分析】作OELAB于E,交CD于F,連結OA,OC,根據(jù)平行線的性質(zhì)等到5_LCD,再利用垂徑定

理得到=CF=-CD,再由勾股定理解得OE,OF的長，繼而分類討論解題即可.

22

【詳解】作OELAB于E,交CD于F,連結OA,OC,如圖，

AB//CD

:.OF.LCD

AE=BE=-AB=2,CF=DF=-CD=242

22

在比ZkOAfT中，

(M=4,AE=2

二.OE=依―2?=2后

在RfOC尸中，

OC=4,CF=2及

:.OF=#-(2歷=2A/2

當圓心O在AB與CD之間時，

EF=OF+OE=2.y/3+2^/2

當圓心O不在AB與CD之間時，

EF=OF-OE=2^-2y/2

即AB和CD之間的距離為2石土20,

故答案為：2出±2也.

【點睛】本題考查勾股定理、垂徑定理、分類討論等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題

關鍵.

變式2.在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，油槽直徑MN為10分米.截面如圖，油面寬AB為6分米，如果再

注入一些油后，當油面寬變?yōu)?分米，油面A8上升()

M

A.1分米B.4分米

C.3分米D.1分米或7分米

【答案】D

【分析】實質(zhì)是求兩條平行弦之間的距離.根據(jù)勾股定理求弦心距，作和或差分別求解.

解：連接。4.作OGLAB于G,

則在直角△OAG中，AG=3分米，

因為。4=5分米，根據(jù)勾股定理得到：0G=4分米，即弦A3的弦心距是4分米，

同理當油面寬A3為8分米時，弦心距是3分米，

當油面沒超過圓心。時，油上升了1分米；當油面超過圓心。時，油上升了7分米.

因而油上升了1分米或7分米.

故選：D.

【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，靈活運用是本題解題關鍵，注意要分類討論.

變式3.。。的半徑是10,弦AB=16,CD=12,則弦AB與CO的距離是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理的應用.作OE，AB于E,。尸，8于尸，由垂徑定理得

AE=^AB=S,CF=gcD=6,由于AB〃CD,易得E、O、尸三點共線，在Rt^AOE和RtOB中，利

用勾股定理分別計算出OE與叱，然后討論：當圓心。在弦A3與CD之間時，A3與C。的距離

=OF+OE-,當圓心。在弦AB與CO的外部時，A3與。的距離=。尸-OE.

【詳解】解：如圖，作OE_LAB于E,。尸_LCD于尸，連。4,OC,OA=OC=10,

貝UAE=4AB=8,CF=-CD=6,

22

AB//CD,

:.E、0、尸三點共線，

在RtZVIOE中，OE^y/o^-AE2=V102-82=6>

在RtOB中，OF=yloC2-CF2=7102-62=8'

當圓心。在弦AB與CD之間時，AB與CO的距離O尸+OE=8+6=14；

當圓心。在弦AB與CO的外部時，A3與。的距離。廠-OE=8—6=2.

所以A3與C。的距離是14或2.

故選：C.

變式4.已知Q的半徑為13,弦A3平行于CZ),8=10,45=24,求A3和C。之間的距離.

【答案】AB和CO之間的距離為7或17

【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，分當<。的圓心。位于A3、。之間時，當【。的圓心。

不在兩平行弦A3、C。之間時，兩種情況分別利用勾股定理和垂徑定理求出點。到A3和C。的距離，據(jù)

此可得答案.

【詳解】解：如圖，當?shù)膱A心。位于AB、CD之間時，作OE_LAB于點E,并延長EO,交C。于尸

點.分別連接A。、CO.

,/ABCD,

：.EF1CD,

VCD=10,AB=24,

/.AE=-AB=12,CF=-CD=5,

22

在RtaAEO中，由勾股定理得OE=Jol—AE?=5,

在RtACFO中，由勾股定理得OE=^OC2-CF2=12，

Z.EF=OE+OF=5+12=11,

：.AB和CD之間的距離為17；

如圖所示，當（。的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間（即弦A3、。在圓心。的同側(cè)）時,

同理可得：OF=12,OE=5,

：.EF=OF-OE=1,

：.A3和CO之間的距離為7；

綜上所述，和C。之間的距離為7或17.

1.在半徑為4cm的。中，弦平行于弦AB,A8=4點cm,/3OD=90。，貝UA8與CO之間的距離

是___cm.

【答案】26+2或班-2

【分析】根據(jù)題意，分析兩種的位置情況進行求解即可；

【詳解】解：①如圖，AB//CD,過點。作GHLAB、GH±CD

在1。中

ZBOD=90°,GH±AB.GHLCD

：.ZGOB+ZDOH=90°

：.ZGOB=ZODH

/OGB=ZDHO

?/ZGOB=ZODH

OB=OD

：.AGOB=ADHO（A45）

:.BG=OH

OGLAB

JOH=BG=-AB=2^3

2

???OG=y/OB2-BG2=^42-（2A/3）2=2

???GH=OH+OG=2^+2

?:ABIICD

???A3與CO之間的距離即GH

?MB與CD之間的距離為26+2

②如圖，作O9_LAB、PDLAB,連接A0

則有四邊形PE尸。是矩形，

：.EF=PD

???ZBOD=9Q0

：.ZBAD=45°

PDLAB

：.AP=PD

,/OFLAB

：.BE=LAB=26

2

/.OE=yJOB--BE1='42-（2?=2

?/OD2=OF2+FD2

：.42=（2+PD）2+（26-PD^

：.尸。=2指-2

故答案為：26+2或2/-2

【點睛】本題主要圓的的性質(zhì)、三角形的全等，勾股定理，掌握相關知識并正確做出輔助線是解題的關鍵.

2.已知A3、C。是。。的兩條平行弦，。。的半徑為17cln,AB=30cm,CD=16cm,則AB、CO間的距

離為—.

【答案】7或23

【分析】過圓心作兩條平行線的垂線，根據(jù)垂徑定理分別在直角三角形中計算即可.

【詳解】如圖，當兩條弦在圓心兩側(cè)時：

AB,C。是。。的兩條平行弦，

???過圓心作MN分別垂直于AB、CD,

則根據(jù)垂徑定理可得：BN=15,DM=8,

在肋△OWO中,OM=sJOD2-DM2=>/172-82=15；

同理在RBNO中,ON=4OB1-BN2=^172-152=8：

貝肱V=15+8=23,

同理可得：當兩條弦位于圓心同側(cè)時，MN=15-8=7,

故答案為：7或23.

【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理解直角三角形，熟練掌握垂徑定理并仔細計算是解題關鍵.

3.如圖，已知A3是半圓。的直徑，弦C￡)〃A3,CD=8.AB=10,則CD與AB之間的距離是—.

【答案】3

【分析】過點。作OH，于X,連接。C,先利用垂徑定理得到CH=4,然后在RtZ\OCH中，利用勾股

定理即可求解.

【詳解】解:過點。作OHLCZ）于

連接OC,如圖，貝UCH=OH=gc￡>=4,

在RtzXOCH中，OH=行"=3,

所以C。與之間的距離是3.

故答案為3.

【點睛】此題主要考查垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題關鍵.

4.若弦AB,CD是。。的兩條平行弦，。。的半徑為13,48=10,0=24,則AB,CD之間的距離為

A.7B.17C.5或12D.7或17

【答案】D

【分析】過O作OELAB交AB于E點，過O作OFLCD交CD于F點，連接OA、OC,由題意可得：

0A=0C=13,AE=EB=12,CF=FD=5,E、F、O在一條直線上，EF為AB、CD之間的距離，再分別解Rt

△OEA、RtAOFC,即可得OE、OF的長，然后分AB、CD在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況求得AB與CD

的距離.

【詳解】解：①當AB、CD在圓心兩側(cè)時；

過O作OELAB交AB于E點，過O作OFLCD交CD于F點，連接OA、OC,如圖所示：

;半徑r=13,弦AB〃CD,且AB=24,CD=10

/.0A=0C=13,AE=EB=12,CF=FD=5,E、F、O在一條直線上

；.EF為AB、CD之間的距離

在RtZ\OEA中，由勾股定理可得：

OE2=OA2-AE2

OE=7132-122=5

在RtZ^OFC中，由勾股定理可得：

OF2=OC2-CF2

???OF=7132-52=12

/.EF=OE+OF=17

AB與CD的距離為17；

②當AB、CD在圓心同側(cè)時；

同①可得：0E=5,0F=12；

則AB與CD的距離為：OF-OE=7；

故答案為：17或7.

【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧.也考查了勾股定理以及分

類討論思想的運用.

5.AB和CD是。。的兩條平行弦，AB=6,CD=8,。。的半徑為5,則AB與CD間的距離為（）

A.1或7B.7C.1D.3或4

【答案】A

【分析】分兩種情況：①當AB、CD在圓心兩側(cè)時；②當AB、CD在圓心同側(cè)時；利用垂徑定理及勾股

定理求出答案.

【詳解】解:①當AB、CD在圓心兩側(cè)時；

過O作OELCD交CD于E點，過O作OFLAB交AB于F點，連接OA、OC,如圖所示：

:半徑r=5,弦AB〃CD,且AB=6,CD=8,

??.0A=0C=5,CE=DE=4,AF=FB=3,E、F、0在一條直線上，

；.EF為AB、CD之間的距離

在RtZiOEC中，由勾股定理可得：

OE2=OC2-CE2

22

.*.OE=A/5-4=3,

在Rt^OFA中，由勾股定理可得：

OF2=OA2-AF2

???OF=,52—3?=4,

EF=OE+OF=3+4=7,

AB與CD的距離為7；

②當AB、CD在圓心同側(cè)時；

同①可得：0E=3,0F=4；

則AB與CD的距離為：OF-OE=1；

綜上所述：AB與CD間的距離為1或7.

【點睛】此題考查圓的垂徑定理、直角三角形的勾股定理，解題中注意運用分類討論的思想避免漏解.

6.已知。的半徑長為R=5,弦A3與弦C。平行，45=6,CD=8,求AS,8間的距離.

【答案】1或7

【分析】先根據(jù)勾股定理求出0F=4,0E=3,再分AB、CD在點。的同側(cè)時，AB、CD在點。的兩側(cè)時

兩種情況分別計算求出EF即可.

【詳解】如圖，過點O作OELCD于E,交AB于點F,

AB//CD,

AOEXAB,

在Rt^AOF中，OA=5,AF=；AB=3,.\OF=4,

在RtZ\COE中，0C=5,CE=；CD=4,；.OE=3,

當AB、CD在點0的同側(cè)時，AB,CO間的距離EF=OF-OE=4-3=1；

當AB、CD在點O的兩側(cè)時，AB、CD間的距離EF=OE+OF=3+4=7,

故答案為：1或7.

【點睛】此題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，在圓中通常利用垂徑定理和勾股定理求半徑、弦的一半、

弦心距三者中的一個量.

7.已知0的半徑為5cm,弦AB//CD,AB=6cm,CD=8cm,求A5與CD間的距離.

【答案】7cm或1c機

【分析】有兩種情況，即AB,CD在圓心。的同側(cè)或兩側(cè)兩種情況，需分類討論.

【詳解】解：如圖①，過。作于尸交8于E,連接04,0C,

AB//CD,

:.OE±CD；

由垂徑定理得A尸=FB=—AB=3,CE=DE=—CD=4,

22

:.OF=ylOAr-AF2=4-OE=SC2-CE2=3,

如圖②，過。作。尸于歹，OELCD于E,連接A。，CO,

同理可得OF=4cm,OE=3cm,

當A3,8在圓心。的兩側(cè)時，

EF=OF+OE=l(cm),

.:AB與CD的距離為lan或1cm.

【點睛】此題主要考查的是勾股定理及垂徑定理的應用，需注意AB、CD的位置關系有兩種，不要漏解.

易錯點三：理解不準確

切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共

點時，作垂直，證垂線段等于半徑.

切線性質(zhì)定理及推論：①圓的切線垂直于過切點的半徑；②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；③

經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

易錯提醒：運用判定和性質(zhì)時，要嚴格根據(jù)方法及定理進行說明，不能憑主觀進行判斷.

例5.如圖，A3是。的直徑，弦垂足為點E,DF為。的切線，A尸交CO于點G,若

4

AE=3,BE=—,FD=FG,則——=()

3GF

【答案】C

【分析】本題考查圓的相關知識，三角形相似的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).

連接由題意易證：。的半徑長，從而在中，求得ED=Jo3一。石2=2.由。尸是。的切

線，得到NODE+NCDF=90。，又NE4G+ZAGE=90。，/CDF=NFGD=ZAGE,得到/E4G=/ED0,

53

從而，AEG^DEO,根據(jù)對應邊成比例求得EG=—,進而DG=E￡>-EG=—,過點/作網(wǎng)以，CD于

44

13

點M,根據(jù)“三線合一”可得GM=-GD=~,因此由二AEG^FMG即可解答.

28

【詳解】連接0Q,

4

VAE=3BE=一,

f3

413

AB=AE+EB=3+-=—,

33

111313

.??)0的半徑OO=OA=—A8=—X」=￡.

2236

135

/.OE=AE-AO=3—--=-,

66

VCDLAB,即NA￡D=90。

?；DF是0的切線，

:.ODA.DF

：.ZODF=90°,即NODE+/CDF=90°,

ZAEG=90°,

NE4G+ZAG￡=90。，

FD=FG,

???/CDF=ZFGD=ZAGE,

???/EAG=/EDO,

?.,ZAEG=/DEO=90。,

：.AEG^DEO,

53

:.DG=ED-EG=2——=-.

44

過點尸作出fLCD于點

,:FD=FG,

1133

GM=-GD=-x-=-,

2248

?：ZAGE=/FGM,ZAEG=ZGMG=90°f

：,_AEGSJFMG,

5

.AG_EG_4_10

**FG-MG-

8

故選：c

例6.如圖，AC是。的切線，B為切點，連接OAOC.若NA=30。，AB=OC=2^3,則3C的長度

是()

A.3B.2立C.273D.4

【答案】B

【分析】本題考查切線性質(zhì)、正切定義、勾股定理，連接08,先根據(jù)切線性質(zhì)得到NC?4=90。，再利用

正切定義求得QB,然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：連接03,

VAO。的切線，

ZOBA=ZOBC=90°,

VZA=30°,AB=OC=2幣,

0B=AB-tan30°=2&x走=2,

3

2

BC=yj0C-OB-=J(2⑹j-2?=2叵,

故選：B.

變式1.(1)如圖①，ABC中，NC=9(T,AD平分/BAC交BC于點。，點。在邊AB上，且.。經(jīng)過A、

。兩點，分別交A3、AC于點E、F.求證：3c是。的切線：

圖①

（2）如圖②，ABC中，ZC=90°,用直尺和圓規(guī)作：P,使它滿足以下條件：圓心P在邊A3上，經(jīng)過

點A,且與邊BC相切.（保留作圖痕跡，不用寫出作法）

圖②

【答案】（1）證明見解析

（2）作圖見解析

【分析】本題考查了圓的性質(zhì)、圓的切線的判定、等邊對等角、平行線的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是作出

恰當?shù)妮o助線.

連接OD,由。4=0。得再由NOAD=NCW得NOD4=/C4D,從而得OD〃AC,結

合NC=90。可證OD，8C,因0。為圓的半徑，從而得證.

【詳解】（1）證明：連接0D,如圖.

圖①

;。經(jīng)過A、。兩點,

OA=OD,

??.ZOAD=ZODAf

???AD平分/B4C

，ZOAD=ZCAD

：.ZODA^ZCAD

：.OD//AC

'：ZC=90°,

：.AODB=9Q°,

OD±BC,又點n在。上,

2C是。的切線.

變式2.如圖，BD是）0的直徑，A是8。延長線上的一點，點、E在。上，BCLAE,交AE的延長線

于點C,BC交（_。于點R且點E是D尸的中點.

⑵若AD=3,AE=3?CE=-Ji,求8c的長.

【答案】（1）證明見解析

⑵2

【分析】（1）由圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)可得N￡BC="3E=N3EO,經(jīng)過角的轉(zhuǎn)化即可證明

ZO￡C=90°,再根據(jù)切線的判定定理可得答案；

（2）設。的半徑為廣，在Rt^AOE中，由勾股定理可得關于廠的方程，求出r的值，再根據(jù)等角，利用

三角函數(shù)即可求出BC的值.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OE,

*/為直徑，

NDBE+ZBDE=90°,

XAE1BC,

ZEBC+ZBEC=90°,

又OB=OE,

：.ZDBE=ZBEO,

又E為￡）尸中點，

Z.NEBC=NDBE=ZBEO,

ZBEO+ZBEC=90°,

BPZOEC=90°

?.OE1AC,

則AC為C。的切線.

（2）設O半徑為廣，

：AC為C。的切線，

ZOEC=90°,

即△AOE為直角三角形，

AE2+OE2=AO2,而AE=3A/I，AD=3,

18+r2=（3+r）2,

r=1.5,

:.BD=3,OD=1.5,

...在RtZkAOE中,

AO4.53

...在中,

smZA=^,

AB

BC=sinAAxAB=—x6=2,

3

BC=2.

【點睛】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理及銳角的三角函數(shù)等知識點，熟練掌握相關性質(zhì)及定理是

解題的關鍵.

變式3.如圖，已知等腰ABC,AB^AC,以AB為直徑作。交3C于點。，過。作于點E,

(2)若CE=囪,CD=2,求；。的半徑.

【答案】⑴證明

⑵還

3

【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)和判定及特殊角的三角函數(shù)的應用，掌握切線問題中的輔助線的作法是

解題的關鍵.

(1)連接。。，證明NOD3=NC,推出AC〃OD,即可證明結論成立；

(2)連接AD,在RJCED中，求得利用三角形函數(shù)的定義求得NC=30。，NAOE)=60。，在Rt.AT出中,

利用勾股定理列式計算求得圓的半徑即可.

:.NB=NC,

又;OB=OD,

:.NB=NODB,

:.NODB=/C,

,\AC//ODf

DF1.AC,

:.OD.LDF9

..DF是。的切線;

CE=5/3,CD=2,

/.ED2=CD1-CE2=22-(V3)2=1,

v■.cosN/rC_=CE=—,

CD2

ZC=30°,

二.ZB=30。，

AAOD=60°,

回是(。的直徑.

ZADB=90°f

AD=-AB=r

2f

???AB=AC,

：.CD=BD=2,

222

又，AD+BD=AB9

r2+22=(2r)2,

“=氈(負值已舍).

3

變式4.如圖，A3是。的直徑，8是。的弦，AB±CD,垂足是點〃，過點C作直線分別與

的延長線交于點E,F,且NECD=2NBAD.

(1)求證：CP是,：。的切線;

(2)如果AB=20,CD=12,求AE的長.

【答案】(1)證明見解析

4

【分析】(1)連接OC,BC,利用圓周角定理，垂徑定理，同圓的半徑線段，等腰三角形的性質(zhì)和圓的切

線的判定定理解答即可;

(2)利用勾股定理在RtOCH中求出09=8,同理求出BC=2M，AC=6710,利用切線的性質(zhì)及勾

股定理建立等式解答即可.

:.ZACB=90°,AO=OB,

AB1CD,

平分弦CD,A3平分CO,

:.CH=HDfCB=DB，ZCHA=90°=ZCHE9

/.ZBAD=ABAC=ZDCB,

ZECD=2ZBADf

ZECD=2ZBAD=2NBCD,

ZECD=NECB+/BCD,

ZBCE=Z.BCD,

:.ZBCE=ZBAC,

OC=OA,

:.ZBAC^ZOCA,

:.ZECB=ZOCA,

ZACB=90°=ZOCA+Z.OCB,

:.ZECB+ZOCB=90°,

半徑CO_LFC,

；.CF是。的切線；

(2)解：AB=20,CD=12,

在(1)的結論中有A0=03=10,CH=HD=6,

在RtOC”中，OH=A/(9C2-CH2=A/102-62=8-則BH=OB-OH=10-8=2,

在RtaBS中，BC=y/CH2+BH2=2A/10>

在RtAC”中，HA=OA+OH=8+10=18,則AC=(AH。+CH?=663,

HE=BH+BE,

???在RtAECH中，EC-=HC2+HE2=62+(2+BE)2,

.CF是。的切線，

:.ZOCB=90°,

在RtAECO中，EC2=OE2-OC2=(OB+B￡)2-102=(10+BE)2-102,

.-.(10+B￡)2-102=62+(2+BE)2,

解得3E=|,

545

，AE=AB+BE=20+-=—.

22

【點睛】本題主要考查了圓的切線的判定，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，解題的關鍵是連接經(jīng)過切

點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線.

1.一個邊長為4cm的等邊三角形ABC與（。等高，如圖放置，。與3c相切于點C,。與AC相交于

點E,則CE的長為cm

【答案】3

【分析】本題連接OC,并過點。作OPICE于R根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的高等于底邊的

3倍.已知邊長為4cm的等邊三角形ABC與一。等高，說明。的半徑為5即OC=VL又

2

NACB=60。，故有NOCF=30。，在Rt^O尸C中，利用銳角三角函數(shù)，可得出FC的長，利用垂徑定理即

可得出CE的長.

【詳解】解:連接OC,并過點。作0尸1CE于尸，

ABC為等邊三角形，邊長為4,

故高為2拒,即0c=6，

。與BC相切于點C,

.-.ZOCB=90°,

又ZAC3=60。，故有NOB=30。，

3

在RtAOFC中,可得FC=OC-cos30°=-,

。尸過圓心，且。根據(jù)垂徑定理易知CE=2尸C=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、垂徑定理，熟練掌握相關性質(zhì)并靈

活運用，即可解題.

2.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E是邊上的一點，將.6CE沿著CE折疊至△FCE,若CA

CE恰好與正方形ABC。的中心為圓心的0相切，則折痕CE的長為（)

A.5y5B.5C.|追D.以上都不對

【答案】C

【分析】此題考查了翻折變換的知識.連接OC,則根據(jù)正方形的性質(zhì)可推出NEB=4CE=；NB8=30。,

在Rt二BCE中，設=則CE=2x,利用勾股定理可得出x的值，也即可得出CE的長度.

【詳解】解：連接OC,則/OCO=/3CO,NFCO=NECO,

ZDCO-ZFCO=ZBCO-ZECO,即NDCF=NBCE,

又QV3CE沿著CE折疊至AFCE,

:.NBCE=NECF,

ZECF=NBCE=-ZBCD=30°,

3

在RtBCE中,設=尤，則CE=2x,

得CE?=BC?+BE2,BP4X2=X2+42,

解得=

3

:.CE=2x=—.

3

故選：C.

3.如圖，在，ABC中，AB=AC,平分,B4C,交BC于點、D,以為直徑作＜。，交AB于點E,

交AC于點尸，連接跖交AD于點G,連接03交所于點P,連接。尸.

(1)求證：3c是,：。的切線;

(2)若0G=3,EG=4,求:

①tanBDFE的值；

②線段PG的長.

【答案】(1)見解析；

⑵①？②3.

【分析】(1)根據(jù)三線合一得到AD1BC,即可證明BC是?。的切線；

(2)①如圖所示，連接OE,DF,OE,由角平分線的定義和圓周角定理得到=N/W,即可利

用三線合一得到AGLEF,利用勾股定理求出OE=5,即可求出AZ)的長，從而得出。G=2,由垂徑定

理得出GB,最后根據(jù)正切的定義即可得出答案；

②證明E尸〃BC,得到△AEGSA4B。，利用相似三角形的性質(zhì)求出3。=5,證得。尸G是等

腰直角三角形即可求出PG的長.

【詳解】(1)證明：；AB=AC,AO平分/&LC,

AD1BC,

；0D是。的半徑，

二2C是。的切線；

(2)解：①連接。E,DF,OE,

???"＞為。的直徑，

???ZAED=ZAFD=90°,

???AO平分/BAC,

:.AEAD=ZFAD,

:.ZADE;ZADF,

**,AE=AF,

：.AGLEF,

,.,0G=3,EG=4,

-**OE=V32+42=5?

AAG=8,AD=10,

：.DG=2,

由垂徑定理可得GF=EG=4,

：.tanZDFE=—=-=-；

GF42

②?.?AG_LE尸，AD1BC,

：.EF//BC,

：.AAEG^AABD,

.AGEG

??茄一茄’

??1。_50，