2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 1 第一篇 概率論 第一章 隨機事件和概率 第一節(jié) 事 件 在個別試驗中其結(jié)果沒有規(guī)律性 在大量重復試驗中其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象 對隨機現(xiàn)象加以研究所進行的觀察或試驗 稱為隨機試驗 隨機試驗E的所有可能的結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間 記為W E中的每一結(jié)果 稱為集合中 的一個元素 也稱為一個樣本點 樣本空間W的任意子集稱為E的隨機事件 簡稱事件 每一樣本點稱為 基本事件 如擲一顆骰子 樣本空間 1 2 3 4 5 6W 1 2 3 4 5 6 都是樣本 點 1 2 3S 是事件 1A 等為基本事件 所有可能的事件為 123456 666666 CCCCCC 63 種 稱為E中所有可能的隨機事件定義域F 在每次試驗中 當且僅當某一子集中的一個樣本點出現(xiàn) 稱對應該子集的事件發(fā)生 W是自身的子集 稱為必然事件 F 不包含任何樣本點 稱為空集 又 稱為不可能事件 7B 也是不可能事件 第二節(jié) 利用文氏圖直觀理解和推導事件的關系 概率論中的文氏圖分為集合文氏圖和概率文氏圖兩種 一 集合文氏圖 在一個矩形區(qū)域 表示樣本空間W 內(nèi) 根據(jù)所給事件的集合關系畫一系列圓 圓圍成的平面區(qū)域表示 一個集合 即事件 并且在需要時把集合元素寫在區(qū)域內(nèi) 從而將集合的交 并 余等集合關系用幾何圖 形予以表示 并在此基礎上利用面積的加減或位置關系分析事件關系或概率問題 集合文氏圖既可分析事 件的集合關系 又可以分析事件的概率關系 比如 0ABP AB F 二 事件的 8 個基本運算關系 事件既然是集合 因此 完全遵循集合的邏輯運算法則 包含 AB 即A事件發(fā)生必導致B事件發(fā)生 且有ABAB 相等 AB 即AB 且BA 和 并 AB 或AB 注意此處的 號只是 的簡化表示 不一定滿足數(shù)字運算的 號的功能 即A和B至少有一事件發(fā)生 如果ABB 則等價結(jié)論有ABABAB F 互逆或?qū)α?ABABABABABA B W F W F 稱 A B A B或為互逆或?qū)α⑹录?互斥或不相容 ABABA F 稱為互斥或不相容事件 注意與對立事件的區(qū)別和聯(lián)系 A B不相容不能推出 A B 因為AB F ABAB F 積 交 ABAB 即A和B同時發(fā)生 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 2 差 ABAB 稱為差事件 即A發(fā)生時 B不發(fā)生 注意集合B可能比A 大 只減去B與A 相 同的子集元素 如AB F不能推出AB F 獨立 P ABP A P B 稱為事件 A B獨立 特別注意獨立概念是用概率來定義的 其中事件A和B互斥 不相容 指的是A和B不能同時發(fā)生 即AB F A和B互逆 對立 也是 指A和B不能同時發(fā)生 即AB F 但是A和B必有一個發(fā)生 且AB W 因此 A和B互逆 A和B互斥 A和B互斥 A和B互逆 A和B互逆 A和B互逆 A和B互斥 A和B互斥 三 事件的 8 大常用運算結(jié)論 AAAA BBABABABAB W W 與不相容 ABABA ABAABABAB W 稱為差積轉(zhuǎn)換公式 如 AB ABABA F 與 不相容 ABABABAB ABA F ABCABC ABCABACABCABAC ABABABAB 對于第 8 個公式 我們先在一個長方形內(nèi)畫出兩個相交圓 分別標注 1 2 3 部分 再驗證即可 注意符號 數(shù)字 例如 ABABAABAB 符號 數(shù)字 例如 任意數(shù) a b cabcabc 而對任意事件 A B C一般沒有類似的關系 即 ABCABC 又如 ABAABAABA F 所以 讀者應該把上述公 式中的 與 號理解為并與交 一般不遵循常規(guī)的四則運算規(guī)律 第三節(jié) 事件發(fā)生的概率 一 概率的 4 種定義及其性質(zhì) 1 1 概率的統(tǒng)計定義 適應非等可能 但試驗次數(shù)無窮 當n 時 n fA 常數(shù) P A 則 P A稱為事件A發(fā)生的概率 頻率必須有多次試驗才可計 算 而概率只要有一次試驗即可計算 比如我在擲一次硬幣之前就知道出現(xiàn)正面的概率為 1 2 我們投籃命 中次數(shù)就是一個頻率概念 1 2 概率的古典定義 古典概型或離散等可能概型 試驗結(jié)果一共有n個基本事件且每次試驗各基本事件出現(xiàn)的可能性完全相同 等可能性 以n表示樣 本空間基本事件 即集合中的元素總數(shù) 的總數(shù) m表示事件A包含基本事件數(shù) 則 m P A n 即此時 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 3 概率等于頻率 伯努利概型也屬于這類概型 此類現(xiàn)象在客觀情況中很普遍 研究的工具是利用排列與組 合及加法與乘法原理 但對于主觀因素有關的現(xiàn)象 非等可能性 就不適應 比如學生的考試成績等等 取球模型是指從n個球中任取k個球 每個球被取到的可能性相同 按照有放回和無放回以及考慮取 球次序和不考慮取球次序 其基本事件總數(shù)如下 取球方式 基本事件總數(shù) 考慮次序 k n 有放回 不考慮次序 1 k n k C 考慮次序 k n P 無放回 不考慮次序 k n C 以 3 個求任取兩個為例分析如下 有放回 考慮次序 先把三個求編號為 第一次取 第二次分別取 共三種取法 第一次取 第二次分別取 共三種取法 第一次取 第二次分別取 共三種取法 共有 9 種 等于 2 39 有放回 不考慮次序 先把三個求編號為 則 和 和 和 為同一種取法 故共有 6 種 等于 2 13 2 1 6 k n k CC 無放回 考慮次序 先把三個求編號為 第一次取 第二次分別取 共二種取法 第一次取 第二次分別取 共三種取法 第一次取 第二次分別取 共三種取法 共有 6 種 等于 2 3 6 k n PP 無放回 不考慮次序 先把三個求編號為 第一次取 第二次分別取 共二種取法 第一次取 第二次分別取 共三種取法 第一次取 第二次分別取 共三種取法 但 為同一種取法 故 共有 3 種 等于 2 3 3 k n CC 放球模型是指把n個球放入k個盒中 按照每盒最多可以容納一個球和可以容納任意多個球以及球可分辨 和不可分辨 其基本事件總數(shù)如下 放球方式 基本事件總數(shù) 球可分辨 k n 每盒最多可以容納任意多個球 球不可分辨 1 k n k C 球可分辨 k n P 每盒最多可以容納一個球 球不可分辨 k n C 抽簽原理 若n個簽中有m個 有簽 nm 個 無簽 n個人排隊依次抽簽 或一個人抽n次 每次 抽一個 則第k個人 或某人第k次 1 2 kn L 抽到 有簽 的概率都等于 m n 由抽簽原理知 其 概率與各人抽簽的先后次序無關 也與抽簽放回還是不放回的方式無關 僅與 有簽 所占比例有關 在考研數(shù)學中 抽簽原理可以直接使用 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 4 抽簽原理的前提就是信息不公開 抽簽結(jié)果只有兩個 前面抽簽后可以不放回 也可以放回 但放回 的情形不是抽簽原理的體現(xiàn) 而是根據(jù)古典概型直接得出 也就是前面抽的是白球還是紅球 或正品還是 次品等等 都不知道 所以任意一次抽的概率都相等 用全概率公式就可以證明 要是知道了前面的結(jié)果 再抽就是條件概率了 后面和前面不同 1 3 概率的幾何定義 幾何概型或連續(xù)等可能概型 古典概型只適合有限離散等可能情形 對于無限連續(xù)等可能情形 則需要延伸它的定義 即采用所謂 的幾何概型來描述 L A P A L W L為相應幾何測度 可以為長度 面積或體積 由此也可以看出概 率是連續(xù)的 它可以用天上掉餡餅來比喻 我們用不同容積的器皿所接到的可能性是與器皿面積成正比的 幾何概型是研考數(shù)學的一類常考題型 研究的工具是利用微積分 注意 等可能概型包括三種 幾何概型 古典概型和伯努利概型三種 幾何概型的概率文氏圖 在一個矩形區(qū)域 表示概率等于 1 內(nèi) 根據(jù)所給事件的概率關系畫一系列圓 并且把概率值寫在圓域 內(nèi) 利用面積的加減來分析概率問題 概率文氏圖不能分析事件的集合關系 只能分析事件的概率關系 比如 0P AB AB F 0P B A 0P AB AB or AB 但是 已知事件關系 卻可以得到概率關系 比如 0ABP AB F 概率文氏圖一般需要掌握兩種情形 a事件獨立性情形 即兩個圓的交集表示 P ABP A P B 由此可以直觀導出條件概率 b條件概率情形 如設 P Aa P Bb P ABc 則條件概率 c P B A a 正好對應事件 B在事件A中的概率c與事件A的概率a之比 同理 則條件概率 c P A B b 則對應事件A在事件中B 的部分概率c與事件B的概率b之比 1 4 概率的公理化定義 普適定義 1933 年 設E是隨機試驗 W為其樣本空間 以E中所有可能的隨機事件組成的集合F為定義域 對任意事件A 規(guī)定一個實值函數(shù) P AAF 如果 P A滿足下列三個條件 就稱 P A為事件A發(fā)生的概率 非負性 0P A 規(guī)范性 1P W 可列可加性 即 設 12 n A AAL為兩兩互斥事件 則 121212nnn P AAAP AAAP AP AP A LLL 上述前三種定義都具有局域性 是針對特定場合而言的 只有公理化定義才具有一般性 公理化定義 完全包含了前述三種定義的全部思想 公理化定義用實數(shù)描述事件 則概率就是一種實變函數(shù) 正是這種 定義 才使我們可以利用高等數(shù)學工具來研究概率問題 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 5 6 種基本概率計算題型 排列組合題型 幾何概率題型 事件相關題型 條件概率混合獨立性題型 全概率和逆概率題型 伯努利題型 二 條件概率 在事件A發(fā)生條件下 事件B發(fā)生的概率 稱為條件概率 用 P B A表示 以古典概型為例 設樣本空間 12 n w wwW L 若事件A包含m個樣本點 B包含s個樣本點 而s個樣本點中又有k個是屬于A中的 即事件AB包含k個樣本點 則 ABkk nP ABP AB P B AP B A Amm nP AP A 包含樣本點的個數(shù) 包含樣本點的個數(shù) ABkk nP ABP AB P A BP A B Bss nP BP B 包含樣本點的個數(shù) 包含樣本點的個數(shù) P B A是在增加了條件A發(fā)生后 在縮減的樣本空間 A W中 B的基本事件數(shù)與 A W之比 另外 要 特別注意條件概率中 必須要求 0P A 或 0P B 即 0P A 或 0P B 而在乘法公式 P ABP A P B A 中就無此要求 三 概率的 5 類關系運算公式 利用概率文氏圖理解 3 1 加法公式 01 1 PPP ABP AP ABP A P AP AP ABP AB F W 11 P ABP BAP AB P ABP BAP ABP AP ABP BP ABP BP AB P ABP A B P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP A P ABP AP BP BC AB 若 12 n A AAL為兩兩互斥事件 則 1212nn P AAAP AP AP A LL 注意事件 12 n A AAL不一定獨立 3 2 減法公式 1 P ABP ABP AABP AP ABP AP B ABP ABP AP B ABP ABP A A BP ABP ABP A P BP AP A F 當 當獨立 3 3 乘法公式 12121312121 nnn P ABP A P B AP B P A B P ABCP A P B A P C AB P A AAP A P AA P AA AP AA AA LLL 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 6 3 4 條件概率公式 當條件 B 不變且 0P B 時 條件概率運算中 P A B與 P A的全部公式完全相同 如 1 P A BP A B PACBP A BP AC B 1 1PAP A AW 1 P B AP B A PBCAP B AP C AP BC A P AB CP A C PB ACP A C P B AC 如為互斥事件 即 0P BC F 則 PBCAP B AP C A 3 5 概率的單調(diào)與連續(xù) 單調(diào)性 ABP AP BP BAP BP A 概率是連續(xù)的 且 01P A 四 全概率公式和逆概率公式 貝葉斯公式 4 1 一個劃分 如果事件組 12 n A AAL滿足 1 1 2 n iij i AAAij W F U 稱 12 n A AAL n可以為無 窮大 為樣本空間W的一個劃分 又稱為W的一個完備事件組 正確理解一個劃分是能否使用好全概率公 式和貝葉斯公式的關鍵 注意 12 2 n A AAn L為一個完備事件組 則 12 n A AAL就一定不是一個完 備事件組 4 2 全概率公式 已知原因求結(jié)果 如果 12 n A AAL為一個劃分 并且 12 n A AAL是事件B發(fā)生的全部可能原因 則 11 nn iii ii P BP A P B AP AB 簡單地說 求一般概率使用全概率公式 關鍵是要全面考慮第一階段的所有可能結(jié)果構成一個劃分 4 3 逆概率公式 貝葉斯公式 已知結(jié)果求原因 如果 12 n A AAL為個劃分 并且 12 n A AAL是事件B發(fā)生的全部原因 則 1 kkk kn ii i P A BP AP B A P AB P B P A P B A 簡單地說 求條件概率使用貝葉斯公式 關鍵是要全面考慮第一階段的所有可能結(jié)果構成一個劃分 五 概率與事件的獨立性的關系 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 7 5 1 兩個事件獨立 5 1 1 定義 P ABP A P B AP A P B A B獨立 則 11 P A BP ABP ABP AP BP A P B 11 P AP BP APBA B 也獨立 任意事件A都與概率為 0 不可能事件 或 1 必然事件 的事件B相互獨立 即 0 0P AP A PP AP A PP APPPF F W W FW FW 任意兩個事件如有包含關系且它們的概率 0 1P A 則一定不相互獨立 概率為 1 或 0 的事件與任意一個事件相互獨立 5 1 2 兩個事件獨立的等價結(jié)論 設 0 0P AP B 則兩個事件A B獨立的等價結(jié)論有 1 P B AP B AP BP A BP A BP A 或 2 1P B AP B A 3 2ABP ABABBP A 4 A與B獨立 A與B獨立 A與B獨立 5若n個事件相互獨立 則不含相同事件的事件組經(jīng)并 差 交 逆運算后 還是相互獨立 5 2 事件的互斥與獨立的關系 A與B互斥是指A與B不能同時發(fā)生 即AB F 此時與事件的概率性質(zhì)無關 但是A與B獨立是 指 P ABP A P B 此時與事件的概率性質(zhì)有關 故 互斥 與 獨立 并沒有蘊含關系 互斥的兩個事件可以獨立也可以不獨立 需要注意的是 互斥的兩個事件獨立時 則 0P A P B 其 余情形互斥的兩個事件是不獨立的 5 3 多個事件 事件組 的獨立 兩兩獨立 ijij P A AP A P Aij 相互獨立 1212 12 1 kk iiiiiik P A AAP AP AP Aiii LLL 如對三個事件 A B C 兩兩獨立 P ABP A P BP BCP B P CP ACP A P C 相互獨立 P ABP A P BP BCP B P CP ACP A P CP ABCP A P B P C 可見 相互獨立 則兩兩必獨立 反之不然 A B C相互獨立 則 A B C也相互獨立 但他們的組合卻不一定 如AC與C就不獨立 因為 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 8 P AC CP ACCP ACCPCP CP AC P C F 另外 事件的獨立性關系是指一般性關系 而后面要講述的相關關系僅僅指線性關系 它只是一般關系 中的一個特殊 另外 特別注意 A B獨立 AB F 這是因為獨立是使用事件的概率來定義的 而不是事件的相交關系 01概率為 或 的事件與任何事件均獨立 六 伯努利概型 6 1 單個伯努利試驗 若一次試驗E只有兩個結(jié)果A或A 如成功和失敗 E稱為單個伯努利試驗 如 P Ap 則 1P Ap 6 2 n重伯努利試驗 當把E獨立地重復進行n次 稱為n重伯努利試驗 n重伯努利試驗的具體條件有 5 個 1 獨立 指 1212 12 1 kk iiiiiik P A AAP AP AP Aiii LLL 2 重復 指 i P Ap 不變 3 要求等可能抽樣 4 要求放回回抽樣 與 P Ap 是相容的 5 試驗結(jié)果只有兩種可能 即對立結(jié)果 形象記憶掌握法 n重伯努利試驗的特征是 獨重回對等 如果不是抽樣試驗 則n重伯努利試驗的具體條件只有 4 個 獨重對等 6 3 伯努利概型公式 二項分布 XB n p n重伯努利試驗中有許多事件發(fā)生 其中事件A發(fā)生 用m表示 k次的概率為 1 n k kk nn B n pP kC pp 注意 當1p 時 1 n P k 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 9 第二章 一維隨機變量及其分布 一 隨機變量 比如將一枚硬幣拋三次 以X表示三次投擲中出現(xiàn)正面 HT用表示正面 表示反面 的總次數(shù) 那么 對于樣本空間 eW 中的每一個樣本點e X都有一個實數(shù)值與之對應 即 樣本點e HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X的值 3 2 2 2 1 1 1 0 這種對應并不要求反函數(shù)式的一一對應 但每一個數(shù)應能夠一一對應同一事件 不能存在歧義 這樣的 X稱為隨機變量 其 3 個特征是 第一 隨機變量定義域為樣本空間的全部基本事件 第二 隨機變量取值是隨機的 它取每一個可能值有確定的概率 即分布函數(shù) 第三 隨機變量是隨機事件的人為數(shù)量化 而且這種數(shù)值只是一種符號表示 二 隨機變量的普適分布函數(shù) 2 1 分布函數(shù)定義詮釋 一般情況下 人們只對某個區(qū)間內(nèi)的概率感興趣 即研究下列四種可能區(qū)間的概率 12121212 P xXxP xXxP xXxP xXx 或 或 或 讀者只要利用一維坐標軸就能容易得出下列結(jié)論 當0e 1221 1221 1221 1221 P xXxP XxP Xx P xXxP XxP Xx P xXxP XxP Xx P xXxP XxP Xx e ee e c lim1 lim0 xx FF xFF x 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 10 d右連續(xù) 即對于任意實數(shù) 0 xF xF x 實質(zhì)上第一個性質(zhì)已經(jīng)包含在后 3 個性質(zhì)中 上述 4 個性質(zhì)是 F x是否為分布函數(shù)的充要條件 作為分布函數(shù)的復合變量不能為單向取值 因為這時會導致 FF 這一錯誤結(jié)論 比如 F x是X的分布函數(shù) 則可能成為分布函數(shù)的是 21 1 k FxF x 等形式 但不能是 2 k F xFx等形式 分布函數(shù)不能隨便乘以常數(shù) 如 2F x就不是分布函數(shù) 2 3 分布函數(shù)要求右連續(xù)的數(shù)學根據(jù) 0 0 122121 122121 122121 122121 00 0 000000 0 0 0 00 0 0lim 0lim xx xx P xXxP XxP XxF xF x P xXxP XxP XxF xF x P xXxP XxP XxF xF x P xXxP XxP XxF xF x P XxF xF x P XxP XxP XxF xF xF xF x P Xx e ee e 00 11P XxF x 上述全部可能的表示中 只有 0F x 形式 但 0F xF x 因為如 11 0F xF x 那么 當離散型在 1 x點的概率不為零時 等式 1212 P xXxP xXx 就會出現(xiàn)矛盾 故 F x不可能 左連續(xù) 其中 0 0000 0 0lim xx P XxF xF xF xF x 是計算離散型分布函數(shù)的重要公式 由于上式中根本不可能出現(xiàn) 0F x 的形式 0F xF x 即 F x右連續(xù)在上述 5 種關系不存在 故需要增加右連續(xù)規(guī)定 即 0000 0 0F xF xF xF x 當然 由于連續(xù)型在一點的概率恒 為零 所以 連續(xù)型分布函數(shù)左連續(xù)和右連續(xù)同時成立 正是要求 F x右連續(xù) 才使 F xP Xx 成為分布函數(shù)的普適定義 所以 在分布函數(shù)結(jié)論中 等號一般和大于號放在一起 以保證右連續(xù) 請讀 者注意這個細節(jié) 普適分布函數(shù)不僅可以描述離散型 還可以描述連續(xù)型及其他非連續(xù)型 對連續(xù)型任一點的概率等于 零 而對非連續(xù)型任一點的概率不一定等于零 讀者要重點掌握離散和連續(xù)兩類隨機變量的分布規(guī)律 任何隨機變量都存在分布函數(shù) 離散型的隨機變量的分布函數(shù)一般為階梯函數(shù) 連續(xù)型隨機變量的分布函 數(shù)一定是連續(xù)函數(shù) 不同的隨機變量可以有相同的分布函數(shù) 比如拋一枚硬幣 令 12 11 11 XX 出正面 出正面 出反面 出反面 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 11 它們有共同的分布函數(shù) 0 1 1 11 2 1 1 x F xx x 且為離散型 三 離散型隨機變量的分布律 當隨機變量所取的有限個或可列個值 并能夠按照由小到大的順序排列時 稱為離散型隨機變量 當已知分布函數(shù) 求分布律 概率分布 的計算方法如下 0 0lim i iiii xx P XxF xF xF xF x 設離散型隨機變量X的可能取值為 1 2 k xk L 事件 k Xx 的概率為 kk P Xxp 離散 型分布函數(shù)稱為離散分布律 一般用列表表示 注意 1 1 k k p 要求掌握的離散性分布律有 5 種 0 1 分 布 伯努利二項分布 泊松分布 幾何分布和超幾何分布 離散分布函數(shù) F xP Xx 一般為階梯函數(shù) 已知離散分布函數(shù) F x 根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì) 可以計算出離散分布律 k P Xx 反過來 已知離散分布律 k P Xx 根據(jù)一維直角分割法 后述 可以計算出離散分布函數(shù) F x 四 連續(xù)型隨機變量的概率密度 4 1 連續(xù)型分布函數(shù)的性質(zhì) a 連續(xù)型 F x是連續(xù)函數(shù) 左右均連續(xù) 即 0F xF x b 連續(xù)型 F x幾何意義是面積 且 0 0F xx c 1 0 Ff t dtFf t dt 必然事件不可能事件 b a d P aXbP aXbP aXbP aXbF aF bf t dt e 要求掌握的連續(xù)型分布函共有 3 種 均勻分布 指數(shù)分布和正態(tài)分布 4 2 概率密度 x F xf t dt 0f t 稱為連續(xù)分布函數(shù) f tFx 稱為概率密度 或分布密度 離散型分布函數(shù)反應在各個分布點上 而連續(xù)型任意點上的分布函數(shù)值為 0 顯然不能反應其分布本質(zhì) 因 而一般先求分布函數(shù) F x 即計算事件 Xx 的概率 然后對 F x求導得其相應的概率密度 f x來 反應分布規(guī)律 這一點和離散分布率是不同的 連續(xù)型從分布函數(shù)求導而得密度時 若 F x在x點可導 則有 f xFx 若 F x在x點不可導 則直接令 0f x 這不會影響分布函數(shù)的取值 因此一般地密度函數(shù)與分布函數(shù)的求導關系為 0 FxFx fx Fx 存在 不存在 故連續(xù)型的密度函數(shù)未必連續(xù) 連續(xù)型的密度函數(shù)不一定連續(xù) 例如 Xa b 則 f x在xa 或b兩個端點處不連續(xù) 所以 一 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 12 般把均勻分布密度函數(shù)寫成 1 0 axb f xba other 而不寫成 1 0 axb f xba other 這一點讀 者要明確 只有存在概率密度的隨機變量才可能為連續(xù)型 不能認為分布函數(shù)連續(xù)的隨機變量就是連續(xù)型 也存在 既非離散也非連續(xù)的分布函數(shù) 如 0 0 1 01 2 1 1 x F xxx x 顯然它既非階梯函數(shù)也非連續(xù)函數(shù) 但是即便密度函數(shù)存在也不一定是連續(xù)型 如果 g x為連續(xù)函數(shù) X為連續(xù)型隨機變量 g X不一定是連續(xù)型分布 如果X為離散型隨機變 量 則 g X必是離散型分布 離散型分布一般為階梯函數(shù) 直角分割法 計算一維分布函數(shù) 直角分割法 也適應二維分布 五 分布函數(shù)的重要結(jié)論 5 1 只有存在概率密度 不恒為零 的隨機變量才稱為連續(xù)型 但不能錯誤認為分布函數(shù)連續(xù)的隨機變量為 連續(xù)型 如 1 1 2 F xx 就不是連續(xù)型 5 2 若 12 n F xFxFxL均是分布函數(shù) 則 11 0 1 nn iiii ii a F xaa 和 1 n i i F x 仍然為分布函數(shù) 如果是連續(xù)型 則上述求和 1 1 n i i a 以積分表出 5 3 若 12 n fxfxfxL均是密度函數(shù) 則 11 0 1 nn iiii ii a fxaa 仍然為密度函數(shù) 但 1 n i i fx 不一定是密度函數(shù) 六 一維隨機變量的 8 大分布 3 個離散分布 5 個連續(xù)分布 1 兩點分布 又稱 0 1 分布 表示符號為 1 Bp 屬于離散分布 1 1 1 1 1 0 1 k kkkk P XkC ppp qBpk 模 型 試驗變量X只有兩種可能結(jié)果 對立事件 隨機變量X使用 0 與 1 兩種取值 如每次A發(fā)生的 概率為p 共試驗了 1 次 求其中A發(fā)生的概率 放回抽樣 1 01P XpP Xpq 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 13 0 1 分布 1 1 2 B 的冪同分布 比如 1 1 2 XB 則 23 1 1 2 n XXXB L 2 伯努利二項分布 表示符號為 B n p 屬于離散分布 當1n 為 0 1 分布 1 0 1 2 n k kkkkn k nn P XkC ppC p qB n pkn L 模 型 隨機試驗結(jié)果只有兩種 如每次A發(fā)生的概率為p 共試驗了n次獨立試驗 求其中A發(fā)生k次 的概率 放回抽樣 設 XB n p 則使得概率 P Xk 達到最大的k為 1 11 1 1 1 np ornpnp k npnp 為正整數(shù) 為非整數(shù) 若 XB n p 則 1YnXB np 3 泊松分布 表示符號為 Pl 屬于離散分布 0 1 2 k P XkePk k l l l L 模 型 滿足下列條件的隨機質(zhì)點流 一串重復出現(xiàn)的事件 稱為泊松流 1 在時間 t tt D內(nèi)流過質(zhì)點數(shù)的概率僅與有關 而與t無關 2 不相交的時間間隔內(nèi)流過的質(zhì)點數(shù)彼此獨立 3 在充分短的一瞬間只能流過一個或沒有質(zhì)點流過 要流過 2 個或 2 個以上質(zhì)點幾乎是不可能的 可以 證明泊松流在單位時間內(nèi)流過質(zhì)點數(shù)便服從泊松分布 例如 單位時間內(nèi)放射性物質(zhì)放射出的粒子數(shù) 單位時間內(nèi)某電話交換臺接到的呼喚次數(shù) 單位時間 內(nèi)走進商店的顧客數(shù)等等 均可認為它們服從泊松分布 當p很小時 有 lim n PB n pnpll 其中 即泊松分布是伯努利二項分布的極限形式 設 XPl 則使得概率 P Xk 達到最大的k為 1 or k lll ll 為正整數(shù) 為非整數(shù) 4 幾何分布 表示符號為 G p 屬于離散分布 1 1 1 1 2 3 k k P XkpppqG pk L 模 型 隨機試驗結(jié)果只有兩種 如每次A發(fā)生的概率為p 試驗一直繼續(xù) 直到A發(fā)生為止 求第k次 放回抽樣 A才發(fā)生的概率 5 超幾何分布 表示符號為 H n M N 屬于離散分布 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 14 0 1 2 min kn k MN M n N C C P XkH n M NkM n C L 模 型 N個元素分為 1 N和 2 N兩類 從中取n件 不放回 如放回抽樣則是二項分布模型 其中含有k個 第一類元素的概率為 12 0 1 2 kn k NN n N C C k C L 當N很大 而n相對N較小 設 M p N 則有 1 kn k n k kk MN M n n N C C C ppH n M NB n p C 6 均勻分布 表示符號為 U a b 屬于連續(xù)分布 1 0 axb f xU a bba other 注意區(qū)間為開區(qū)間 端點的分布密度值取零 0 1 xx a xa xa F xf x dxf x dxaxb ba xb 21 1221 xx P axXxbF xF x ba 模 型 在實踐中 如果隨機變量X表示某一隨機事件發(fā)生所需等待的時間 則一般 XEl 例如 某 電子元件直到損壞所需的時間 即壽命 隨機服務系統(tǒng)中的服務時間 在某郵局等候服務的等候時間等等 均可認為是服從指數(shù)分布 指數(shù)分布計算中常用到G函數(shù)公式 0 1 nx nx e dxn G 指數(shù)分布的無記憶性定理 P Xst XsP Xt 8 正態(tài)分布 8 1 正態(tài)分布的密度和分布函數(shù) 表示符號為 2 Nm s 屬于連續(xù)分布 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 15 2 22 2 2 1 2 x f xeNxYaXbNaba m s m sms ps 模 型 在實踐中 如果隨機變量X表示許許多多均勻微小隨機因素的總效應 則它通常將近似地服從 正態(tài)分布 如 測量產(chǎn)生的誤差 彈著點的位置 噪聲電壓 產(chǎn)品的尺寸等等均可認為近似地服從正態(tài)分 布 盡管它來源于連續(xù)型 但它是任何分布在樣本數(shù)一般大于 45 時的極限分布 而 且 根據(jù)中 心極限定理 若干個未知分布的隨機變量之和近似地服從正態(tài)分布 它是數(shù)理統(tǒng)計的 基礎 是概 率與數(shù)理統(tǒng)計中的第一大分布 當 2 2 1 0 1 0 1 2 x f xeNms p 稱為標準正態(tài)分布 此時分布函數(shù)及其性質(zhì)為 2 2 21 12 1 1 000 2 1 0 1 2 t x xx P XP X xedtX N xx P xXx m ps s mm ss F F F F F 2下分位數(shù) 2 z P XzNdx a a am sa 評 注 無論哪種分位數(shù) 對標準正態(tài)分布都有 1 zz aa 切記標準正態(tài)分布的查表中使用的 2 2 1 2 u z zeduP Zz p F 是下分位數(shù) 其他三種抽樣分 布的查表中則使用的是上分位數(shù) 即 22 1212 Pnn P t ntn P F n nFn n a a a cca a a 標準化公式 0 1 X N m s 七 一維隨機變量函數(shù) YfX 的分布的求法 如果 g x為連續(xù)函數(shù) X為連續(xù)型隨機變量 Yg X 不一定是連續(xù)型分布 所以題中必須明顯 給出或說明隨機變量存在概率密度 以表征 Yg X 為連續(xù)型函數(shù)分布 如果X為離散型隨機變量 則 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 16 g X必是離散型分布 離散型分布一般為階梯函數(shù) 一 離散型隨機變量的函數(shù)分布的計算方法 已知X的分布律 1 2 kk P Xxpk L 則X的函數(shù) Yg X 的分布律按以下原則確定 1 等價原則 若 kk yg x 1 2 k L互不相同 則 1 2 kkk P YyP Xxpk L 2 相加原則 若 kk yg x 1 2 k L部分值相同 則相同的值對應的概率相加 而不同的值仍按照 等價原則 二 連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布的計算方法 2 1 分布函數(shù)微分法 分布函數(shù)微分法是求 Yg X 分布的一般的解法 1首先寫出 X Fx并確定Y的值域 ab 也可以是開區(qū)間或半開半閉區(qū)間 2 0 1 YY yaFyybFy 3 ayb 根據(jù)分布函數(shù)定義求 即 g Xy F yP YyP g Xyf x dxfyF y 2 2 公式法 當 yg x 單調(diào)時 由分布函數(shù)微分法可推導得到公式 0 X Y fh yhyy fy other a b 其中 h y為 yg x 的反函數(shù) in Mgga Max ggb 注意推廣的 Yg X 的公式法 如果 g x逐段嚴格單調(diào) 則 YXii fyfhyhy 若 X fx在有限區(qū)間 a b上大于零 而在其它點處皆為零 則 in Mg ag ba Max g ag bb 若 yg x 不為單調(diào)函數(shù) 則劃分為單調(diào)區(qū)間 在每個單調(diào)區(qū)間使用上述公式 然后將結(jié)果合并 如果X為連續(xù)型 則YaXb 也是連續(xù)型 根據(jù)上述公式容易得出 1 YX yb fyf aa 由 函數(shù)分布的導數(shù)公式也可直接導出 如果X為離散型 則YaXb 卻不一定為同一類型的離散型 如X 服從泊松分布 YaXb 就不再是泊松分布 2 3 智軒積分轉(zhuǎn)換法 設隨機變量X的概率密度為 X fx g x為分段連續(xù)或分段單調(diào)函數(shù) Yg X 對任何非負連續(xù) 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 17 函數(shù) h x 1 1 i i n i i h g xf x dxh y py dy a a 成立 則隨機變量Y的密度函數(shù) Y fy 101 212 1 0 Y mmm pyy pyy fy pyy other aa aa aa 3 F x y對x和y都是右連續(xù) 4 lim 1 0 x x FF x yFF xFy 聯(lián)合分布函數(shù)的幾何意義表示 F x y在 x y的函數(shù)值就是隨機點 X Y在Xx 左側(cè)和 Yy 下方的無窮矩形內(nèi)的概率 對有限矩形域有 121222122111 P xXxyYyF xyF xyF xyF xy 可以得到ZaXbY ZaXY aXbY Zor bYaX 的密度函數(shù) 三 連續(xù)型智軒積分變換法 設二維隨機變量 X Y的聯(lián)合密度函數(shù)為 f x y 則 Zg X Y 的一維密度函數(shù) Z fz有與一元 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 24 隨機變量的類似的積分變換法 設 g x y是連續(xù)的實函數(shù) 對任意非負的連續(xù)函數(shù) h z 下式成立 1 1 i i m i i h g x yf x y dxdyh z pz dz a a 則 101 212 11 Z mm pzz pzz Zg X Yfz pzz aa aa aa 大大大并大 大小小交小 小大大交大 小小小并小 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 26 3 個常用的事件關系 2 1 2 1 2 XYCXCYC MMax X YXYXY NMin X YXYXY n個最值事件的概率計算公式 設隨機變量 12 n XXXL相互獨立 它們的聯(lián)合分布函數(shù)為 i Xi Fx 則 1 12 1 12 111 nn nMaxMax nn nMinMin MMax XXXFzP MzF zfxnfxF z NMin XXXFzP NzF zfxnf xF z L L 三 商積模型 3 1 商模型 求商模型 aX Z bY 的概率密度 利用定義 z ax z by aX FzP ZzPzf x y dxdy bY 麻煩 現(xiàn) 利用雅可比變換公式求之 令 10 xx bb vu uv axbb aa uyvxuvyuJu byaa yy uv Z bbbb fzfzu uu dufzy yy dy aaaa 如 XY獨立 則 2 ZXYXY aXbbaax Zfzfyzfy y dyfx fx dx bYaabzbz 類似有 2 ZXYXY bYbbyaa Zfzffy y dyfx fxzx dx aXazazbb 這是一個兩個常用公式 希望讀者能自己推導一次 以助熟練應用 商模型旋轉(zhuǎn)法 商模型中 已知兩個獨立的隨機變量的分布密度求它們的商函數(shù) aX Z bY 的分布函數(shù)密度 Z fz 可 以直接使用商模型公式 2 ZXY aXbby Zfzffyy dy bYazaz 然而積分區(qū)間一般是分段的 我們必須將z分割成不同的積分區(qū)間積分 問題關鍵和難點就是如何確定z的積分區(qū)間 為此 作者創(chuàng)立 了旋轉(zhuǎn)法可以方便而清晰地解決這類題型 旋轉(zhuǎn)法步驟如下 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 27 1首先畫出基準直線1 ax by 2把基準直線繞原點旋轉(zhuǎn)到正概率區(qū)域的全部邊界點上 從而得到正概率區(qū)域的分割邊界線 z的取值范 圍由分割邊界線確定 該直線與x軸的交點就是x方向的積分區(qū)間分段點 與y軸的交點就是y方向的積 分區(qū)間分段點 3 2 積模型 求積模型 ZXY 的概率密度 只要改寫成 1 aX ZaXY Y 利用雅可比變換公式 令 2 1111 1 0 xxvu uvaa uvaxyxuvyJ yauau yy uvu 1111 11 z Z v az Z uvuvdu FzfJ dudvfdv aauaauu zudu fzf aauu 1111 Z zuduzdyzdx ZaXYfzffyfx aauuaayyaaxx 積模型曲線平移法 在不為零的概率密度區(qū)域邊界曲線的各個交點中 能構成雙曲線 00 xyx y 的 00 x y的可能值就是z的全 部分解界點 過每個分界點的雙曲線之間 平行 即具有平移性 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 28 第四章 隨機變量的 6 大數(shù)字特征 6 大數(shù)字特征 數(shù)學期望EX 方差DX 協(xié)方差 XY Cov X Ys或 相關系數(shù) XY r 矩 協(xié)方差及其矩陣S 一 數(shù)學期望 考研數(shù)學 4 種平均概念 算數(shù)平均 幾何平均 區(qū)間平均 加權平均 即概率平均 也就是數(shù)學期望 1 1 一維隨機變量及函數(shù)的數(shù)學期望 1 離散型 11 kkkkkk kK P XxpEXx porg xp 2 連續(xù)型 EXx f x dx org x f x dx f x為X的概率密度 1 2 1 2 二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 E g X Y 1離散型 11 iiijiiij ij P XxYypE g X Yg xy p 2連續(xù)型 E g X Yg x y f x y dxdy 注意 f x y是 X Y的密度函數(shù) 而非 g X Y的密度函數(shù) 1 3 數(shù)學期望的常用結(jié)論 1 E CCE EXEX 2 E aXbYaEXbEY 3 X Y EXYEX EYEXEXYEYEXYEX EY 獨立 4 2 2 1 0 10 2 x xNexx dxxaxa dxjjj p 二 方 差 方差本質(zhì)上是一個函數(shù)數(shù)學期望 即是隨機變量相對于中心值EX差的平方作為一個整體的數(shù)學期望 2 1 離散型 2 1 kk k DXxEXp 2 2 連續(xù)型 2 DXxEXf x dx 通常使用公式 2 22 DXE XEXEXE X 計算方差 X DXs 稱為標準方差 2 3 方差的常用結(jié)論 1 0 D C 0D EX 2 2 DCXC DX 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 29 3 22 22 XYXY D XYDXDYEXEXYEYDXDYCov XY DXDYDXDYD X D Ysr 4XY與獨立 22 D aXbYa DXb DY 5XY與獨立 22 D XYDXDYDX EYDY EX 三 13 大分布的數(shù)學期望與方差 3 1 0 1 分布的數(shù)學期望和方差 0 1 分布又稱為兩點分布 分布函數(shù)為 1 1 1 0 1 k k P XkppBpk 1 EXpDXpp 3 2 二項分布的數(shù)學期望和方差 分布函數(shù)為 kkn k n P XkC p qB n p 為n個0 1 分布之和 1111 1 nnnn iiii iiii EXEXE XnpDXDXD Xnpp 3 3 泊松分布的數(shù)學期望和方差 分布函數(shù)為 ke P XkP k l l l 0 l 當0 xkPe l 1 01 222 0 2222 1 1 1 kk kk k k e EXkeee kk EXE X XXk keee k DXE XE X l lll lll ll lll l lllll llll 3 4 均勻分布的數(shù)學期望和方差 密度函數(shù)為 1 0 axb ba f xU a b 3 11 F 分布的數(shù)學期望和方差 分布密度函數(shù)為 12 F nn 2 212 2 222 2 122 22 2 4 2 24 nnnn EXnDXn n n nn 3 12 二維均勻分布的數(shù)學期望和方差 22 22 1212 abcd E X Y f x yU a b c d badc D X Y 3 13 二維正態(tài)分布的數(shù)學期望和方差 12 22 1212 22 12 E XY fx yN D XY mm m mssr ss 四 二維隨機變量的數(shù)字特征 4 1 數(shù)學期望 1邊緣分布離散型 11 nn iiij ii EXx pEYy p 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 31 2邊緣分布連續(xù)型 XY EXxfx dxEYyfy dy 3 聯(lián)合分布函數(shù)型 ijij ij E G X YG x ypE G X YG x y f x y dxdy 4 2 方 差 1邊緣分布離散型 22 11 nn iiij ii D XxE XpE YyE Yp 2邊緣分布連續(xù)型 22 XY D XxE Xfx dxE YyE Yfy dy 3聯(lián)合分布函數(shù)型 2 2 ijij ij D G X YG xyE G X Yp D G X YG x yE G X Yf x y dxdy 4隨機變量的標準化方法 0 1 XEX YN DX 4 3 協(xié)方差與相關系數(shù)及矩 EX EY只反映了X和Y各自的平均值 DX DY反映的是X和Y各自偏離平均值的程度 而協(xié) 方差則反映X和Y之間的關系 4 3 1 協(xié)方差 X XY Cov X YEXEYEYs 4 3 2 協(xié)方差的性質(zhì) 1 X 和 Y 獨立或不相關 則 0Cov X Y 2 2 Cov X XE XEXDX 3 Cov aX bYabCov XYabCov Y X 4 1212 Cov XXYCov XYCov XY 4 3 3 協(xié)方差的計算方法 1 離散型 iiij ij Cov X YxEyEY p ijii pP XxYy 2 連續(xù)型 Cov X YxEXyEYf x y dxdy 3 利用 Cov X Y與E和D的關系是計算的主要方法 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧 32 2 XY Cov X YEXYEXEYor D XYDXDYCov X Ys 4 111 2 nn iiij iiij n DXDXCov XX 有 2 DX P XEXe e 或 2 1 DX P XEXe e 證 明 由積分比較定理可知 2 2 2 22 222 11 x EXx EX x EX DXxEXf x dxxEXf x dxfx dx f x dxP XEX DXDXDX P XEXP XEXP XEX ee e e eee eee eee 切貝雪夫不等式估計事件的概率是不精確的 而且應注意兩點 1要求隨機變量X和EX之差構成的不等式能寫成絕對值形式 比如 205021x 事件就不能使 用切貝雪夫不等式估計事件的概率 當然還要知道DX 對于任意事件aXb 僅當滿足 2 ab EX 時 切貝雪夫不等式才可用 并有 2 4 1 22222 ababbaabbaDX P aXbPXPX ba 且在 0 上單調(diào)非降 則0e 有 1 XXX xx fxfx P XdFxdFxdFxEfx fff ee e eee 2 依概率收斂的定義 設 a 是一個常數(shù) n X為一隨機變量序列 0 1 n P Xaee 有 2011 智軒考研數(shù)學沖刺短版 公式 考點 題型 題法 考前快速全面回顧