2023-2024學年高考數學模擬預測卷（江蘇省南京市適用）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1-i_

1.已知Z=——,則z-z=（）

27+t21

A.-iB.iC.0D.1

2.已知向量〃=（1,1）,/?=（1,一1）,若（a+XZ?）_L（a+4。），則（）

A.A+//=1B.2+〃=—1

C.〃/=lD.AjLi=-l

3.已知sin（a—〃）=LcosasinQ='，貝！Jcos（2a+24）=（）.

36

A.-B.-C.--D.--

9999

4.設函數/（力=2式1）在區間（0,1）上單調遞減，貝壯的取值范圍是（）

A.（-a）,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,日）

5.記S”為數列｛%｝的前"項和，設甲：｛%｝為等差數列；乙：｛4｝為等差數列，貝I（）

n

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

6.已知函數=Inx在區間（1,2）上單調遞增，則。的最小值為（）.

A./B.eC.JD.e-2

丫2

7.己知橢圓C:二+丁=1的左、右焦點分別為F2,直線y=x+〃z與C交于A,g兩點，

3-

若△々AB面積是△gAB面積的2倍，則根=（）.

A.2B.比C.一克D.二

3333

8.某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查,

擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200

名學生，則不同的抽樣結果共有().

A.C急C短種B.C篇C乳種

C.c^.c張種D.C源C品種

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.有一組樣本數據項,馬，…，毛，其中均是最小值，尤6是最大值，貝！J()

A.%，尤3，匕，尤5的平均數等于網，N，…，%的平均數

B.三，也，匕,無5的中位數等于石，尤2,…,尤6的中位數

C.馬，尤3，尤4,無5的標準差不小于%，％，…，毛的標準差

D.尤2,無3，了4，%的極差不大于王，了2,…，毛的極差

10.已知函數/(x)=d一X+1,貝|()

A.Ax)有兩個極值點B.Ax)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線＞=/(尤)的切線

11.如圖，四邊形45co為正方形，￡ZU平面ABCD,FB//ED,AB=ED=2FB,記三棱

^E-ACD,F-ABC,尸―ACE的體積分別為匕,匕,匕，貝U()

A.匕=2%B.匕=匕

C.匕=乂+匕D.2匕=3匕

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線/：尤一歿+1=0與：C:(x-iy+y2=4交于A,8兩點，寫出滿足“aABC面積

Q

為/的根的一個值____.

13.在正四棱臺ABCD-AB1G。中，45=2,44=1,44=0,則該棱臺的體積為.

22

14.已知雙曲線。言-%=1(°>0,>>0)的左、右焦點分別為耳點A在C上，點8在y軸

2

上，FiA±F[B,F2A=--F2Bf則。的離心率為.

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17

分，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

cosAsin2B

15.記ABC的內角A,B,。的對邊分別為mb,c,已知

1+sinA1+cos25

(1)^C=—,求&

⑵求一的最小值.

16.記S,為等差數列｛4｝的前〃項和，已知的=11，H。=4。.

⑴求｛%｝的通項公式；

（2）求數列｛聞｝的前〃項和看.

17.一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和

不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在

未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據:

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異?

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，8表示事件“選到

的人患有該疾病”.器黑與器黑的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的

一項度量指標，記該指標為R.

尸(A|B)P㈤言)

(i)證明:

P(A|B)P(A|B)

（ii）利用該調查數據，給出尸（川2）,「（4|豆）的估計值，并利用（i）的結果給出R的估

計值.

n{ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.如圖，直三棱柱ABC-A與G的體積為4,ABC的面積為2拒.

⑴求A到平面42c的距離;

⑵設。為AC的中點，AA=,平面\BC1平面ABB^,求二面角A-BD-C的正弦值.

19.已知直線x-2y+l=0與拋物線C:V=2px(〃>0)交于A.8兩點，且|A8|=4jf5.

⑴求?；

(2)設尸為C的焦點，M,N為C上兩點，FM-FN=0,求面積的最小值.

參考答案：

1.A

【分析】根據復數的除法運算求出z,再由共輾復數的概念得到之，從而解出.

1-i-2i1-1

【詳解】因為z=.=1r7=一1,所以z=*即

故選：A.

2.D

【分析】根據向量的坐標運算求出Q+2b，ib,再根據向量垂直的坐標表示即可求出.

【詳角星】因為a==一1),所以々+2〃=(1+4,1—4),4+4人=(1+〃,1一〃)，

由(Q+4Z?)_L(Q+可得，(a+4Z?).(a+"b)=0,

即(1+丸)(1+//)+(1_丸)(1_//)=0,整理得：=

故選：D.

3.B

【分析】根據給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(o+￡),再利用二倍角的余弦

公式計算作答.

【詳解】因為sin。一夕)=sinacos分一cosasin4=—,而cosasin(3=—,因止匕sinacos，=，,

362

..2

貝Usin(cr+尸)=sinacos0+cosasin/3=—,

所以c°s(2a+20=c°s2(")d2sin2(")?2x(32<

故選：B

【點睛】方法點睛：三角函數求值的類型及方法

(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角

總有一定關系.解題時，要利用觀察得到的關系，結合三角函數公式轉化為特殊角的三角函

數.

(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變

角”，使其角相同或具有某種關系.

(3)“給值求角”：實質上也轉化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式

子表示，由所得的函數值結合該函數的單調區間求得角，有時要壓縮角的取值范圍.

4.D

【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.

【詳解】函數y=2,在R上單調遞增，而函數/(》)=2蟲引在區間(0,1)上單調遞減,

2

則有函數、=*5-°)=。-?2-.在區間(0,1)上單調遞減，因此■|21,解得422,

所以。的取值范圍是［2,+co).

故選：D

5.C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義，再結合數列前〃項和與第力項

的關系推理判斷作答?,

【詳解】方法1，甲：｛%｝為等差數列，設其首項為4,公差為d,

n(n-I).S”n-1,ddS,d

則S=na+----------U,-----CL-\-------d=一〃--,--〃-+i

nx2nX2212n+1n2

因此｛2｝為等差數列，則甲是乙的充分條件;

n

｛號4為等差數列,即監3=必3^=鼻二

反之，乙:為常數,設為/,

nn+\n〃(〃+1)n(n+1)

naS

即右初尸，則+有%-1),-2,

兩式相減得：=〃a〃+i-(九--2勿，BP?n+1—an=2t,對工=1也成立,

因此｛4｝為等差數列，則甲是乙的必要條件,

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛q｝為等差數列，設數列｛%｝的首項生,公差為d,即s“=，町

則&==+因此｛鳥4為等差數列，即甲是乙的充分條件；

n222n

QVVS

反之，乙：｛-4為等差數列，即二號-。=。,。=5+5—1)。，

nn+1nn

即S“=nSx+n(n-1)D,=(〃-1)、+(〃-1)(〃-2)D,

當〃22時，上兩式相減得：Si=H+2(〃-1)。，當〃=1時，上式成立,

aa

于是。汽=%+2(〃—1)，Xn+\~n=%+2nD—[a[+2(n—V)D]=2D為常數,

因此｛4｝為等差數列，則甲是乙的必要條件,

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

6.C

【分析】根據「(尤)=役'-^20在(1,2)上恒成立，再根據分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，尸(司=役”-^20在(1,2)上恒成立，顯然。>0,所以xe一，

設g(x)=xe",xe(l,2),所以g,x)=(x+l)e*>0,所以g(x)在(1,2)上單調遞增，

g(x)>g(l)=e,故即。2!=1，即a的最小值為

ae

故選：C.

7.C

【分析】首先聯立直線方程與橢圓方程，利用A>0,求出加范圍，再根據三角形面積比得

到關于用的方程，解出即可.

y=x+m

【詳解】將直線，=%+機與橢圓聯立,兀2,消去>可得4f+6mx+3〃-3=0,

——+y=1

I3

因為直線與橢圓相交于AB點，則A=36病-4x4(3/一3)>0,解得-2<旭<2,

設耳到AB的距離4,8到AB距離d2,易知川-友,0),丹(72,0),

則呼4&二由曾

V2V2

|-A/2+m|

??=r^rr=2,解得根=一彳或一3后(舍去)，

F2AB1，2+刈|V2+m|3

F

故選：c.

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據分層抽樣的定義知初中部共抽取60x攔=40人,高中部共抽取60X黑=20,

600600

根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有c：Qc鼠種.

故選：D.

9.BD

【分析】根據題意結合平均數、中位數、標準差以及極差的概念逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A：設％2，兀3，兀4，%5的平均數為加，…，％6的平均數為〃，

貝?%+%2+忍+%4+毛+*6，2+兀3+犬4+/2（%+/）一（毛+工2+工3+，4）

、n~m~64—12，

因為沒有確定2（%+/），兀5+尤2+毛+%4的大小關系，所以無法判斷相，孔的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得加=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得m=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得根=2,"=8；故A錯誤；

6

對于選項B：不妨設網Vx2V尤3V戈4Vx5V%,

可知%,三,%,毛的中位數等于玉,%，…，%的中位數均為三；',故B正確；

對于選項C：因為a是最小值，%是最大值，

則%,當，匕，工5的波動性不大于丹,%，…，％的波動性，即為，三，彳4，%的標準差不大于玉,飛，…，%

的標準差，

例如：2,4,6,8,10,12,貝U平均數"=^（2+4+6+8+10+12）=7,

6

標準差心=^1[（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（12-7）2]=,

4,6,8,10,則平均數m=；（4+6+8+10）=7,

2222

標準差52=^［（4-7）+（6-7）+（8-7）+（10-7）］=非,

顯然叵＞百，即4＞S2；故C錯誤；

3

對于選項D：不妨設x1V%〈X3V%〈X5V%，

則％-占N%-%，當且僅當玉=%，尤5=%時，等號成立，故D正確;

故選：BD.

10.AC

【分析】利用極值點的定義可判斷A,結合了⑺的單調性、極值可判斷B,利用平移可判斷

C；利用導數的幾何意義判斷D.

【詳解】由題，/'（力=3/-1,令/々勾＞。得x＞事或尤＜一日，

令-（無）＜0得一更＜x＜且，

33

所以小）在（-00,-g）,（亭,+00）上單調遞增，（-F，g）上單調遞減，所以x=±4是極

值點，故A正確；

因〃一￥）=1+孚＞0,/（^）=1_^＞0,f（-2）=-5＜0,

所以，函數/（X）在-8,-事上有一個零點,

當尤時,/（x）＞/f^|＞0,即函數〃尤）在健,+［上無零點，

3I3JI3J

綜上所述，函數Ax）有一個零點，故B錯誤；

令/?。）=尤3-%,該函數的定義域為R,”一%）=（一%）3一（一尤）=一尤3+%=一〃（%），

則加?是奇函數，（。,。）是力（無）的對稱中心，

將〃（X）的圖象向上移動一個單位得到AM的圖象，

所以點（0,1）是曲線y=/（x）的對稱中心，故c正確；

令F（x）=3d—1=2,可得x=±l,X/（D=/（-l）=h

當切點為（U）時，切線方程為＞=2x-l,當切點為（TD時，切線方程為y=2x+3,故D錯

誤.

故選：AC.

11.CD

【分析】直接由體積公式計算乂，%,連接8。交AC于點M,連接EM,FM,由

匕=VA-EFM+匕.EFM計算出匕，依次判斷選項即可.

設AB=ED=2FB=2a,因為瓦〃平面ABC。，FBED,貝|

11174

V=-EDS.=--2a---（2a}=-a3,

13-cn32v73

匕=?加4皿=；。；（2。）2=|〃，連接8D交AC于點M,連接EM,FM,易得

BD1AC,

X￡D±￥ffiABCD,ACu平面ABC。，則EDLAC,又EDBD=D,EQBOu平面

BDEF,則AC_L平面3ZJEF,

又BM=DM=gBD=&a,過/作FGLOE于G,易得四邊形BDG/為矩形，貝I」

FG=BD=2yf2a,EG=a,

則EM=J（2a）~=y/6a,FM=Ja2+=下>a,EF=Ja?+（2>/^a）=3a>

EM2+FM2=EF2，則S=-EM-FM=—a2,AC=2尬a，

EFM22

則匕=匕3“+%-=4405￡.=243,貝。2匕=3匕，匕=3匕，匕=乂+匕，故A、B錯

3

誤；C、D正確.

故選：CD.

12.2中任意一個皆可以）

22

【分析】根據直線與圓的位置關系，求出弦長|鈿|,以及點C到直線AB的距離，結合面積

公式即可解出.

【詳解】設點C到直線A8的距離為d,由弦長公式得|42?|=2,4-/,

所以S/=：xdx2j4-相=!,解得:[=拽或"=撞，

2555

由〃=一11+1~1=丁2q，所以下J2=4竽亞或一2^=2受x/5，解得：加=±2或根=±：1.

<l+m\l+m11+m2511+m252

故答案為：2（2,-2,二,-《中任意一個皆可以）.

22

3等翻

【分析】結合圖像，依次求得4。”4。，4加，從而利用棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過4作AMLAC,垂足為M,易知AM為四棱臺ABC。-AMGR的高,

因為AB=2，Ag=1，M=0,

11B11

貝1J=—AG=—x應4耳=J,AO=—AC=—x5AB=應,

22222

故AM=g(AC-4G)=#，則AM=yl^-AM2=J2一;=

所以所求體積為V=k(4+1+百萬)x"

326

故答案為：墳.

6

14.手/175

【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數積的幾何意義得至|」然|,|巡忸制,|裕|關于

“，根的表達式，從而利用勾股定理求得a=機，進而利用余弦定理得到的齊次方程，從

而得解.

方法二：依題意設出各點坐標，從而由向量坐標運算求得尤產=4，，將點

A代入雙曲線C得到關于a,b,c的齊次方程，從而得解；

【詳解】方法一：

依題意，設|整|=2%,則怛閭=3〃?=怛耳|,|M|=2a+2a,

在RtAB￡中，9m1+(2a+2m)2=25m2,貝l](a+37〃)(a—相)=0,故a=，”或a=—3加(舍去)，

所以|M|=4a,|但|=2a,忸閭=|監|=3a,則圈=5a,

4o_4

故cosN片Ag=

5a5

所以在△/1月區中，cos/耳4月=嶼三土生二二更=±,整理得5c2=9/,

2X4QX2〃5

方法二：

依題意，得耳(W,0),瑪(GO),令4(%,%),2(0,/),

2252

因為&A=所以=則毛=§c,%,

又RALRB,所以月4/8=1|。,一：,?(。#=1°2_：/=0,則/=402,

—c2一/225/4戶

又點A在C上，貝|99_1；整理得"-三=1,

再一鏟口9a②

所以25c262T6c2/=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16?2c2=9a2(c2-a2),

2

整理得25。4一50/2+/=0,則佟2—96)(5/一叫=°,解得5c2=9/或5c=4，

又e>l,所以e=35或e=@(舍去)，故6=地.

555

故答案為：史.

5

【點睛】關鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關鍵是充分利用雙曲線的定義，結合勾股

定理與余弦定理得到關于的齊次方程，從而得解.

兀

15.（D-;

6

（2）40-5.

【分析】⑴根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將言±="化成

cos(A+B)=sinB,再結合0<B<],即可求出；

(2)由(1)知，C=W+B,A=^-2B,再利用正弦定理以及二倍角公式將《J化成

22c2

?

4cos2B+IG—5,然后利用基本不等式即可解出.

cosB

【詳解】⑴因為扁sin2B2sinBcosBsin3

即

1+cos232cos2Bcos3

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=—

2

TTTT

而0<B<5,所以B=E；

jrTT

（2）由（1）知，sinB=—cosC>0,所以一<C<兀,0<5<一,

22

而sin3=-cosC=sin

所以C=]+B,即有A=5-28,所以Be[0,?J,Ce

匚匚?"+/sin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

所以一z—=------Z------=---------Z--------

c2sin2Ccos2B

（2cos2B-l）4-1-cos2B

=4COS2B+--——5>2A/8-5=4^-5-

cos2BCOS2B

當且僅當cos2B=￥時取等號，所以―廿的最小值為4拒一5.

16.⑴。“=15-2〃

<7

(2)北=

n2-14n+98,n>8

【分析】（1）根據題意列式求解4,d,進而可得結果;

（2）先求工，討論％的符號去絕對值，結合S“運算求解.

【詳解】（1）設等差數列的公差為d,

%=%+4=11

a￡,+d9d=1=18,解得Q]=13

由題意可得SJO=10q+=即

d=-29

所以q=13-2(〃-1)=15-2〃,

〃]4“_“2,

(2)因為S“=(13+15—2嘰

2

令a“=15—2/>0,解得且〃eN*,

當時，則。“＞。，可得（聞+同

“W7=H-----=q+a2H-----------Fctn=Sn=14-n—n~；

當時，則。”<。，可得<=同+同-t-----v\at^=(al+a2-\-----F%)—(QH-----i-a?)

222

=S7-(S?-S7)=2S7-S?=2(14x7-7)-(14n-n)=M-14?+98；

14n—n2,n<7

綜上所述:

n2-14n+98,n>8

17.（1）答案見解析

（2）（i）證明見解析；（ii）R=6；

【分析】（1）由所給數據結合公式求出K2的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%

的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異；（2）⑴根據定義結合條件概

率公式即可完成證明；（ii）根據（i）結合已知數據求R.

n(adbc￥_200(40)90-60x10)2

【詳解】（1）由已知K?==24,

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)50x150x100x100

又尸(K眨6.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異.

尸(B|A)P(B|A)_P(AB)P(A)P(函P(給

(2)⑴因為R=

P(B|A)P{B|A)-尸(A)P(AB)P(A)P(AB)

所以?申?里

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

“'八P(A|B)P(A|B)

(ii)

由已知尸(A|2)=",P(A|B)=—,

100100

-60--90

又尸(A|5)=——,P(A\B)=——,

100100

同、s尸缶I5)尸㈤耳)?

所以A=-=--------------h=6

P(A|B)P(A\B)

18.⑴后

⑵*

【分析】（1）由等體積法運算即可得解；

（2）由面面垂直的性質及判定可得BC7,平面ABBA，建立空間直角坐標系，利用空間向

量法即可得解.

【詳解】（1）在直三棱柱ABC-A4c中，設點A到平面ABC的距離為/i,

A/

則匕-&Bc=gsAiBC-h=^^h=VAi_ABCASC-A=1'ABC-AIB,CI=1'

解得〃=忘，

所以點A到平面ABC的距離為近；

（2）取AB的中點瓦連接AE,如圖，因為朋=42,所以

又平面ABC1平面ABB{\,平面\BCc平面ABB^=\B,

且AEu平面ABBH，所以AE,平面ABC,

在直三棱柱ABC-A與G中，BB,1平面ABC,

由3Cu平面ABC,3Cu平面ABC可得AE-L5C,BBt1BC,

又AE,BB{u平面ABB^且相交，所以BC1平面ABB{\,

所以8C,BA,8月兩兩垂直，以8為原點，建立空間直角坐標系，如圖,

由(1)得AE=也,所以A4,=A8=2,"=25,所以3C=2,

則4(0,2,0),4(0,2,2),3(0,0,0),C(2,0,0),所以4c的中點。(1,1,1),

則加=(1,1,1),BA=(0,2,0),Bd=(2,0,0),