高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省皖北協作區2023-2024學年高一下學期期末聯考數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若向量是兩個單位向量，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由單位向量的定義可知，，即，且，故A正確，B錯誤；因為方向和夾角不確定，故CD錯誤.故選：A.2.已知直線與平面沒有公共點，直線，則與的位置關系是（）A.平行 B.異面 C.相交 D.平行或異面〖答案〗D〖解析〗依題意可知，而，所以a，b沒有公共點，a與b可能異面或平行.故選：D.3.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.4.若向量，，則在上投影向量的坐標是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，則，所以在上的投影向量.故選：B.5.將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，再把函數的圖象上每一點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標保持不變），得到函數的圖象，則函數的圖象的一條對稱軸的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗首先將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數，再把函數的圖象上每一點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標保持不變），得到函數，最后令，解得，即的對稱軸為.所以函數的圖象的一條對稱軸的方程為.故選：A.6.若，則（）A. B. C.或 D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.7.已知函數的一段圖象過點，如圖所示，則函數（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由圖知，，則.由圖知，在取得最大值，且圖象經過，故，所以，故，又因為，所以，函數又經過，故，得.所以函數的表達式為．故選：D.8.在三棱錐中，和均為邊長為2的等邊三角形，，則該三棱錐的外接球的表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意如圖所示：設為的中點，連接，設，分別為，的外接圓的圓心，過，分別作兩個半平面的垂線，交于，則可得為該三棱錐的外接球的球心，連接，，則為外接球的半徑，由與均為邊長為2的等邊三角形，則，又，則由余弦定理可得，所以，因為，分別為，的外接圓的圓心，所以，，可得，可得，而，所以，在中：，所以外接球的表面積.故選：C．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數，則（）A.虛部為 B.是純虛數C.的模是 D.在復平面內對應的點位于第四象限〖答案〗AC〖解析〗對A：由虛部定義知的虛部為，故A正確；對B：純虛數要求實部為0，故B錯誤；對C：，故C正確；對D：在復平面內對應的點為，位于第一象限，故D錯誤.故選：AC.10.如果若干個函數的圖象經過平移后能夠重合，則這些函數為“互為生成函數”.下列函數中，與構成“互為生成函數”的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗，由，則將的圖象向左平移個單位長度后，即可與的圖象重合；由，則圖象無法經過平移與的圖象重合；由，則將的圖象向左平移個單位長度后，再向下平移1個單位長度后，即可與的圖象重合；由，則的圖象無法經過平移與的圖象重合，故A，C中的函數與“互為生成函數”.故選：AC.11.已知函數在區間上有且僅有3個零點，則（）A.在區間上有且僅有4條對稱軸B.的最小正周期可能是C.的取值范圍是D.在區間上單調遞增〖答案〗CD〖解析〗對C：由函數，令，，則，，函數在區間上有且僅有個零點，即有且僅有個整數符合，由，得，則，，，即，，故C正確；對于A：，，.當時，在區間上有且僅有3條對稱軸；當時，在區間上有且僅有4條對稱軸，故A錯誤；對于B：周期，由，則，，又，所以的最小正周期不可能是，故B錯誤；對于D：，，又，，所以在區間上單調遞增，故D正確.故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知中，是線段上靠近的三等分點，若，則__________.〖答案〗〖解析〗因為是線段上靠近的三等分點，所以，所以，又，且與不共線，所以，所以.故〖答案〗為：.13.在正方體中，直線與所成角的大小為___________．（用角度表示）〖答案〗〖解析〗如圖：連接，，易知，所以即為與所成的角或其補角，易知為等邊三角形，所以.故〖答案〗為：.14.已知平面內三點不共線，且點滿足，則是的__________心.（填“重”或“垂”或“內”或“外”）〖答案〗垂〖解析〗由，知，，故，，從而為的垂心.故〖答案〗為：垂.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知為坐標原點，，，.（1）若三點共線，求實數的值；（2）若點滿足，求的最小值.解：（1）因為，，，所以，，又三點共線，所以，所以，解得.（2）因為，，所以，，所以，所以，所以當時.16.已知角的終邊經過點，為第一象限角，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）角的終邊經過點，為第一象限角，，，，，.（2）由（1）得，，，.17.如圖，四棱柱底面是正方形，．（1）證明：平面∥平面；（2）證明：平面平面．解：（1）由題意可知：∥，，可知為平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面，又因為∥，，可知為平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面，且，平面，所以平面∥平面.（2）因為為正方形，則，因為，則，可得，設，可知為的中點，則，且，平面，可得平面，由平面，所以平面平面.18.已知函數.（1）求的單調遞增區間；（2）在銳角中，角所對的邊分別為，，且，求面積的取值范圍.解：（1）因為，所以，即.令，解得，所以的單調遞增區間為.（2）結合（1）問，因為，所以，即，所以，即.因為在銳角中，，所以.因為，所以.在中，由正弦定理可得，即，在中易得，，因為為銳角三角形，且，且易得，所以，得，所以，易得，即，所以.故面積取值范圍為.19.若A，B，C是平面內不共線的三點，且同時滿足以下兩個條件：①；②存在異于點A的點G使得：與同向且，則稱點A，B，C為可交換點組．已知點A，B，C是可交換點組．（1）求∠BAC；（2）若，，，求C的坐標；（3）記a，b，c中的最小值為，若，，點P滿足，求的取值范圍．解：（1）因為與同向，設，則，，又∠GAB，．因為，所以，所以，由，得，又，所以，．（2）由（1）