2024屆浙江省杭州市高三二模數(shù)學試卷

考生須知：

1.本試卷分試題卷和答題卷兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘。

2.請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效！

3.考試結(jié)束，只需上交答題卡。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.函數(shù)y=sinx|的最小正周期是（）

兀兀

A.—B.—C.兀D.2兀

42

2.設機，〃表示兩條不同直線，a表示平面，則（）

A,若則機〃“B.若〃z_La,"ua,則機_1_“

C,若m_La,機_1_〃，則”〃aD.若則“J_a

3.已知a出是兩個單位向量，若向量方在向量6上的投影向量為則向量a與向量￡—6的夾角為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

4.設甲：“函數(shù)f（x）=2sin3x在單調(diào)遞增”，乙：“0<3W2"，則甲是乙的（）

_34_

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.設數(shù)歹U{a},M}滿足a=b=l,a+b=2n,a+。=2”.設5為數(shù)歹U{a+b}的前“項的和，

nn11nn+1n+1nnnn

則s=（）

7

A.110B.120C.288D.306

6.將5名志愿者分配到三個社區(qū)協(xié)助開展活動，每個社區(qū)至少1名，則不同的分配方法數(shù)是（）

A.300B.240C.150D.50

7.設集合M={1,-1},N={r|x>0且。旦1},函數(shù)/（x）=ax+九a-*（。〉0且awl）,則（）

A.為增函數(shù)B.三九eeN,f（x）為減函數(shù)

C.V九為奇函數(shù)D.三九eeN,7Q）為偶函數(shù)

sinylcosA.（兀、

8.在△ABC中，已知-----=nsinC,---------=ncosC.若tanA+_=-3,貝!]〃=（）

sinficos5I4；

A.1B.2C.3D.4

、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知關(guān)于x的方程舉+比+1=°（-2<,<2）的兩根為1和Z?,貝”（）

A.Z=ZB.

122

io.已知函數(shù)/Q）對任意實數(shù)

則（)

A./(-%)=/(%)

B.

c.D.

11.過點P（2,0）的直線與拋物線C：W=4x交于4,8兩點.拋物線C在點A處的切線與直線x=-2交

于點N,作交A3于點"，則（）

A.直線NB與拋物線c有2個公共點

B.直線"N恒過定點

C.點"的軌跡方程是G-l>+y2=l（xw0）

MN3。r-

D.的最小值為8"

AB

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.寫出與圓X2+y2=l相切且方向向量為（J?）的一條直線的方程

13.函數(shù)/（x）=+2的最大值為

y/x+1

14.機場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為12cm,開口直徑為8cm.旅客使用紙杯喝

水時，當水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點時，橢圓的離心率等于.

（第14題）

四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

已知等差數(shù)列｝的前〃項和為S,且S=4S,a=2a+1GeN*）.

nn42Inn

（1）求數(shù)列｛a｝的通項公式；

n

（2）數(shù)列％｝滿足b=3,令a-b=a-b,求證：￡b<.

n1nnn+2n+1k2

k=l-

16.(15分)

已知函數(shù)/(%)=。比(％+2)-；％2(。€口).

(1)討論函數(shù)/Q)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/Q)有兩個極值點,

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

(ii)證明：函數(shù)/(%)有且只有一個零點.

17.（15分）

如圖，在多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形，ZDAB=60°,BC=2PQ=4A3=4,V為BC

的中點，PQ//BC,PD±DC,QB1MD.

(第17題圖)

(I)證明：^ABQ=90°；

(2)若多面體ABCDP。的體積為g,求平面PCD與平面QAB夾角的余弦值.

18.(17分)

已知4,8是橢圓E:：+y2=l的左，右頂點，點M(An,0)(m〉0)與橢圓上的點的距離的最小值為1.

(1)求點"的坐標.

(2)過點"作直線/交橢圓石于兩點(與A6不重合)，連接AC,3。交于點G.

(i)證明：點G在定直線上；

(ii)是否存在點G使得CGLOG,若存在，求出直線/的斜率；若不存在，請說明理由.

19.(17分)

在概率統(tǒng)計中，常常用頻率估計概率.已知袋中有若干個紅球和白球，有放回地隨機摸球”次，紅球出現(xiàn)相

m

次.假設每次摸出紅球的概率為P,根據(jù)頻率估計概率的思想，則每次摸出紅球的概率P的估計值為P=—.

n

（I）若袋中這兩種顏色球的個數(shù)之比為1:3,不知道哪種顏色的球多.有放回地隨機摸取3個球，設摸出

的球為紅球的次數(shù)為y,則y?3（3,。）.

注：P（y=左）表示當每次摸出紅球的概率為。時，摸出紅球次數(shù)為左的概率）

P

（i）完成下表;

k0123

P（Y=k）271

1

46464

P（Y=k）927

3

46464

（ii）在統(tǒng)計理論中，把使得P（y=））的取值達到最大時的。,作為。的估計值,記為P,請寫出，的

,,P........................................

值.

（2）把（1）中“使得P（y=左）的取值達到最大時的。作為。的估計值?！钡乃枷敕Q為最大似然原理.基

P

于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計方法稱為最大似然估計.

具體步驟：先對參數(shù)6構(gòu)建對數(shù)似然函數(shù)/3）,再對其關(guān)于參數(shù)°求導，得到似然方程/'（o）=o,最后求

解參數(shù)。的估計值.已知y?8（",°）的參數(shù)P的對數(shù)似然函數(shù)為/（P）=Zx.lnp+￡（l—X.）ln（l—p）,

i=li=l

苴［。,第砍摸出白球

八?11,第，次摸出紅球.求參數(shù)P的估計值，并且說明頻率估計概率的合理性.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

12345678

cBBAACDA

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.ABC10.ACD11.BC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.y=+2或y=—2（寫出一個即可）13.2*14.

四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

解（1）設等差數(shù)列L｝的首項為。，公差為d.

n1

[4a+6d=8。+4d;

由$4=4524=2*+1,得J（2—K=2a+2（"l）d+l,

I11

解得a=l,d=2.

1

所以〃=2n-lCieN*）.

n

（2）由（1）知，（2n-l）b=（2n+3）Z?,

nM+1

b2n-l,bbb,2〃—32n-531.

即廿——Q'利用累乘法：所以匕??…『力=不——---——-.?…----S

b2n+3nbbb12n+12n-175

nn-\n-21

_91_1]

所以I1-25+I9

＜

T

k=l

16.(15分)

-(x++a+1

因為心

解(1)

x+2

（i）當。＜一1時，/（%）在（一2,+00）單調(diào)遞減；

(ii)當一1＜。＜0時,

TT-i,+oo),/<x)<o,

當xe

+1—J單調(diào)遞減，在I+1+l_］）單調(diào)遞增,在G4+1—1,+oo）單調(diào)

遞減;

+1—l,+oo)單調(diào)遞減.

(iii)當a20時,單調(diào)遞增,

(2)(i)由(1)知一l<a<0.

(ii)由⑴

C/a+1一!_)=alnC/a+1+1)一；(a+1—1)

因為，<0,

(4\/4、2

又因為/Cq—2=4——Cq—2>0.

、J2\7

所以函數(shù)/（X）有且只有一個零點.

17.(15分)

解（1）在△OCM中，由余弦定理可得。加=道,

所以。加■z+DC!=CM2,所以NMDC=90°,

所以。M.

又因為。CLP。，所以平面POM.

所以。C_LPM.

顯然，四邊形PQBM為平行四邊形，所以PM〃QB.

又A3〃DC,所以A3,3。,

所以乙48。=90。.

(2)因為Q8_LM￡),所以PMJ_MD,所以PM_L平面ABC。.

取A。中點E,連接PE,設PM=h.

設多面體ABCDP。的體積為V,

則v=v+v=sxJ3+lsx/z="

三棱柱ABQ—PEM四棱錐尸—CDEMAQAB、3四邊形CDEM2*

解得PM=h=3y/3.

建立如圖所示的空間直角坐標系，則A\B

（73,0,0）P

DM（0,0,0）

則平面QAB的一個法向量〃=（1,0,0）,

所以CD=（0,l,0）,尸力=

rti-CD=0,

設平面PCD的一個法向量機=（x,y,z）,則《即「LL取能=（3,0』）.

n-PD=Q,居-3底=0,

AIm-n3J10

所以COS0=-1-----=—―-.

網(wǎng).網(wǎng)10

所以平面P4D與平面PMD夾角的余弦值為3個.

18.（17分）

解（1）2=4

-m2+1,（—2<x<2）

3o

3

①若0<根<—”.二=1,解得機=0（舍去）.

min

313

②若根=/--4-4m+m2+1=1,解得機=1（舍去）或加=3.

2minV4

所以加點的坐標位（3,0）.

（2）（i）設直線/:1="+3,。（工，?。?。（元，?。?

1122

x=ty-\-3/、

,得5+4%2+69+5=0.

由＜x2

——+）2=]

[4'

6t5

所以y+y=-——7，yy=——T.

12及+43"+4

6

所以y+y=—①

12512

由△=16n—80>0,得f〉\/5或t<—^/5.

易知直線AC的方程為y=x"(x+2)②

1

直線3。的方程為y+③

x-2

2

x+2U+2Jy\ty+5)ytyy+5y

聯(lián)立②③，消去y,得一彳=/L22.=尸112一=----2.(4)

x-2\x-2Jy⑦+l/yZyy+y

2121121

x+2-達+y,)+5y

聯(lián)立①④，消去9y，則--c=:2=-5.

i2x-25(\

-Ay+y)+y

6121

4_4

解得％=可，即點G在直線x=w上.

(ii)由圖可知，CGA.DG,即AG，BG.所以點G在以AB為直徑的圓上.

4I+"2=4,

設G3，n,則