空間幾何體【課時目標】熟練掌握空間幾何體的結構，以三視圖為載體，進一步鞏固幾何體的體積與表面積計算．1．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面面積公式．2．空間幾何體的表面積和體積公式．名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側＋2S底V＝________錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側＋S底V＝________臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側＋S上＋S下V＝_____________________球S＝________V＝eq\f(4,3)πR3一、選擇題1．圓柱的軸截面是正方形，面積是S，則它的側面積是()A．eq\f(1,π)SB．πSC．2πSD．4πS2．若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．1D．23．如圖，某幾何體的正視圖與側視圖都是邊長為1的正方形，且體積為eq\f(1,2)，則該幾何體的俯視圖可以是()4．一個幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積為()A．280B．292C．3605．棱長為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為()A．eq\f(a3,3)B．eq\f(a3,4)C．eq\f(a3,6)D．eq\f(a3,12)6．已知一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面相切，若這個球的體積是eq\f(32π,3)，則這個三棱柱的體積是()A．96eq\r(3)B．16eq\r(3)C．24eq\r(3)D．48eq\r(3)二、填空題7．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為________．8．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是________cm3．9．圓柱形容器內盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，直角三角形的直角邊長分別為1和eq\r(2)，三棱柱的高為eq\r(2)，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)×eq\r(2)＝1．]3．C[當俯視圖為A中正方形時，幾何體為邊長為1的正方體，體積為1；當俯視圖為B中圓時，幾何體為底面半徑為eq\f(1,2)，高為1的圓柱，體積為eq\f(π,4)；當俯視圖為C中三角形時，幾何體為三棱柱，且底面為直角邊長為1的等腰直角三角形，高為1，體積為eq\f(1,2)；當俯視圖為D中扇形時，幾何體為圓柱的eq\f(1,4)，且體積為eq\f(π,4)．]4．C[由三視圖可知該幾何體是由下面一個長方體，上面一個長方體組合而成的幾何體．∵下面長方體的表面積為8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面長方體的表面積為8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵長方體表面積重疊一部分，∴幾何體的表面積為232＋152－2×6×2＝360．]5．C[連接正方體各面中心構成的八面體由兩個棱長為eq\f(\r(2),2)a的正四棱錐組成，正四棱錐的高為eq\f(a,2)，則八面體的體積為V＝2×eq\f(1,3)×(eq\f(\r(2),2)a)2·eq\f(a,2)＝eq\f(a3,6)．]6．D[由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)，得R＝2．∴正三棱柱的高h＝4．設其底面邊長為a，則eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a＝2，∴a＝4eq\r(3)．∴V＝eq\f(\r(3),4)(4eq\r(3))2·4＝48eq\r(3)．]7．eq\f(10,3)解析該幾何體是上面是底面邊長為2的正四棱錐，下面是底面邊長為1、高為2的正四棱柱的組合體，其體積為V＝1×1×2＋eq\f(1,3)×22×1＝eq\f(10,3)．8．144解析此幾何體為正四棱臺與正四棱柱的組合體，而V正四棱臺＝eq\f(1,3)(82＋42＋eq\r(82×42))×3＝112，V正四棱柱＝4×4×2＝32，故V＝112＋32＝144．9．4解析設球的半徑為rcm，則πr2×8＋eq\f(4,3)πr3×3＝πr2×6r．解得r＝4．10．解(1)如圖所示．(2)所求多面體體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3)(cm3)．11．解由題意可知矩形的高即圓柱的母線長為eq\f(9.6－8×2r,8)＝1．2－2r，∴塑料片面積S＝πr2＋2πr(1．2－2r)＝πr2＋2．4πr－4πr2＝－3πr2＋2．4πr＝－3π(r2－0．8r)＝－3π(r－0．4)2＋0．48π．∴當r＝0．4時，S有最大值0．48π，約為1．51平方米．(2)若燈籠底面半徑為0．3米，則高為1．2－2×0．3＝0．6(米)．制作燈籠的三視圖如圖．12．4解析由三視圖可知原幾何體是一個三棱錐，且三棱錐的高為2，底面三角形的一邊長為4，且該邊上的高為3，故所求三棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×2＝4m3．13．5eq\r(2)解析將△BCC1沿B