第04講數列求和(精練）A夯實基礎一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習（文））設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B由于SKIPIF1<0，故原式SKIPIF1<0.2．（2022·海南華僑中學高二期中）數列SKIPIF1<0的前2022項和等于（

）A．SKIPIF1<0 B．2022 C．SKIPIF1<0 D．2019【答案】B解：設數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為奇數時SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為偶數時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B3．（2022·陜西·西北工業大學附屬中學模擬預測（理））已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2021 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∴數列SKIPIF1<0是以首項SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0的等差數列則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0則SKIPIF1<0故選：B．4．（2022·江蘇常州·高二期中）已知數列滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的最小值是A．25 B．26 C．27 D．28【答案】B因為數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上式相加，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等式相等，故選B．5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的前20項和為（

）A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D因為函數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，由①SKIPIF1<0②可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0是首項為1，公差為SKIPIF1<0的等差數列，其前20項和為SKIPIF1<0.故選：D.6．（2022·全國·高三專題練習）數列SKIPIF1<0的前10項和為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CSKIPIF1<0∴其前10項和為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：C．7．（2022·全國·高三專題練習（文））已知數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，則此數列奇數項的前m項和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因為當n=1時，SKIPIF1<0不滿足，所以數列SKIPIF1<0從第二項開始成等比數列，又SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的奇數項構成的數列的前m項和SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選:B.8．（2022·陜西·無高一階段練習）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0是遞增數列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：B.二、多選題9．（2022·黑龍江·勃利縣高級中學高二期中）公差為d的等差數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下面結論正確的有（

）A．d＝2 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0【答案】ABD由題意得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A、B正確；得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故C錯誤；所以數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，故D正確.故選：ABD.10．（2022·廣東·執信中學高二期中）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，對任意SKIPIF1<0且SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0成立，記SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0為等比數列 B．SKIPIF1<0為等差數列C．SKIPIF1<0為遞減數列 D．SKIPIF1<0【答案】BCD因為SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故數列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；對SKIPIF1<0：因為SKIPIF1<0不是常數，故數列SKIPIF1<0不是等差數列，故SKIPIF1<0錯誤；對SKIPIF1<0：由上述推導可知，數列SKIPIF1<0是等差數列，故SKIPIF1<0正確；對SKIPIF1<0：因為SKIPIF1<0，對任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故數列SKIPIF1<0是遞減數列，故SKIPIF1<0正確；對SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確.故選：SKIPIF1<0.三、填空題11．（2022·黑龍江實驗中學高二階段練習）數列SKIPIF1<0的各項均為正數，SKIPIF1<0為其前SKIPIF1<0項和，對于任意的SKIPIF1<0，總有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列，又記SKIPIF1<0，數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0由對于任意的SKIPIF1<0，總有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列可得：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由數列SKIPIF1<0的各項均為正數，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.12．（2022·浙江·模擬預測）在數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前n項和，則SKIPIF1<0的值為___________.【答案】2解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：2.四、解答題13．（2022·安徽·北大培文蚌埠實驗學校高三開學考試（文））已知數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0為等差數列，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設公差為d，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故數列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．14．（2022·四川·威遠中學校高一階段練習（文））已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0(1)求證：SKIPIF1<0是等比數列；(2)記數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0(1)證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0②①-②得，SKIPIF1<0經檢驗，當SKIPIF1<0時上式也成立，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0是首項為3，公比為3的等比數列.(2)由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩式相減，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B能力提升1．（2022·河南·開封市東信學校模擬預測（理））已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的前2022項的和為___________.【答案】SKIPIF1<0由題意可知，滿足SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以上各式累加得，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也滿足上式，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.∴數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.2．（2022·黑龍江·哈九中三模（文））設函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則數列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0由題設，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且n≥2，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.3．（2022·安徽·合肥一六八中學模擬預測（文））設數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________.【答案】960由SKIPIF1<0，當n為奇數時，有SKIPIF1<0；當n為偶數時，SKIPIF1<0，∴數列SKIPIF1<0的偶數項構成以2為首項，以2為公差的等差數列，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：960.4．（2022·全國·高二課時練習）數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則該數列從第5項到第15項的和為______．【答案】1504設數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數列SKIPIF1<0從第5項到第15項的和：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：1504．5．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預測）等比數列SKIPIF1<0中，首項SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)設數列SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(2)由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0..6．（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學高二階段練習）已知數列{an}的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數列{bn}滿足b1＝1，點P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2＝0上．(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；(2)令SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前n項和Tn；(3)若SKIPIF1<0，求對所有的正整數n都有SKIPIF1<0成立的k的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，bn＝2n﹣1SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(1)因為SKIPIF1<0①，當n＝1時，解得SKIPIF1<0．當n≥2時，SKIPIF1<0②，①﹣②得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以數列{an}是以SKIPIF1<0為首項，2為公比的等比數列；所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．數列{bn}滿足b1＝1，點P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2＝0上．所以bn+1﹣bn＝2（常數），所以數列{bn}是以1為首項，2為公差的等差數列，所以bn＝2n﹣1SKIPIF1<0．(2)由（1）得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①﹣②得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．(3)由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0為單調遞減數列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為1，因為對所有的正整數n都有SKIPIF1<0都成立，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，只需滿足SKIPIF1<0即可，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，故k＜2，則k的取值范圍為SKIPIF1<0．C綜合素養1．（2022·遼寧·模擬預測）如圖是美麗的“勾股樹”，將一個直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形而得到如圖①的第1代“勾股樹”，重復圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹”，…，以此類推，記第n代“勾股樹”中所有正方形的個數為SKIPIF1<0，數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，則n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C解：第1代“勾股樹”中，正方形的個數為SKIPIF1<0，第2代“勾股樹”中，正方形的個數為SKIPIF1<0，…，以此類推，第n代“勾股樹”中所有正方形的個數為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0為遞增數列，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以n的最小值為9．故選：C．2．(多選）（2022·安徽·六安一中高二期中）在1261年，我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項式系數在三角形中的一種幾何排列．從第1行開始，第n行從左至右的數字之和記為SKIPIF1<0，如：SKIPIF1<0的前n項和記為SKIPIF1<0，依次去掉每一行中所有的1構成的新數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項和記為SKIPIF1<0，則下列說法正確的有（

）SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD從第一行開始，每一行的數依次對應SKIPIF1<0的二項式系數，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等比數列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正確；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B正確；依次去掉每一行中所有的1后，每一行剩下的項數分別為0，1，2，3……構成一個等差數列，項數之和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大整數為10，楊輝三角中取滿了第11行，第12行首位為1，在SKIPIF1<0中去掉，SKIPIF1<0取的就是第12行的第2項，SKIPIF1<0，故C錯誤；SKIPIF1<0，這11行中共去掉了22個1，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：ABD.3．（2022·四川遂寧·三模（文））德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學屆的王子，19歲的高斯得到了一個數學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》，在其年幼時，對SKIPIF1<0的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現有函數SKIPIF1<0，設數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0使不等式SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0的取值范圍是___