第03講等比數(shù)列及其前SKIPIF1<0項和(精講）目錄第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：等比數(shù)列基本量的運算題型二：等比數(shù)列的判斷與證明題型三：等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用角度1：等比數(shù)列的性質(zhì)角度2：等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合問題第四部分：高考真題感悟第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶1.等比數(shù)列的概念(1)等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)表示．?dāng)?shù)學(xué)語言表達(dá)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0.(2)等比中項如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，那么SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等比中項．即：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等比中項?SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列?SKIPIF1<0.2.等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)若等比數(shù)列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公比是SKIPIF1<0，則其通項公式為SKIPIF1<0；可推廣為SKIPIF1<0.(2)等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.3.等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項和．(1)若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.特別地，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…仍是等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．(3)若數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（理））已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；故選：C2．（2022·遼寧·遼師大附中高二階段練習(xí)）已知一個蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了4個伙伴；第2天，5只蜜蜂飛出去，各自找回了4個伙伴，……按照這個規(guī)律繼續(xù)下去，第20天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（

）A．420只 B．520只 C．SKIPIF1<0只 D．SKIPIF1<0只【答案】B第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有SKIPIF1<0只蜜蜂，……按照這個規(guī)律每天的蜜蜂數(shù)構(gòu)成以為5首項，公比為5的等比數(shù)列則第SKIPIF1<0天的蜜蜂數(shù)SKIPIF1<0第20天蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中共有蜜蜂數(shù)SKIPIF1<0故選：B．3．（2022·北京·昌平一中高二期中）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等比中項是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等比中項，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故選：C.4．（2022·湖北·蘄春縣實驗高級中學(xué)高二期中）已知2是2m與n的等差中項，1是m與2n的等比中項，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D由題可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：D．5．（2022·全國·高二單元測試）在下列的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，那么SKIPIF1<0的值為（

）2412xyA．2 B．3 C．4 D．5【答案】A由題意知表格為246123SKIPIF1<01SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．故選：A第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：等比數(shù)列基本量的運算例題1．（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學(xué)高二階段練習(xí)）若等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的公比為（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【答案】D設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a4+a5＝（a1+a3）q3，得3q3＝81，解得q＝3，故選：D．例題2．（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））在正項等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1024 B．960 C．768 D．512【答案】A解：依題意設(shè)公比為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故選：A例題3．（2022·遼寧·鞍山市華育高級中學(xué)高二期中）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則公比SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】B設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.例題4．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，求使得SKIPIF1<0的正整數(shù)SKIPIF1<0的所有取值．【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(2)答案見解析．(1)因為SKIPIF1<0為等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．(2)當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0．易知，當(dāng)SKIPIF1<0時，不等式顯然不成立，檢驗可知，滿足不等式的正整數(shù)n的所有取值為1，2，3，4．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此時n的取值為一切正整數(shù)．例題5．（2022·北京二中高二學(xué)業(yè)考試）已知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0，(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式及其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0分別為等差數(shù)列SKIPIF1<0的第3項和第5項，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式及其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.(2)設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.方法總結(jié)解決等比數(shù)列基本量運算的思想方法(1)方程思想:等比數(shù)列的基本量為首項SKIPIF1<0和公比SKIPIF1<0,通常利用已知條件及通項公式或前SKIPIF1<0項和公式列方程(組)求解,等比數(shù)列中包含SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0五個量,可“知三求二”.(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個時,可將已知和所求都用SKIPIF1<0,SKIPIF1<0表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.(3)分類討論思想:若題目中公比SKIPIF1<0未知,則運用等比數(shù)列前SKIPIF1<0項和公式時要對SKIPIF1<0分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況進(jìn)行討論.題型二：等比數(shù)列的判斷與證明例題1．（2022·遼寧·撫順一中高二階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0．例題2．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，②

①?②得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0．例題3．（2022·江西·二模（理））已知正項數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0(1)令m=n=1，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（負(fù)值舍去），令m=1，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0.證明SKIPIF1<0是等比數(shù)列定義法SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)(或者SKIPIF1<0）等差中項法SKIPIF1<0判斷SKIPIF1<0是等比數(shù)列SKIPIF1<0的通項關(guān)于SKIPIF1<0的指數(shù)函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）題型三：等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用角度1：等比數(shù)列的性質(zhì)例題1．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（文））已知SKIPIF1<0是等比數(shù)列，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．10 B．25 C．5 D．15【答案】C因為SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C例題2．（2022·江西·九江一中高二階段練習(xí)（理））在正項等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0故選：A例題3．（2022·遼寧沈陽·三模）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為方程SKIPIF1<0的兩根，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0為方程SKIPIF1<0的兩根，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.例題4．（2022·河南·高二階段練習(xí)（文））在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】9設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：9例題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正項等比數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】2SKIPIF1<0．故答案為：2例題6．（2022·全國·高二單元測試）等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______【答案】5SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：5．角度2：等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合問題例題1．（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測）數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)證明見解析(1)由題意得SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，也適合上式，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0．例題2．（2022·江西·南城縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，SKIPIF1<0.例題3．（2022·青海·大通回族土族自治縣教學(xué)研究室三模（理））若SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0(1)解：因為SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②，由①②可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且首項為2，公比為2．所以SKIPIF1<0．例題4．（2022·四川·樹德中學(xué)高一競賽）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0(1)解：由題意，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0表示首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.例題5．（2022·福建省福州格致中學(xué)模擬預(yù)測）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0這兩個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答下列題目.設(shè)首項為2的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項積為SKIPIF1<0，且___________.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)在數(shù)列SKIPIF1<0中是否存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列，若存在，請舉例說明，若不存在，請說明理由.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)不存在，理由見解析(1)選①：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是常數(shù)列，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0選②：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也滿足，所以SKIPIF1<0.(2)假設(shè)在數(shù)列中存在連續(xù)三項SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，那么有SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0成立.即SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0成立，此等式顯然不成立，故原命題不成立，即不存在連續(xù)三項SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列例題6．（2022·全國·高二單元測試）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.問題：設(shè)SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且SKIPIF1<0，______，求SKIPIF1<0的通項公式，并判斷SKIPIF1<0是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.【答案】選①：SKIPIF1<0，存在，最大值4；選②：SKIPIF1<0，存在，最大值50；選③：SKIPIF1<0，不存在，理由見解析.選①：因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為4、公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0隨著SKIPIF1<0的增大而減小，所以此時SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0存在最大值，且最大值為4.選②：因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項為4、公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0存在最大值，且最大值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值為50.選③：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不存在最大值.第四部分：高考真題感悟第四部分：高考真題感悟1．（2022·上海·高考真題）已知SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，前n項積為SKIPIF1<0，則下列選項中正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增B．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增C．若數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0D．若數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0【答案】DA：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0取值同號，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0不是遞增數(shù)列，故A錯誤；B：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0取值同號，若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0不是遞增數(shù)列，故B錯誤；C：若等比數(shù)列SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，但SKIPIF1<0，故C錯誤；D：由數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：D2．（2022·上海·高考真題）已知數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0