教學設計

閡：隔「圜1（教師獨具內容）

課程標準：L了解反函數的概念.2.知道對數函數y=log..^（a>0且aWl）與指

數函數y=a*（a>0且aWl）互為反函數.

教學重點：反函數的概念及互為反函數圖像間的關系，對比對數函數y=

log.x（a>0且a#l）與指數函數y=a（a>0且a#l）的圖像和性質，深刻理解兩者

的關系.

教學難點：對數函數y=log?^（a>0且aWl）與指數函數y=a'（a>0且a#l）

的圖像的對稱關系.

新知1

互為反函數的兩個函數的關系

（1）原函數的定義域、值域分別是其反函數的值域、定義域.

（2）互為反函數的兩個函數的圖像關于直線尸x對稱，故函數尸"的圖像

與y=log,x的圖像關于直線y=x對稱（其中a>0且aWl）.

溫評價自測

1.判一判（正確的打“J”，錯誤的打“義”）

（1）任何一個函數都有反函數.（）

（2）函數y=2'的定義域是函數y=log2X的值域.（）

（3）函數y=*的反函數是y=,.（）

2.做一做（請把正確的答案寫在橫線上）

（1）函數y=logj_x的反函數為.

3

（2）函數y=log,（矛一1）的反函數為.

3

（3）若點（1,2）在函數尸=f（x）的圖像上，則點必在其反函數尸=f'（才）

的圖像上.

核心素養

題型一求函數的反函數

例1求下列函數的反函數.

⑴y=2x+3；

(2)y=log2x；

3

(4)y=0.2"+l(xWl).

［跟蹤訓練1］求下列函數的反函數:

⑴尸10gl(2x+l)；⑵尸廣不

3

題型二反函數性質的應用

例2已知函數了=苗+。的圖像過點(1,4),其反函數的圖像過點(2,0),求

a,6的值.

［跟蹤訓練2］已知函數f(x)=a*+6(a>0且a#l)的圖像過點(1,7),其反函

數/YA)的圖像過點(4,0),求f(x)的表達式.

題型三指數函數與對數函數圖像間的關系

例3已知lga+lg6=0,函數f(x)=a*與函數g(x)=—log點的圖像可能

［跟蹤訓練3］y=log”的反函數是尸產'(X),則函數y=fYl—x)的圖像

是下圖中的()

題型四指數函數與對數函數的綜合應用

例4(1)已知/'(*)=log.(a—a")(a>l).

①求函數/'(x)的定義域、值域；

②判斷f(x)的單調性，并證明；

(2)設方程2'+x—3=0的根為m,方程lo&x+x—3=0的根為n,求m+n

的值.

[跟蹤訓練4](1)已知0<a<l,則函數y=a'—|log“x|的零點的個數為

()

A.1B.2

C.3D.4

(2)已知f{x)=logt(4,—1).

①求f(x)的定義域；

②討論M的單調性；

③求F3在區間2上的值域.

隨堂水平

1.函數f(x)=log?x與g(x)=2"的圖像()

A.關于x軸對稱B.關于y軸對稱

C.關于原點對稱D.關于直線尸x對稱

2.若函數y=f(x)是函數y=a"(a>0且aWl)的反函數，且/'(2)=1,則/'(x)

=()

A.log2*B./

C.loglxD.2「2

2

3.(多選)已知函數尸e,的圖像與函數y=f(x)的圖像關于直線y=x對稱,

則()

A.f(x)=lnx(x>0)

B.F(2x)=-e"(xeR)

C.f(x)=-e*(xWR)

D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)

4.若函數y=log2x+2的反函數的定義域為(3,+°°),則此函數的定義域

為.

5.若點/(I,2)既在函數f(x)=af+力(x?0)的圖像上，又在f(x)的反函數

f'(X)的圖像上，求a,6的值.

課后課時

人級,》“四基”鞏固訓練

一、選擇題

1.已知函數尸/"(X)有反函數，則方程/"(x)=0的根的情況是()

A.有且僅有一個實根

B.至少有一個實根

C.至多有一個實根

D.0個，1個或1個以上實根

2.將y=2'的圖像，再作關于直線y=x對稱的圖像，可得函數y

=logz(x+D的圖像.橫線處應填寫()

A.先向左平移1個單位B.先向右平移1個單位

C.先向上平移1個單位D.先向下平移1個單位

3.若指數函數尸a'當/0時，有0＜八1,則在同一坐標系中，函數尸a-"

與函數y=log/的圖像是()

4.函數f(x)與g(x)=@互為反函數，則函數f(4T)的單調遞增區間是

)

A.(―0°,0]B.[0,+8)

C.(-2,0]D.[0,2)

5.(多選)已知e是自然對數的底數，函數/'(x)=e'+x—2的零點為a,函數

g(x)=lnx+x—2的零點為8,則下列不等式中成立的是()

A./(aXAlXA6)B.AaXA6XAl)

C.g(a)〈g(8)〈g(l)D.g(a)〈g(l)〈g(8)

二、填空題

x+1,x〈0,

6.函數y="的反函數是—

心0

7.函數f(x)=log?x(a>0且aWl)滿足f(9)=2,則尸(一log.2)=.

8.已知函數/1(x)是定義在(一8,十8)上的減函數，其圖像經過4(一4,1),

8(0,—1)兩點，函數f(x)的反函數是fXx),則fYD的值是；不等

式|f(x—2)|<1的解集是.

三、解答題

9.已知函數f(x)=log“(2—x)(a〉l).

(1)求函數f(x)的定義域、值域；

⑵求函數/U)的反函數/(x);

(3)判斷廣Y判的單調性.

10.已知函數f(x)=lg(x+1).

⑴當xW[1,9]時,求函數f(x)的反函數；

(2)若求x的取值范圍.

B級'“四能”提升訓練

1.已知函數f(x)=>-3—+1,其定義域為[0,3]U[12,15].

⑴當2=2時，求函數f(x)的反函數方'(X)；

(2)如果函數f(x)在其定義域內有反函數，求實數Z的取值范圍.

2.已知奇函數《)=會芳的反函數尸3的圖像過點心3,1).

(1)求實數a,6的值；

(2)解關于x的不等式r'W>-i.

IAKI第四章指數函數、對數函數與鬲函數

DISIZHANG4.3指數函數與對數函數的關系

閡"陽「國.（教師獨具內容）

課程標準：1.了解反函數的概念.2.知道對數函數y=log^（a>0且a#l）與指

數函數y=H（a>0且aWl）互為反函數.

教學重點：反函數的概念及互為反函數圖像間的關系，對比對數函數y=

log^（a>0且a#l）與指數函數y=a'（a>0且a#l）的圖像和性質，深刻理解兩者

的關系.

教學難點：對數函數y=loga^（a>0且a#l）與指數函數y=a'（a>0且aWl）

的圖像的對稱關系.

新知卜

互為反函數的兩個函數的關系

（1）原函數的定義域、值域分別是其反函數的值域、定義域.

（2）互為反函數的兩個函數的圖像關于直線y=x對稱，故函數的圖像

與y=log“x的圖像關于直線y=x對稱（其中a>0且aWl）.

溫評價自測

1.判一判（正確的打“J”，錯誤的打“X”）

（1）任何一個函數都有反函數.（）

（2）函數尸2?"的定義域是函數y=logzx的值域.（）

（3）函數尸*的反函數是_/=[；.（）

答案⑴X（2）V（3）X

2.做一做（請把正確的答案寫在橫線上）

（1）函數y=logj_x的反函數為.

3

（2）函數y=log]（x—l）的反函數為.

3

(3)若點(1,2)在函數y=f(x)的圖像上,則點必在其反函數y=尸,(x)

的圖像上.

答案(1)產=⑵尸融十1⑶⑵1)

核心素養形成

題型一求函數的反函數

例1求下列函數的反函數.

⑴y=2x+3；

(2)y=log2x；

3

⑶尸位f

(4)y=0.2"+l(xWl).

13

［解］(1)由y=2x+3得x=~y—~,

i3

所以函數y=2x+3的反函數是y=-^x—-

乙乙

(2)y=log2x的底數是全它的反函數是指數函數y=停).

(3)y=(|1—1的值域是(—1,+8),所以它的反函數為函數y=log2(x+

3

1)(-￥>—1).

(4)因為y=0.2、+1,所以y—1=0.2",jc=log0.2(y—1)?對調其中的x和y

得y=logo.2(x—1),

因為函數y=0.2"+1(xWl)的值域是｛y\y^\.2),所以y=log0,2(^—1)的定

義域為｛*1*21.2),即函數y=0.2'+1(x〈l)的反函數是y=log0.2(x—1)(x2

1.2).

金版點睛

求給定解析式的函數的反函數的步驟

1求出原函數的值域，這就是反函數的定義域；

2從x中解出x；

3x,y互換并注明反函數的定義域.

［跟蹤訓練1］求下列函數的反函數：

2'+1

(l)y=logl(2x+l)；(2)y=-.~~

一Z—1

3

解(1)y=logi(2x+D,得2x+l=(gJ,

3

所以A=2XB-2>

對調x,y得y=〈x

所以y=logl(2x+l)的反函數是y=：xf11一J

一yOJ乙

3

2r+l

⑵由y=—~~得2'(y—1)=y+l.

zx-1

y-\-1

:產￡1，???2”=2~x.①

y-i

y-\-1

V2v>0,/~->0,解得y〉l或八一1.

y-i

故反函數的定義域是{x|x>l或X<—1}.

由①式，得X=1og2』±J.

y—1

x~\~1

因此，所求的反函數為y=log?----，(x<—1或x>l).

X—1

題型二反函數性質的應用

例2已知函數尸H+8的圖像過點（1,4）,其反函數的圖像過點（2,0）,求

a,6的值.

［解］解法一：???），=a,+6的圖像過點（1,4）,

.,.a+8=4,①

由y=a'+b得a=y—b,

x=log”(y—6),對調x,y得y=log。(x—6),

將點(2,0)代入y=loga。-8)得log”(2—8)=0,

.,.2-6=1.(2)

a=3,

由①②解得

6=1.

解法二：?.?尸a'+b的圖像過點（1,4）,.?.a+8=4.①

又?.?尸H+6的反函數圖像過點(2,0)，

...點(0,2)在原函數尸H+力的圖像上,

：.a+b=2.?

a=3,

聯立①②得,

.6=1.

金版點睛

利用反函數的性質解題

互為反函數的圖像關于直線y=x對稱是反函數的重要性質，由此可得互為反

函數圖像上任一成對的相應點也關于y=x對稱，所以若點a,b在函數y=

fx的圖像上，則點b,a必在其反函數x的圖像上.

［跟蹤訓練2］已知函數f(x)=a*+6(a>0且aWl)的圖像過點(1,7)，其反函

數尸Yx)的圖像過點(4,0),求f(x)的表達式.

解...y=fi(x)的圖像過點(4,0),

：.y=f(x)的圖像過點(0,4),

.?.1+6=4,.?"=3,又???f(x)=H+6的圖像過點(1,7),

Aa+b=7,，a=4..?.f(x)=4'+3.

題型三指數函數與對數函數圖像間的關系

例3已知lga+lg6=0,函數/'(x)=a*與函數g(x)=-log〃x的圖像可能

是()

［解析］Viga+lgb-O,/.ab=1,則力=一，從而g(x)=—log〃x=log,x,

a

故g(x)與/"(x)=a'互為反函數，圖像關于直線尸x對稱.結合選項可知選B.

［答案］B

金版點睛

利用反函數的性質識圖

指數函數與對數函數互為反函數，二者的圖像關于直線y=x對稱.在有關指

數函數與對數函數的圖像識別問題中利用這一性質，結合平移翻轉等可以很方便

地解決問題.

［跟蹤訓練3］尸log?x的反函數是尸尸(x),則函數尸尸(l—x)的圖像

是下圖中的()

答案C

解析?.,y=log2X的反函數為了=f'(才)=2*,則(1—x)=2一,=2?2一

故排除A,B.又此函數圖像過(0,2),故正確答案為C.

題型四指數函數與對數函數的綜合應用

例4⑴已知f(x)=loga(a—H)(a〉l).

①求函數/Xx)的定義域、值域；

②判斷f(x)的單調性，并證明；

(2)設方程2'+x—3=0的根為m,方程log2x+x—3=0的根為n,求m+n

的值.

［解］(D①要使函數f(要=log.(a-H)(a〉D有意義,需滿足a—a'>0,即

a\a,又.?.水1,故定義域是(一8,1),又a—a'e(0,a),所以值域是(一

8,1).

②設為<也<1,則a*i<a*2〈a,Ay=f［x^)—f{x^)=1og,.,(a——loga(a—a'O

a-a*2

=iog,Kr<°'所以函數f(x)為減函數?

(2)將方程整理得2'=-*+3,log2%=-x+3.如圖可知，/是指數函數y=

2,的圖像與直線尸一矛+3交點A的橫坐標，〃是對數函數尸logzx的圖像與直

線尸一矛+3交點6的橫坐標.由于函數y=2'與y=log/互為反函數，所以它

們的圖像關于直線y=x對稱，由題意可得出46兩點也關于直線尸x對稱，于

是可設48兩點的坐標為力(加，ri),B(n,ni).而48都在直線y=-x+3上，

.,.〃=一7+3(4點坐標代入)，或/=一〃+3(6點坐標代入)，故加+〃=3.

金版點睛

指數函數與對數函數綜合問題的解決方法

1指數函數y=a"a>0且與對數函數y=log/a>0且aWl

互為反函數，應從概念、圖像和性質三個方面理解它們之間的聯系與區別.

2利用數形結合、等價轉化的思想可較為簡便地解決函數零點方程的

根問題.

[跟蹤訓練4]⑴已知0<a<l,則函數-，'一|1。83的零點的個數為

()

A.1B.2

C.3D.4

(2)已知fU)=log,1(4,—1).

①求/'(x)的定義域；

②討論f(x)的單調性；

一1

：-2

③求/V)在區間上的值域.

2J

一

答案(DB(2)見解析

解析⑴函數y=a'—|logR(0〈a〈l)的零點的個數即方程a，=

Ilog,x|(0<a<l)的根的個數，也就是函數f(x)=ax(0<a<l)與g(x)=

Ilog^l(0〈水1)的圖像的交點的個數.

畫出函數/'(x)=a'(0〈a〈l)與g(x)=|log“x|(0<a<l)的圖像，如圖所示，觀

察可得函數f(x)=a'(0(水1)與g(x)=|log“x|的圖像的交點的個數為2,

從而函數y=a'-|log,x|的零點的個數為2.

(2)①由4'-1>0,解得x>0,

因此f(x)的定義域為(0,+8).

②設0<xt<x2,則—

因此log,.(4xi-l)<log?(4"1),即f(x)3x3,

故/'(x)在(0,+8)上單調遞增.

③因為f(x)在區間；，2上單調遞增，

又弱=0,F(2)=log/5,

因此/U)在g,2上的值域為[0,log/5].

隨堂水平

1.函數/V)=log./與g(x)=2酎的圖像()

A.關于x軸對稱B.關于y軸對稱

C.關于原點對稱D.關于直線y=x對稱

答案D

解析?.,g(x)=2"=4",.,.函數f(x)=log/■與g(x)=2"互為反函數，它們

的圖像關于直線y=x對稱.

2.若函數y=f(x)是函數y=a*(a〉O且aWl)的反函數，且f(2)=l,則f(x)

=()

1

A.Iog2*B.亍

C.log]xD.2T

2

答案A

解析尸a，的反函數/'(x)=log“x,則l=log〃2,，a=2.故/'(x)=log2X.

3.(多選)已知函數y=e'的圖像與函數y=f(x)的圖像關于直線y=x對稱，

則()

A.f(力=lnx(x>0)

B.f(2x)=—e/lxeR)

C.f(x)=-e，(xWR)

D.F(2x)=lnx+ln2(x>0)

答案AD

解析由題意可得，尸以玲是y=e*的反函數，.'"(x)=lnx(x〉0),.'"(Zx)

=ln(2x)=ln2+lnx(x>0).故選AD.

4.若函數y=log2x+2的反函數的定義域為(3,+8),則此函數的定義域

為?

答案(2,+8)

解析函數y=logzx+2的反函數的定義域為(3,+-),即這個函數的值域

為(3,+8),.?Jog2x+2>3,即logz+l,，x>2.則此函數的定義域為(2,+-).

5.若點4(1,2)既在函數f(x)=aV+6(x20)的圖像上，又在f(x)的反函數

尸Yx)的圖像上，求a,6的值.

解;尸⑴=2,...f(2)=l.又/'(1)=2,

,a+8=2,

解得j7

.4a+8=l,

b=0

課后課時精練

A級€》“四基”鞏固訓練

一、選擇題

1.已知函數尸/■(%)有反函數，則方程/■(*)=()的根的情況是()

A.有且僅有一個實根

B.至少有一個實根

C.至多有一個實根

D.0個，1個或1個以上實根

答案C

解析若f(x)=O有根加，則FE)=O,又因為f(x)有反函數，所以0在y

=尸1(又)關系下有唯一的值與之對應，故勿必唯一，所以y=f(x)的圖像與x軸至

多有一個交點，即方程f(x)=O至多有一個實根.

2.將y=2'的圖像,再作關于直線y=x對稱的圖像，可得函數y

=logz(x+l)的圖像.橫線處應填寫()

A.先向左平移1個單位B.先向右平移1個單位

C.先向上平移1個單位D.先向下平移1個單位

答案D

解析與函數y=logz(x+D的圖像關于直線y=x對稱的曲線是函數y=2*

-1的圖像.為了得到它，只需將尸2”的圖像向下平移1個單位.故選D.

3.若指數函數尸"當x<0時，有則在同一坐標系中，函數尸加"

與函數y=log/的圖像是()

答案A

解析?「xVO時，y=a^.(0,1),.?.a>L「.y=log“x單調遞增，y=ax

單調遞減.結合選項知，選A.

4.函數f(x)與g(x)=|J|'互為反函數，則函數/'(4—*)的單調遞增區間是

()

A.(—8,o]B.[0,+8)

C.(-2,0]D.[0,2)

答案D

解析,函數f(x)與g(x)互為反函數，/.f{x)=logj_X=一

log2*(x>0),則函數A4-7)=-log2(4-7).由4-/>0,得一2cA<2..*.函數f(4

一力的單調遞增區間是02).故選D.

5.(多選)已知e是自然對數的底數，函數/'(x)=e'+x—2的零點為a,函數

g(x)=lnx+x—2的零點為，，則下列不等式中成立的是()

A.f(a)<f(l)</(/>)B.f(aXA^XAl)

C.g(a)〈g(A)〈g⑴D.g(a)〈g(l)〈g(A)

答案AD

解析分別作出函數y=e*,y=lnx,y=2—x的圖像，如圖所示，不難發

現a<l<b,而函數f(x),g(x)均為增函數，所以AaXAlXA6),

g(a)〈g(l)<g(8).故選AD.

二、填空題

x+1,KO,

6.函數y=<的反函數是一

e”,心0

x-l,XI,

答案/=<

Inx,

解析當K0時，y=x+l的反函數是y=x—1,矛<1；

當x20時，y=e”的反函數是y=lnx,x2L

x—1,x<.\,

故原函數的反函數為y=,、

.Inx,

7.函數f(x)=logaX(a>0且a#l)滿足f(9)=2,則/"'(—log92)=.

答案當

1

解析Vlog?9=2,...a=3,而r'(jd=a,.Yx)=3",Ar(-log92)

l°g；'2、歷

=3-%=3乙=華

8.已知函數f(x)是定義在(一8,十8)上的減函數，其圖像經過力(-4,1),

8(0,—1)兩點，函數f(x)的反函數是f'(X),則方'(1)的值是；不等

式"(x—2)|〈1的解集是.

答案一4(-2,2)

解析由題意，可知的圖像過點(1,—4)和點(一1,0),...尸|(1)=

-4；V|f(^-2)|<1,/.-1</(^-2)<1,即f(0)<f(x—2)〈F(—4),又函數f(x)

為(-8,+8)上的減函數，.\-4<%-2<0,即一2〈矛<2,不等式|f(x—2)

的解集為3—2〈水2},即(一2,2).

三、解答題

9.已知函數f(x)=log<2—x)(a〉l).

(1)求函數f(x)的定義域、值域；

(2)求函數f(x)的反函數尸i(x)；

(3)判斷尸'(X)的單調性.

解(1)要使函數f(x)有意義，需滿足2—x>0,即水2,

故函數f(x)的定義域為(-8,2),值域為R.

⑵由y=log,,(2—%),得2—x=a1

即x=2—耳.,.尸(x)=2—a.

⑶/Xx)在R上是減函數.

證明如下：任取矛|,%eR且Xi<x2.

''尸(照)一尸(為)=2—a、2—2+ai=a'[一a*2,

xx

,/a>1,Xt<x2,I.a+VaZ即a'—a2<0,

...尸(就〈尸3),

：.y=r'(x)在R上是減函數.

10.