5.4.2

正弦函數、余弦函數的性質第1課時

周期性與奇偶性課標定位素養闡釋1.了解周期函數、周期、最小正周期的定義.2.會求函數y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期.3.借助圖象理解正弦函數、余弦函數的奇偶性,并會判斷.4.體會數學抽象的過程,提升邏輯推理和數學運算素養.自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習

自主預習·新知導學一、函數的周期性1.由正弦函數的圖象可知,橫坐標每隔2π個單位長度,就會出現縱坐標相同的點,這種“周而復始”的變化規律,體現了正弦函數具有什么樣的性質?提示:周期性.2.設f(x)=sinx,根據誘導公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z),你會得出怎樣的關系式?提示:f(x+2kπ)=f(x).3.(1)一般地,設函數f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數T,使得對每一個x∈D,都有x+T∈D,且

f(x+T)=f(x),那么函數f(x)就叫做周期函數,非零常數T叫做這個函數的周期.(2)如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數叫做f(x)的最小正周期.二、正弦函數、余弦函數的周期性1.函數y=sinx和y=cosx是周期函數嗎?若是,請給出證明;若不是,請說明理由.提示:是.∵sin(x+2π)=sin

x,cos(x+2π)=cos

x,∴y=sin

x和y=cos

x都是周期函數,且2π是它們的一個周期.2.函數f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數,且A≠0,ω>0)是周期函數嗎?若是,請給出證明;若不是,請說明理由.3.正弦函數是周期函數,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.類似地,余弦函數也是周期函數,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.答案:π三、函數的奇偶性1.根據誘導公式三可知,對于x∈R,sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,這說明正弦函數、余弦函數具備怎樣的性質?提示:奇偶性,正弦函數y=sin

x是奇函數,余弦函數y=cos

x是偶函數.3.正弦函數是奇函數,余弦函數是偶函數.4.函數

的奇偶性為(

)A.奇函數

B.偶函數C.既是奇函數又是偶函數

D.非奇非偶函數答案:A【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.(1)因為函數f(x)=x2滿足f(-3+6)=f(-3),所以f(x)=x2是以6為周期的周期函數.(×)(2)正弦函數y=sinx(x∈R)的圖象關于y軸對稱.(×)(3)任何周期函數都有最小正周期.(×)(4)正弦函數y=sinx(x∈R)的圖象關于原點成中心對稱.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

求三角函數的周期(3)畫出函數y=|cos

x|的圖象如圖所示,

觀察圖象可知此函數的最小正周期是π.1.在本例(3)中,把函數y=|cosx|(x∈R)改為y=|sinx|(x∈R),則最小正周期為多少?解:畫出函數y=|sin

x|的圖象如圖所示,觀察圖象可知該函數的最小正周期是π.2.在本例(3)中,將函數y=|cosx|(x∈R)改為y=|sinx-2|(x∈R),則最小正周期是多少?解:因為-1≤sin

x≤1,所以y=|sin

x-2|=2-sin

x.畫出y=2-sin

x的圖象(圖略)可知最小正周期是2π.反思感悟求三角函數周期的方法:(1)定義法,即利用周期函數的定義求解.(2)公式法,形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常數,A≠0,ω≠0)的函數的周期為(3)觀察法,即通過觀察函數的圖象求其周期.【變式訓練1】

(多選題)下列函數是以π為周期的函數是(

)答案:ABC探究二

判斷三角函數的奇偶性分析:(1)先化簡,再判斷;(2)先求定義域,再判斷.反思感悟判斷函數的奇偶性的關鍵點:(1)看函數的定義域是否關于原點對稱;(2)看f(x)與f(-x)的關系.判斷三角函數的奇偶性時,可根據誘導公式先將函數式化簡再判斷.【變式訓練2】

(1)函數

(

)A.是奇函數

B.是偶函數C.是非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數(2)已知a∈R,函數f(x)=sinx-|a|(x∈R)為奇函數,則a=

.

所以f(x)是偶函數,故選B.(2)函數定義域為R.∵f(x)為奇函數,∴f(-x)=sin(-x)-|a|=-sin

x-|a|=-f(x)=-sin

x+|a|.∴|a|=0.∴a=0.答案:(1)B

(2)0探究三

三角函數周期性與奇偶性的綜合反思感悟解決三角函數的奇偶性與周期性綜合問題的方法:利用函數的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函數值轉化為x的函數值.利用奇偶性,可以找到-x與x的函數值的關系,從而解決求值問題.易

錯

辨

析三角函數變形不等價導致判斷奇偶性錯誤所以f(-x)=f(x).所以f(x)是偶函數.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:忽視函數的定義域導致錯解.防范措施判斷函數的奇偶性,要按函數奇偶性的定義加以判斷,一般不要把函數式化簡,若要化簡,則應注意化簡前后的等價性.如本例,若直接將函數式化為y=cos

x,則易出現判斷該函數為偶函數的錯誤.正解:由1-si