教材高考；審題答題(一)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)熱點(diǎn)問(wèn)題

I三年真題考情I

核心熱點(diǎn)真題印證核心素養(yǎng)

2017-11,21;2018-I,21;2017.III,數(shù)學(xué)運(yùn)算、

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

21;2018-11,21邏輯推理

數(shù)學(xué)運(yùn)算、

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2018.11,21(2)；2018?江蘇，19

直觀想象

2017.III,21;2017-11,21;2016-11,數(shù)學(xué)運(yùn)算、

導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用

20;2018-I,21邏輯推理

I審題答題指弓11

教材鏈接高考——導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用

［教材探究］(引自人教A版選修1—1P99習(xí)題3.3B組(3)(4)兩個(gè)經(jīng)典不等式)

利用函數(shù)的單調(diào)性證明下列不等式，并通過(guò)函數(shù)圖像直觀驗(yàn)證.

(3片>1+尤"0)；

(4)lnx<x<eA(x>0).

［試題評(píng)析］1.問(wèn)題源于求曲線y=e》在(0,1)處的切線及曲線y=lnx在(1,0)處

的切線，通過(guò)觀察函數(shù)圖像間的位置關(guān)系可得到以上結(jié)論，可構(gòu)造函數(shù)八%)=砂

-%—1與g(x)=x—Inx—1對(duì)以上結(jié)論進(jìn)行證明.

2.兩題從本質(zhì)上看是一致的，第(4)題可以看作第(3)題的推論.在第(3)題中，用“Inx”

替換“x”，立亥“得至Ux>l+lnx(x>0且xWl),進(jìn)而得到一組重要的不等式鏈：e、>x

+l>x-l>lnx(x>0且xW1).

3.利用函數(shù)的圖像(如圖)，不難驗(yàn)證上述不等式鏈成立.

【教材拓展】試證明：e“一lnx>2.

證明法一設(shè)fix)=eA—Inx(x>0),

則/(%)=ex-p令0(x)=砂一

則“(%)=-+±>0在(0,+8)恒成立,

所以夕(X)在(0,+8)單調(diào)遞增，

即/(%)=厘一;在(0，+8)上是增函數(shù)，

X/(l)=e-l>0,/出=&—2<0,

.\f(x)=ex—：在1)內(nèi)有唯一的零點(diǎn).

不妨設(shè)/(xo)=O,則0叼=；,從而xo=ln；=—Inxo,

xoxo

所以當(dāng)x>xo時(shí)，/(x)>0；當(dāng)O<x<xo時(shí)，/(x)<0.

:

.,.?=e'-lnx在x=x0處有極小值，也是最小值.

.,./(x)min=7(xo)=e-^o—InX0=^+xo>2,煩?'，

故eA—Inx>2.

法二注意到e*>l+x(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào))，

x—iNlnx(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào))，

e%+%—1>1+%+lnx,故爐一111%>2.

探究提高1.法一中關(guān)鍵有三點(diǎn)：(1)利用零點(diǎn)存在定理，判定極小值點(diǎn)

1);(2)確定e*o=5，xo=—lnxo的關(guān)系；(3)基本不等式的利用.

2.法二聯(lián)想經(jīng)典教材習(xí)題結(jié)論，降低思維難度，優(yōu)化思維過(guò)程，簡(jiǎn)潔方便.

【鏈接高考】(2017?全國(guó)HI卷)已知函數(shù)八x)=lnx+af+(2a+l)x.

(1)討論人x)的單調(diào)性；

3

(2)當(dāng)a<0時(shí)，證明人x)W一心一2.

⑴解兀1)的定義域?yàn)?0,+8),

n11(2ox+l)(x+1)

且f(x)=-JC+2ax+2。+1=X

若aNO時(shí)，則當(dāng)xG(0,+8)時(shí)，/Q)>O,

故人x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

若a<0時(shí)，則當(dāng)x?(0,一J)時(shí)，/(沙>°；

當(dāng)x4一/，+8)時(shí)，/(X)<o.

故人x)在(0,一/)上單調(diào)遞增，在(一支，+8)上單調(diào)遞減.

⑵證明由(1)知，當(dāng)。<0時(shí)，五%)在％=—表處取得最大值，最大值為1一力=

d—1，

12aJ4〃

所以於)W一12等價(jià)于ln［-^)-l-￡<一12,

即心力+豈+iwo,

設(shè)g(x)=lnx—x+1,貝UgXx)=；—L

Ji

當(dāng)xG(0,1)時(shí)，g,(x)>0；%e(l,+8)時(shí)，g，(x)<0.

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

故當(dāng)x=l時(shí)，g(x)取得最大值，最大值為g(l)=0.

所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)W0,

從而當(dāng)。<0時(shí)，In1一三j+￡+lW0,

3

故於)W-口-2.

教你如何審題—利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

【例題】(2018?全國(guó)II卷)已知函數(shù)/(乃=——ax2.

(1)若。=1,證明：當(dāng)xNO時(shí)，1x)Nl；

(2)若火功在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)，求。

［審題路線］

求導(dǎo)/?)=e*-2x分析需再次求導(dǎo)推斷

突破/(％)的符號(hào)

解

決

求導(dǎo)外)望葉遜)

函Jy

數(shù)

(

的

零

點(diǎn)

［自主解答］

⑴證明當(dāng)。=1時(shí)，火x)=e、*—'%2,則/(x)=e，,—2x.

令g(x)=/(x)，則g'(x)=eJ2.

令g，(x)=O,解得x=ln2.

當(dāng)xC(O,In2)時(shí)，g，(x)<0；

當(dāng)x@(ln2,+8)時(shí),g，(x)>0.

.?.當(dāng)x20時(shí)，g(x)^g(ln2)=2-21n2>0,

...於)在［0,+8)上單調(diào)遞增，.?.於/黃o)=i.

(2)解若人x)在(0,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程e*—af=0在(0,+8)上只有

一個(gè)解，

e%e%

由。=尹，令夕(x)=9，無(wú)e(o,+°°),

e'(%—2)

0'(尤)=---^3-------，令夕口)=0,解得x=2.

當(dāng)x@(0,2)時(shí)，d(x)<0；

當(dāng)尤￡(2,+8)時(shí),“(%)>0.

.e2.e2

??9(X)min一0(2)—q.??a—I

探究提高1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)主要考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算

核心素養(yǎng).考查的主要形式：(1)求函數(shù)的零點(diǎn)、圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)根據(jù)函數(shù)的

零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值或范圍.

2.導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)常用方法：(1)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，利用單調(diào)性、極

值、函數(shù)零點(diǎn)存在定理來(lái)求解零點(diǎn)問(wèn)題；(2)將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，

從而同解變形為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，運(yùn)用函數(shù)的圖像性質(zhì)求解.

【嘗試訓(xùn)練】已知三次函數(shù)/(為二始+加?+?+或mb,cGR)過(guò)點(diǎn)(3,0),且函

數(shù)7(x)在點(diǎn)(0,/0))處的切線恰好是直線y=0.

⑴求函數(shù)人x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=9x+m一1,若函數(shù)y=/(x)—g(x)在區(qū)間［―2,1］上有兩個(gè)零點(diǎn)，

求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解(l*(x)=3f+2加;+c,由已知條件得，

優(yōu)3)=27+90+3c+d=0,

(0)=c=0，解得b=-3,c=d=O,

〔八0)=1=0,

所以,/(%)=%3—3x2.

(2)由已知條件得，Hx)—gOOu%3—?3/一9%一m+1在［-2,1］上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),

可轉(zhuǎn)化為y=m與^=x3—3X2—9x+l的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

令/?(x)=%3—3X2—9x+l>

/?,(-^)=3-^2—6%—9,—2,1］,

令勿(x)>0得一2Wx<—1；令h'(x)<0得一1<xW1.

所以〃(x)max=〃(一l)=6,

又五-2)=—1,次1)=—10,所以/G)min=-10.

數(shù)形結(jié)合，可知要使丁=機(jī)與y=三一3f—9x+l的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，貝U

—1Wm<6.

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是［—1,6).

滿分答題示范—利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

【例題】(12分)(2015?全國(guó)II卷)已知函數(shù)火x)=lnx+o(l—x).

(1)討論Hx)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)兀0有最大值，且最大值大于2a—2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［規(guī)范解答］

(1)/(力的定義域?yàn)?0,+8),/(7)=」a……rtu

X

若a<0,則/'(力>0,所以/(z)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

若a>o,則當(dāng)2、e(o時(shí)，/'(2、)〉0；

當(dāng)工e+8)時(shí),r(1)Vo.

1

所以/Or)在(0,上單調(diào)遞增，在+8匕單調(diào)遞減.

...............................................4'團(tuán)

綜上.知當(dāng)a&0時(shí),/(z)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí),/(z)在(0,，)匕單調(diào)遞增，在什，+8)上單

調(diào)遞減.............................................6'⑶

(2)由(1)知，當(dāng)a&0時(shí)，/(z)在(0,+8)上無(wú)最大值;

當(dāng)a>0時(shí),/(z)在1='處取得最大值，

a

最大值為=ln9+a(1j——Ina-\~a—1.

因此—2等價(jià)于Ina+a—K0......9Z|-41

令g(a)=Ina+a—1,則g(a)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

g⑴=0.

于是，當(dāng)0Va<l時(shí),g(a)V0；當(dāng)a>l時(shí)，g(a)>0.

............................................11'回

因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1)...............12,⑹

［高考狀元滿分心得］

?得步驟分：抓住得分點(diǎn)的步驟，“步步為贏”、求得滿分.如第(1)問(wèn)中求定義

域、求導(dǎo)，第(1)問(wèn)中表述結(jié)論，第⑵問(wèn)中表述結(jié)論.

?得關(guān)鍵分：解題過(guò)程不可忽視關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無(wú)則沒(méi)分如第⑵問(wèn)中，對(duì)g(a)

在(0,+8)上單調(diào)性的判斷及得到條件g(i)=o.

?得計(jì)算分：解題過(guò)程中計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證.如第(1)問(wèn)中求導(dǎo)準(zhǔn)確；

第(2)問(wèn)中，正確計(jì)算出不小的值.

［構(gòu)建模板］

年三宴)……求定義域

年乏)...求導(dǎo)y=f"

I

超)……求y=/(2)的單調(diào)性

I

...討論并得到y(tǒng)=/(H)的最值

I

建殛……轉(zhuǎn)化條件，得到關(guān)于。的不等式

I

……巧設(shè)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到a的范圍

I

……檢驗(yàn)反思，規(guī)范步驟,明確結(jié)論

【規(guī)范訓(xùn)練】(2018?全國(guó)I卷)已知函數(shù)火%)=。——Inx—1.

(1)設(shè)x=2是五x)的極值點(diǎn)，求a,并求人x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)時(shí)，>)^0.

(1)解人勸的定義域?yàn)?0,+8),f(x)=ae-\..

由題設(shè)知，/(2)=0,所以。=止.

111

從而人功=委對(duì)一Inx—1,f(x)=^2e'--.

當(dāng)0<%<2時(shí)，/(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，/(x)>0.

所以人x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明當(dāng)。'I時(shí)，In%—l(x>0).

e*e'1

設(shè)則f

g(x)=CT-lnx—l(x>0),CgJi(x)=---(x>0).

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0.所以尤=1是g(x)的最小值點(diǎn).

故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)2g(1)=0.

因此，當(dāng)時(shí)，於)三0.

I熱點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練高效訓(xùn)練，提升麓誼

1.(2019?渭南檢測(cè))已知函數(shù)火x)=ln%—af+x有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。

的取值范圍.

解令g(x)=lnx,h(x)=a^—x,

將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的問(wèn)題.

當(dāng)aWO時(shí)，g(x)和/z(x)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意;

x~\~Inx

當(dāng)〃>0時(shí)，由In%—〃/+%=0,d導(dǎo)a=^2.

x~\~Inx

令人x)='F-,則r(x)的定義域?yàn)?0,+8).

「+—(lnx+無(wú))-2x1_21nx

則/(%)=---——彳----------=—m一，易知廠'(1)=0,

當(dāng)0<%<1時(shí)，/(x)>0,?x)是增函數(shù)，

x+Inx

當(dāng)Q1時(shí)，/(%)<0,?%)是減函數(shù)，且f>0,

r(x)max=r(l)=b所以0<a<l.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1).

2.已知函數(shù)火jOnZR+af+bx+S在尤=—1和x=2處取得極值.

(1)求I/(x)的表達(dá)式和極值；

(2)若兀0在區(qū)間［加，冽+4］上是單調(diào)函數(shù)，試求機(jī)的取值范圍.

解(1)依題意知了(jOnGf+Zax+buO的兩根為一1和2,

-1=-l+2,

a——3,

???〈

后bTX2,b=~12.

=2始一3f—12尤+3,

：.f(x)=6f—6x-12=6(x+l)(x-2),

令/(x)>0,得x<—1或x>2；令了(尤)<0,得一l<x<2,

；?函數(shù)段)在(一8,—1］和［2,+8)上單調(diào)遞增;在(一1,2)上單調(diào)遞減.

二猶%)極大值=犬—1)=10,兀乃極小值=/(2)=-17.

(2)由(1)知,0)在(—8,—1］和［2,+8)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(―1,2)上單調(diào)遞

減.

mN—1,

.,.根+4W-1或加三2.

〔根+4W2

:.mW一5或m三2,

則機(jī)的取值范圍是(一8,-5］U［2,+8).

3.(2019?宜春調(diào)研)已知函數(shù)/OOugf+XleX,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a?R.

⑴當(dāng)。>0時(shí)，解不等式於)W0；

(2)當(dāng)。=0時(shí)，求整數(shù)/的所有值，使方程五x)=x+2在［/,/+1］上有解.

解(1)因?yàn)閑r>0,(ax2+x)e*W0,所以af+xWO.

又因?yàn)椤?gt;0,所以不等式化為xQ+0wO.

所以不等式加0三0的解集為［―%0.

(2)當(dāng)a=0時(shí)，方程即為泥工=l+2,

由于e5O,所以x=0不是方程的解，

一-22

所以原方程等價(jià)于e*—:一1=0.令/z(x)=ex---1,

因?yàn)椤?%)=^+1>0對(duì)于XG(—8,0)U(0,+8)恒成立，

所以/z(x)在(一8,0)和(0,十8)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，

又//(l)=e—3<0,/i(2)=e2—2>0,h(—3)=e3—j<0,

7i(—2)=e2>0,

所以方程於)=x+2有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且分別在區(qū)間［1,2］和［—3,—2］上，

所以整數(shù)/的所有值為{—3,1}.

X~\~CL

4.(2019?合肥―中質(zhì)檢)已知函數(shù)於)=h.

(1)若加0在區(qū)間(一8,2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若a=Q,xo<L設(shè)直線y=g(x)為函數(shù)40的圖像在x=xo處的切線，求證：

Hx)Wg(x).

,x—(1—a)

⑴解易知〃x)=-----G----，

由已知得了(x)》0對(duì)x?(—8,2)恒成立，

故xWl—a對(duì)xG(—8,2)恒成立，

1—aN2,...aW—1.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一8,-1］.

Y

(2)證明當(dāng)。=0時(shí)，則於)=#.

函數(shù)_/(x)的圖像在龍=我處的切線方程為y=g(x)=f(xo)(x~xo)+/xo).

令A(yù)(x)=/x)—g(x)

=_/(x)—f(xo)(x—xo)一五陽(yáng)))，x@R，

r1—X1~X0

則rh'(x)=/(x)-f(xo)=~r-—^-

(1-x)e'o-(1-xo)e*

—eA'+-ro

設(shè)0(x)=(l—x)e/o—(1—xo)-,xGR,

則e'(x)=-'exo—(l—陽(yáng)))8，

*.*xo<l>9'(x)<0,

.,.0(x)在R上單調(diào)遞減，而e(xo)=O,

.,.當(dāng)x<xo時(shí)，9(x)>。，當(dāng)x>xo時(shí)，9(x)<0,

.,.當(dāng)x<xo時(shí)，h'(x)>0,當(dāng)x>xo時(shí)，h'(x)<0,

在區(qū)間(一8,xo)上為增函數(shù)，在區(qū)間(X0，+8)上為減函數(shù)，.時(shí)，

〃(x)W/i(xo)=O,

???Hx)Wg(x).

5.已知函數(shù)0nx—q,g(x)=x2—x.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，若g(x)勺(x)在區(qū)間(1,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

(2)是否存在常數(shù)上使得函數(shù)人x)和g(x)在區(qū)間(0,+8)上具有相同的單調(diào)性?

若存在，求出左的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解(1)當(dāng)a=0時(shí)，由g(x)勺(x)得Mnx<x,

Y

因?yàn)閄>1,所以lnx>0,所以力在(1,+8)上恒成立.

人工eIn%—1

令心尸部(x>l),則《)=(1”)2,

由t'(x)=Q得x=e,

當(dāng)l<x<e時(shí),f(x)<0,7(x)在(1,e)上為減函數(shù),

當(dāng)x>e時(shí)，?x)>0,?)在(e,+8)上為增函數(shù).

所以f(x)min=/(e)=e.所以實(shí)數(shù)上的取值范圍為(一8,e).

(2)g(x)=f—x在(0,上單調(diào)遞減，在g,+8)上單調(diào)遞增.

2x1~k

函數(shù)段)=—-a,/(x)=，

當(dāng)上WO時(shí)，/(x)>