考研數學三（多元函數微分學）模擬試卷1（共4套）（共136題）考研數學三（多元函數微分學）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設u=f(x+y，xz)有二階連續(xù)的偏導數，則A、f′2+xf"11+(x+z)f"12+xzf"22B、xf"12+xzf"22C、f′2+xf"12+xzf"22D、xzy"22標準答案：C知識點解析：選(C)．2、函數z=f(x，y)在點(x0，y0)可偏導是函數z=f(x，y)在點(x0，y0)連續(xù)的()．A、充分條件B、必要條件C、充分必要條件D、非充分非必要條件標準答案：D知識點解析：如在點(0，0)處可偏導，但不連續(xù)；又如在(0，0)處連續(xù)，但對x不可偏導．選(D)．3、設可微函數f(x，y)在點(x0，y0)處取得極小值，則下列結論正確的是()．A、f(x0，y)在y=y0處導數為零B、f(x0，y)在y=y0處導數大于零C、f(x0，y)在y=y0處導數小于零D、f(x0，y)在y=y0處導數不存在標準答案：A知識點解析：可微函數f(x，y)在點(x0，y0)處取得極小值，則有f′x(x0，y0)=0，f′0(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0處導數為零，選(A)．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)4、設f(x，y)滿足f(x，0)=1，f′y(x，0)=x，則f(x，y)=________．標準答案：由得因為f′y(x，0)=x，所以φ1(x)=x，即再由得f(x，y)=y1+xy+φ1(x)，因為f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．知識點解析：暫無解析5、設u=f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數，則標準答案：x+y+z+xyz=0兩邊關于x求偏導得將x=0，y=1，z=一1代入得知識點解析：暫無解析6、設其中f(u)可導，則標準答案：知識點解析：暫無解析7、設y=y(x，z)是由方程ex+y+z=x2+y2+z2確定的隱函數，則標準答案：ex+y+z=x2+y2+z2兩邊對z求偏導得從而知識點解析：暫無解析8、設z=f(x，y)是由確定的函數，則標準答案：將代入e2yz+x+y2+z=中得z=0，兩邊求微分得2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，將z=0代入得知識點解析：暫無解析9、設y=y(x)由確定，則標準答案：當x=0時，y=1，兩邊對x求導，得將x=0，y=1代入得知識點解析：暫無解析10、設z=z(x，y)由z+ez=xy2確定，則dz=___________．標準答案：方法一z+ez=xy2兩邊對x求偏導得解得z+ez=xy2兩邊對y求偏導得解得則方法二z+ez=xy2兩邊求微分得d(z+ez)=d(xy2)，即dz+ezdz=y2dx+2xydy，解得知識點解析：暫無解析11、設z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f連續(xù)可偏導，則標準答案：z=f(x+y，y+z，z+x)兩邊求x求偏導得解得知識點解析：暫無解析12、設其中f可導，則標準答案：則知識點解析：暫無解析13、由方程確定的隱函數z=z(x，y)在點(1，0，一1)處的微分為dz=__________．標準答案：兩邊求微分得把(1，0，一1)代入上式得知識點解析：暫無解析14、設f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數，則f′x(0，1，一1)=__________．標準答案：x+y+z+xyz=0兩邊對x求偏導得將x=0，y=1，z=一1代入得解得f′x(0，1，一1)=1．知識點解析：暫無解析15、設f(x，y)可微，且f′1(-1,3)=-2，f′2(-1，3)=1，令則dz|(1,3)=________．標準答案：則則dz|(1,3)=一7dx+3dy．知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)16、設有一階連續(xù)的偏導數，求標準答案：知識點解析：暫無解析17、設函數z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(x2)所確定，其中f是可微函數，計算并化成最簡形式．標準答案：x2+y2+z2=xyf(z2)兩邊對x求偏導得解得x2+y2+z2=xyf(z2)兩邊對y求偏導得解得故知識點解析：暫無解析18、設f(t)二階可導，g(u，v)二階連續(xù)可偏導，且z=f(2x—y)+g(x，3y)，求標準答案：知識點解析：暫無解析19、設z=f(exsiny，x2+y2)，且f(u，v)二階連續(xù)可偏導，求標準答案：知識點解析：暫無解析20、設z=f(x2+y2，xy，x)，其中f(u，v，w)二階連續(xù)可偏導，求標準答案：知識點解析：暫無解析21、設z=z(x，y)由x—yz+yez-x-y=0確定，求及dz．標準答案：方程x—yz+yez-y-x=0兩邊對x求偏導得解得方程x—yz+yez-x-y=0兩邊對y求偏導得解得知識點解析：暫無解析22、設z=f[x—y+g(x—y—z)]，其中f，g可微，求標準答案：等式z=f(x—y+g(x—y—z))兩邊對x求偏導得解得等式z=f(x—y+g(x—y—z))兩邊對y求偏導得解得知識點解析：暫無解析23、設u=f(x)，其中z是由z=y+xφ(z)確定的x，y的函數，其中f(z)與φ(z)為可微函數．證明：標準答案：兩邊對x求偏導得解得則兩邊對y求偏導得解得則所以知識點解析：暫無解析24、設xy=xf(z)+yg(z)，且xf′(z)+yg′(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函數．證明：標準答案：xy=xf(z)+yg(z)兩邊分別對x，y求偏導，得解得于是知識點解析：暫無解析25、設z=f(x，y)由方程z—y—x+xez-y-x=0確定，求dz．標準答案：對z—y—x+xz-y=x=0兩邊求微分，得dz—dy—dx+ez-y-xdx+xez-y-x(dz—dy—dx)=0，解得知識點解析：暫無解析26、設u=f(x．y，z)有連續(xù)的偏導數，y=y(x)，z=z(x)分別由方程exy—y=0與ez一xz=0確定，求標準答案：方程exy一y=0兩邊對x求導得解得方程ez一xz=0兩邊對x求導得解得則知識點解析：暫無解析27、設y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所確定的函數，其中f和F分別具有一階連續(xù)導數和一階連續(xù)偏導數，求標準答案：z=xf(x+y)及F(x，y，z)=0兩邊對x求導數，得解得知識點解析：暫無解析28、(1)設y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0確定的x，y的函數，且f(x，t)，G(x，y，t)一階連續(xù)可偏導，求(2)設z=z(x，y)由方程確定，求標準答案：(1)將y=f(x，t)與G(x，y，t)=0兩邊對x求導得解得(2)當x=0，y=0時，z=1．兩邊分別對x和y求偏導得兩邊對y求偏導得故知識點解析：暫無解析29、設且F可微，證明：標準答案：兩邊對x求偏導得解得兩邊對y求偏導得解得于是知識點解析：暫無解析30、設變換可把方程化簡為求常數a．標準答案：將u，v作為中間變量，則函數關系為z=f(u，v)，則有將上述式子代入方程根據題意得解得a=3．知識點解析：暫無解析31、設z=f[x+φ(x—y)，y]，其中f二階連續(xù)可偏導，φ二階可導，求標準答案：z=f[x+φ(x—y)，y]兩邊對y求偏導得知識點解析：暫無解析32、設z=f(x，y)由f(x+y，x—y)=x2一y2一xy確定，求dz．標準答案：令則代入得知識點解析：暫無解析33、(1)求二元函數f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極值．(2)求函數f(x，y)=(x2+2x+y)ey的極值．-標準答案：(1)二元函數f(x，y)的定義域為D={(x，y)|y＞0}，因為AC—B2＞0且A＞0，所以為f(x，y)的極小值點，極小值為(2)由得由AC—B2=2＞0及A=2＞0得(x，y)=(一1，0)為f(x，y)的極小值點，極小值為f(-1，0)=一1．知識點解析：暫無解析34、試求z=f(x，y)=x3+y3一3xy在矩形閉域D={(x，y)|0≤x≤2，一1≤y≤2}上的最大值與最小值．標準答案：當(x，y)在區(qū)域D內時，在L1：y=一1(0≤x≤2)上，z=x3+3x一1，因為z′=3x2+3>0，所以最小值為z(0)=一l，最大值為z(2)=13；在L2：y=2(0≤x≤2)上，z=x3一6x+8，由z′=3x2一6=0得z(2)=4；在L3：x=0(-1≤y≤2)上，z=y3，由z′=3y2=0得y=0，z(一1)=一1，z(0)=0，z(2)=8；在L4：x=2(-1≤y≤2)上，z=y3一6y+8，由z′=3y2一6=0得z(2)=4.故z=x3+y3一3xy在D上的最小值為一1，最大值為13．知識點解析：暫無解析35、平面曲線L：繞x軸旋轉所得曲面為S，求曲面S的內接長方體的最大體積．標準答案：曲線L：繞x軸旋轉一周所得的曲面為S：根據對稱性，設內接長方體在第一卦限的頂點坐標為M(x，y，z)，則體積為V=8xyz．令由由實際問題的特性及點的唯一性，當時，內接長方體體積最大，最大體積為知識點解析：暫無解析36、設某工廠生產甲乙兩種產品，產量分別為x件和y件，利潤函數為L(x，y)=6x—x2+16y一4y2一2(萬元)．已知生產這兩種產品時，每件產品都要消耗原料2000kg，現有該原料12000kg，問兩種產品各生產多少時總利潤最大?最大利潤是多少?標準答案：根據題意，即求函數L(x，y)=6x—x2+16y一4y2～2在0＜x+y≤6下的最大值．L(x，y)的唯一駐點為(3，2)，令F(x，y，λ)=6x—x2+16y一4y2一2+λ(x+y一6)，由根據題意，x，y只能取正整數，故(x，y)的可能取值為L(4，2)=22，L(3，3)=19，L(3，2)=23，故當x=3，y=2時利潤最大，最大利潤為23萬元．知識點解析：暫無解析考研數學三（多元函數微分學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)1、函數f(x，y)=不連續(xù)的點集為()A、y軸上的所有點B、x=0，y≥0的點集C、空集D、x=0，y≤0的點集標準答案：C知識點解析：當x≠0時，f(x，y)為二元連續(xù)函數，而當所以(0，y0)為f(x，y)的連續(xù)點，故此函數的不連續(xù)點的集合為空集．2、考慮二元函數f(x，y)的下面4條性質：①f(x，y)在點(x0，y0)處連續(xù)；②f(x，y)在點(x0，y0)處的兩個偏導數連續(xù)；③f(x，y)在點(x0，y0)處可微；④f(x，y)在點(x0，y0)處的兩個偏導數存在．若用“”表示可由性質P推出性質Q，則有()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：如圖1．4—1所示，本題考查4條性質的因果關系．3、函數z=f(x，y)=在點(0，0)處()A、連續(xù)，但偏導數不存在B、偏導數存在，但不可微C、可微D、偏導數存在且連續(xù)標準答案：B知識點解析：從討論函數是否有偏導數和是否可微入手．由于所以f(0，0)=0，同理fy’(0，0)=0．令α=△z—fx’(0，0)△x一fy’(0，0)△y=當(△x，△y)沿y=x趨于點(0，0)時，，即α不是ρ的高階無窮小，因此f(x，y)在點(0，0)處不可微，故選(B)．4、函數z=x3+y3一3x2-3y2的極小值點是()A、(0，0)B、(2，2)C、(0，2)D、(2，0)標準答案：B知識點解析：由=3x2—6x=0和=3y2—6y=0，可得到4個駐點(0，0)，(2，2)，(0，2)和(2，0)．又在(0，2)點和(2，0)點，均有AC—B2＜0，因而這兩個點不是極值點；在(0，0)點，AC—B2=36＞0，且A=一6＜0，所以(0，0)點是極大值點；在(2，2)點，AC—B2=36＞0，且A=6＞0，所以(2，2)點是極小值點，故選(B)．5、函數f(x，y)=A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在標準答案：C知識點解析：當xy≠0時，≤|x|+|y|，當(x，y)→(0，0)時，由夾逼準則，可得極限值為0．6、設函數則點(0，0)是函數z的()A、極小值點且是最小值點B、極大值點且是最大值點C、極小值點但非最小值點D、極大值點但非最大值點標準答案：B知識點解析：由極值點的定義可知．7、設f(x，y)=則fx’(2，1)=A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：8、zx’(x0，y0)=0和zy’(x0，y0)=0是函數z=z(x，y)在點(x0，y0)處取得極值的()A、必要條件但非充分條件B、充分條件但非必要條件C、充要條件D、既非必要也非充分條件標準答案：D知識點解析：若z=z(x，y)=，則點(0，0)為其極小值點，但zx’(0，0)，zy’(0，0)均不存在．9、函數f(x，y)=在點(0，0)處()A、連續(xù)，偏導數存在B、連續(xù)，偏導數不存在C、不連續(xù)，偏導數存在D、不連續(xù)，偏導數不存在標準答案：C知識點解析：取y=kx，可得f(x，y)在(0，0)處不連續(xù)．由偏導數定義，可得f(x，y)在(0，0)處的偏導數存在．10、極限A、等于0B、不存在C、等于D、存在，但不等于也不等于0標準答案：B知識點解析：當取y=kx時，與k有關，故原極限不存在．11、A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：將x視為常數，屬基本計算．12、極限A、等于0B、不存在C、等于D、存在且不等于0及標準答案：B知識點解析：取y=x，則故原極限不存在．13、設u=f(r)，其中,f(r)具有二階連續(xù)導數，則A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：屬基本計算，考研計算中常考這個表達式．14、利用變量代換u=x，v=．可將方程化成新方程()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由復合函數微分法于是又u=x，故15、設函數u=u(x，y)滿足及u(x，2x)=x，u1’(x，2x)=x2，u有二階連續(xù)偏導數，則u11"(x，2x)=()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：等式u(x，2x)=x兩邊對x求導得u1’+2u2’=1，兩邊再對x求導得u11"+2u12"+2u21"+4u22"=0，①等式u1’(x，2x)=x2兩邊對x求導得u11"+2u12"=2x，②將②式及u12"=u21"，u11"=u22"代入①式中得u11"(x，2x)=16、若函數其中f是可微函數，且=G(x，y)u，則函數G(x，y)=()A、x+yB、x—yC、x2一y2D、(x+y)2標準答案：B知識點解析：設則u=xyf(t)，于是于是=(x—y)xyf(t)=(x—y)u，即G(x，y)=x—y．17、設u(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導數，且則u(x，y)的()A、最大值點和最小值點必定都在D的內部B、最大值點和最小值點必定都在D的邊界上C、最大值點在D的內部，最小值點在D的邊界上D、最小值點在D的內部，最大值點在D的邊界上標準答案：B知識點解析：令由于B2一AC＞0，函數u(x，y)不存在無條件極值，所以D的內部沒有極值，故最大值與最小值都不會在D的內部出現．但是u(x，y)連續(xù)，所以，在平面有界閉區(qū)域D上必有最大值與最小值，故最大值點和最小值點必定都在D的邊界上．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)18、函數f(x，y)=ln(x2+y2一1)的連續(xù)區(qū)域是________．標準答案：{(x，y)|x2+y2＞1}知識點解析：一切多元初等函數在其有定義的區(qū)域內是連續(xù)的．19、設標準答案：0知識點解析：本題屬于基本計算，考研中多次考過這種表達式．20、若函數z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c(a，b，c均為常數)在點(一2，3)處取得極小值一3，則abc=______．標準答案：30知識點解析：由極值的必要條件知在點(一2，3)處，zx’=0，zy’=0，又z(-2，3)=一3，從而可求出a，b，c分別為一1，一6，5，故abc=30．21、設u=x4+y4一4x2y2，則標準答案：12x2一8y2知識點解析：因=4x3一8xy2，故=12x2一8y2．22、設函數z=z(x，y)由方程sinx+2y—z=ez所確定，則標準答案：知識點解析：方程兩端對x求偏導數得23、函數的定義域為________．標準答案：{(x，y，z)|，且z≠0)知識點解析：由一1≤≤1，且z≠0即得．24、設f(u)可導，P(x，y)=其中xy≠0，則標準答案：一2知識點解析：25、標準答案：一sinθ知識點解析：由x=rcosθ，y=rsinθ，得u=cosθ,=一sinθ.26、設f(x，y)=則fx’=r(0，1)=_______．標準答案：1知識點解析：27、設z=esinxy，則dz=_______．標準答案：esinxycosxy(ydx+xdy)知識點解析：zx’=esinxycosxy.y，zy’=esinxycosxy.x，則dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．三、解答題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)28、設f(x)可導，F(x，y)=一∞＜x＜+∞，y＞0．求：標準答案：知識點解析：暫無解析29、已知其中a＞0，a≠1，求dz．標準答案：知識點解析：暫無解析30、設，其中f，g均可微，計算標準答案：設z=f(u，v)+g(ω)u=xy，則知識點解析：暫無解析31、設z=f(2x—y)+g(x，xy)，其中函數f(t)二階可導，g(u，v)具有二階連續(xù)偏導數，求標準答案：=2f’+g1’+yg2’，則=一2f"+xg12"+xyg22"+g2’．知識點解析：暫無解析32、設u=f(x，y，z)有連續(xù)偏導數，y=y(x)和z=z(x)分別由方程exy一y=0和ez一xz=0所確定，求標準答案：方程exy—y=0兩邊關于x求導，有方程ez一xz=0兩邊關于x求導，有于是知識點解析：暫無解析33、廠家生產的一種產品同時在兩個市場銷售，售價分別為p1和p2，銷售量分別為q1和q2，需求函數分別為q1=24—0．2p1和q2=10—0．05p2，總成本函數為C=35+40(q1+q2)．試問：廠家如何確定兩個市場的售價，能使其獲得的總利潤最大?最大總利潤為多少?標準答案：總收入函數為R=p1q1+p2q2=24p1—0．2p12+10p2—0．05p22．總利潤函數為L=R—C=32p1—0．2p12一0．05p22+12p2一1395．由極值的必要條件，得方程組解此方程組得p1=80，p2=120．由問題的實際含義可知，當p1=80，p2=120時，廠家所獲得的總利潤最大，其最大總利潤為知識點解析：暫無解析34、在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函數f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得結果證明不等式(a＞0，b＞0，c＞0)．標準答案：作拉格朗日函數L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x2+y2+z2一5R2)，并令由前3式得x2=y2=，代入第4式得可疑點，因xyz3在有界閉集x2+y2+z2=5R2(x≥0，y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f(x，y，z)=ln(xyz3)在x2+y2+z2=5R2上也有最大值，而是唯一可疑點，故最大值為又lnx+lny+3lnz≤故x2y2z6≤27R10．令x2=a，y2=b，z2=c，又知x2+y2+z2=5R2，則abc3≤(a＞0，b＞0，c＞0)．知識點解析：暫無解析考研數學三（多元函數微分學）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設則f(x，y)在(0，0)處()．A、對x可偏導，對y不可偏導B、對x不可偏導，對y可偏導C、對x可偏導，對y也可偏導D、對x不可偏導，對y也不可偏導標準答案：B知識點解析：因為不存在，所以f(x，y)在(0，0)處對x不可偏導；因為所以f′y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)處對y可偏導，選(B)．2、設f′x(x0，y0)，f′y(x0，y0)都存在，則()．A、f(x，y)在(x0，y0)處連續(xù)B、C、f(x，y)在(x0，y0)處可微D、標準答案：D知識點解析：多元函數在一點可偏導不一定在該點連續(xù)，(A)不對；函數在(0，0)處可偏導，但不存在，(B)不對；f(x，y)在(x0，y0)處可偏導是可微的必要而非充分條件，(C)不對，選(D)，事實上由存在得3、設f(x，y)在點(0，0)的某鄰域內連續(xù)，且滿足則函數f(x，y)在點(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否有極值標準答案：A知識點解析：因為根據極限保號性，存在δ>0，當時，有而x2+1一xsiny>0，所以當時，有f(x，y)-f(0，0)<0，即f(x，y)4、設f(x，y)在(0，0)的某鄰域內連續(xù)，且滿足則f(x，y)在(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否取極值標準答案：A知識點解析：因為所以由極限的保號性，存在δ＞0，當時，因為當時，|x|+y2＞0，所以當時，有f(x，y)＜f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)處取極大值，選(A)．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)5、設z=(x2+y2)xy，則標準答案：z=exyln(x2+y2)則知識點解析：暫無解析6、設f二階可導，標準答案：知識點解析：暫無解析7、設f二階可偏導，z=f(xy，z+y2)，則標準答案：知識點解析：暫無解析8、設f(x，y)連續(xù)，且f(x，y)=3x+4y+6+ο(ρ)，其中則dz|(1,0)=__________．標準答案：因為f(x，y)連續(xù)，所以f(1，0)=9，由f(x，y)=3x+4y+6+ο(ρ)得由可微的定義得dz|(1,0)=3dx+4dy．知識點解析：暫無解析9、設z=f(x，y)二階連續(xù)可導，且f′x(x，0)=2x，f(0，y)=sin2y，則f(x，y)=______，標準答案：由得由f′x(x，0)=2x得φ(x)=2x，即再由得由f(0，y)=sin2y得h(y)=sin2y，故知識點解析：暫無解析10、標準答案：知識點解析：暫無解析11、標準答案：知識點解析：暫無解析12、由x=zey+z確定z=z(x，y)，則dz|(c,0)=__________．標準答案：x=e，y=0時，z=1．x=zey+z兩邊關于x求偏導得將x=e，y=0，z=1代入得x=zey+z兩邊關于y求偏導得將x=e，y=0，z=1代入得故知識點解析：暫無解析13、標準答案：則知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)15、設z=f(t2，e2t)二階連續(xù)可偏導，其中f二階連續(xù)可偏導，求標準答案：知識點解析：暫無解析16、設z=f(exsiny，xy)，其中f二階連續(xù)可偏導，求標準答案：知識點解析：暫無解析17、u=f(x2，xy，xy2z)，其中f連續(xù)可偏導，求標準答案：知識點解析：暫無解析18、設z=f(x，y)在點(1，1)處可微，f(1，1)=1，f′1(1，1)=a，f′2(1，1)=b，又u=f[x，f(x，x)]，求標準答案：由=f′1[x，f(x，x)]+f′2[x，f(x，x)]·[f′1(x，x)+f′2(x，x)]得=f′2[1，f(1，1)]+f′2[1，f(1，1)]·[f′1(1，1)+f′2(1，1)]=a+b(a+b)=a+ab+b2．知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、設y=y(x)，z=z(x)由確定，求標準答案：兩邊對x求導得解得知識點解析：暫無解析21、設z=z(x，y)是由所確定的二元函數，其中F連續(xù)可偏導，求標準答案：兩邊對x求偏導得解得兩邊對y求偏導得知識點解析：暫無解析22、求二元函數f(x，Y)=x3一3x2一9x+y2一2y+2的極值．標準答案：由得當(x，y)=(一1，1)時，A=一12，B=0，C=2，因為AC-B2=一24＜0，所以(一1，1)不是極值點；當(x，y)=(3，1)時，A=12，B=0，C=2，因為AC—B2=24＞0且A＞0，所以(3，1)為極小值點，極小值為f(3，1)=一26．知識點解析：暫無解析已知z=f(x，y)滿足：dz=2xdx一4ydy且f(0，0)=5．23、求f(x，y)．標準答案：由dz=2xdx一4ydy得dz=d(x2一2y2)，從而f(x，y)=x2一2y2+C，再由f(0，0)=5得．f(x，y)=x2一2y2+5．知識點解析：暫無解析24、求f(x，y)在區(qū)域D={(x，y)|x2+4y2≤4}上的最小值和最大值．標準答案：當x2+4y2<4時，由得當x2+4y2=4時，令z=4cos2t一2sin2t+5=6cos2t+3，當cost=0時，fmin=3；當cost=±1時，fmax=9，故最小值為m=0，最大值M=9．知識點解析：暫無解析25、設u=xyz，求du．標準答案：由u=eyzlnx得知識點解析：暫無解析26、設z=yf(x2一y2)，其中f可導，證明：標準答案：知識點解析：暫無解析27、設u=f(x+y，x2+y2)，其中f二階連續(xù)可偏導，求標準答案：知識點解析：暫無解析28、設z=f[xg(y)，x—y]，其中f二階連續(xù)可偏導，g二階可導，求標準答案：知識點解析：暫無解析29、設z=z(x，y)由xyz=x+y+z確定，求標準答案：方法一令F=xyz—x—y一z，方法二xyz=x+y+z兩邊對x求偏導得解得故知識點解析：暫無解析30、舉例說明多元函數連續(xù)不一定可偏導，可偏導不一定連續(xù)．標準答案：設顯然f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)，但不存在，所以f(x，y)在點(0，0)處對x不可偏導，由對稱性，f(x，y)在點(0，0)處對y也不可偏導．設因為所以f(x，y)在點(0，0)處可偏導，且f′x(0，0)=f′y(0，0)=0．因為所以不存在，而f(0，0)=0，故f(x，y)在點(0，0)處不連續(xù)．知識點解析：暫無解析31、設討論函數f(x，y)在點(0，0)處的連續(xù)性與可偏導性．標準答案：因為所以不存在，故函數f(x，y)在點(0，0)處不連續(xù)．因為所以函數f(x，y)在點(0，0)處對x，y都可偏導．知識點解析：暫無解析32、討論在點(0，0)處的連續(xù)性、可偏導性及可微性．標準答案：因為所以即函數f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．因為所以f′x(0，0)=0，根據對稱性得f′y(0，0)=0，即函數f(x，y)在(0，0)處可偏導．因為不存在，所以函數f(x，y)在(0，0)不可微．知識點解析：暫無解析33、設試討論f(x，y)在點(0，0)處的連續(xù)性，可偏導性和可微性．標準答案：由得f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．因為所以即f(x，y)在(0，0)處可微．知識點解析：暫無解析34、設z=f(e′sint，tant)，求標準答案：知識點解析：暫無解析35、設標準答案：知識點解析：暫無解析考研數學三（多元函數微分學）模擬試卷第4套一、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、標準答案：知識點解析：2、標準答案：知識點解析：二、解答題(本題共29題，每題1.0分，共29分。)3、(1)若f(x)=，試證f’(0)=0；(2)若f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，且f(x)=∫0xf(t)dt，試證f(x)≡0(一∞＜x＜+∞)．標準答案：(1)因為(2)由f(x)=∫0xf(t)dt可知f’(x)=f(x)，其通解為f(x)=Cex又f(0)=0，故f(x)≡0．知識點解析：暫無解析4、標準答案：因k值不同，故分情況討論：當k＞1時，原式=即積分收斂；當k=1時，原式=即積分發(fā)散；當k＜1時，原式=，即積分發(fā)散．綜上，當k＞1時，原積分為；當k≤1時，原積分發(fā)散.知識點解析：暫無解析5、已知I(α)=求積分∫-32I(α)dα．標準答案：當α≠0且a≠±1時，當α=1時，I(α)=當α=一1時，I(α)=當α=0時，I(α)=∫0πsinxdx=2．綜上，知識點解析：暫無解析6、設函數f(x)連續(xù)，且∫0xtf(2x一t)dt=已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．標準答案：令u=2x一t，則t=2x一u，dt=一du．當t=0時，u=2x；當t=x時，u=x．故∫0xtf(2x-t)dt=一∫2xx(2x-u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du，由已知得2x∫x2xf(u)du—∫x2xuf(u)du=兩邊對x求導，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)一f(x)]一[2xf(2x)．2一xf(x)]=即知識點解析：暫無解析7、設在區(qū)間[e，e2]上，數p，q滿足條件px+q≥lnx，求使得積分取得最小值時p，q的值．標準答案：設直線y=px+q與曲線y=lnx相切于點(t，lnt)，則有知識點解析：暫無解析8、設f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，且收斂，其中常數A＞0．證明：標準答案：所以知識點解析：暫無解析9、求曲線的一條切線l，使該曲線與切線l及直線x=0，x=2所圍成圖形的面積最小．標準答案：又S"(1)＞0，故t=1時，S(t)取最小值，此時l的方程為知識點解析：暫無解析10、設函數f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內大于零，并且滿足xf’(x)=f(x)+(a為常數)，又曲線y=f(x)與x=1，y=0所圍的圖形S的面積為2．求函數y=f(x)，并問a為何值時，圖形S繞x軸旋轉一周所得的旋轉體的體積最小．標準答案：由題設，當x≠0時,，據此并由f(x)在點x=0處的連續(xù)性，得知識點解析：暫無解析11、設函數y(x)(x≥0)二階可導且y’(x)＞0，y(0)=1．過曲線y=y(x)上任意一點P(x，y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設2S1一S2恒為1，求此曲線y=y(x)的方程．標準答案：曲線y=y(x)上點P(x，y)處的切線方程為Y—y=y’(X-x)．它與x軸的交點為．由于y’(x)＞0，y(0)=1，從而y(x)＞0(x≥0)，于是又S2=∫0xy(t)dt，由條件2S1一S2=1，知①式兩邊對x求導并化簡得yy"=(y’)2．令p=y’，則方程可化為注意到y(0)=1，并由①式得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲線的方程是y=ex．知識點解析：暫無解析12、設f(x)在(一∞，+∞)內連續(xù)，以T為周期，證明：(1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a為任意實數)；(2)∫0xf(t)dt以T為周期∫0Tf(x)dx=0；(3)∫f(x)dx(即f(x)的全體原函數)周期為T∫0Tf(x)dx=0．標準答案：(1)=f(a+T)一f(a)=0，故∫aa+Tf(x)dx=∫aa+Tf(x)dx|a=0=∫0Tf(x)dx．(2)∫0xf(t)dt以T為周期∫0x+Tf(t)dt—∫0xf(t)dt=∫0x+Tf(t)dt∫0Tf(t)dt=0．(3)由∫f(x)dx=∫0xf(t)dt+C，易知此命題成立．知識點解析：暫無解析13、計算不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析14、求定積分的值．標準答案：知識點解析：暫無解析15、設常數0＜a＜1，求標準答案：對后者作變量代換x=π一t，得，所以知識點解析：暫無解析16、設a，b均為常數，a＞一2且a≠0，求a，b為何值時，有標準答案：若b—a≠0，上述極限不存在，所以要使原等式成立，必有a=b，那么所以=2ln2—2，解得a=b=8e-2一2．知識點解析：暫無解析17、直線y=x將橢圓x2+3y2=6y分為兩塊，設小塊面積為A，大塊面積為B，求的值．標準答案：直線與橢圓的交點為(0，0)，，則令y一1=sint，則知識點解析：暫無解析18、設f(x)=求曲線y=f(x)與直線所圍成的平面圖形繞x軸旋轉所成旋轉體的體積．標準答案：先求f(x)的表達式，注意到函數ex在x→+∞與x→一∞的極限，可知顯然，x＜0時f(x)與直線無法圍成圖形．當x＞0時，y=f(x)與y=的交點橫坐標為x=1，且顯然0＜x＜1時所以所求旋轉體體積為知識點解析：暫無解析19、設f(x)=∫0xg(t)dt．(1)證明y=f(x)為奇函數，并求曲線的水平漸近線；(2)求曲線y=f(x)與它所有水平漸近線及y軸所圍成圖形的面積．標準答案：(1)因f(一x)==一f(x)，故f(x)為奇函數．因故y=f(x)有兩條水平漸近線(2)由所考慮的平面圖形的對稱性及分部積分法得所求的面積為其中，由洛必達法則得知識點解析：暫無解析20、設函數f(x)在[0，1]上連續(xù)，(0，1)內可導，且f(x)dx=f(0)．證明：在(0，1)內存在一點c，使f’(c)=0．標準答案：由積分中值定理知，在上存在一點ξ1，使從而有f(ξ1)=f(0)，故f(x)在區(qū)間[0，ξ1]上滿足羅爾定理條件，因此在(0，ξ1)內存在一點c，使f’(c)=0，c∈(0，ξ1)(0，1)．知識點解析：暫無解析21、設f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)．證明：至少存在一點ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．標準答案：記G(x)=f(x)∫xbg(t)dt-g(x)∫axf(t)dt，則G(x)的原函數為F(x)=∫axf(t)dt∫xbg(t)dt+C，其中C為任意常數．因為f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，所以F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，F(a)=F(b)=C，即F(x)在[a，b]上滿足羅爾定理，所以，至少存在一個ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．知識點解析：暫無解析22、f(x)在[0，1]上有連續(xù)導數，且f(0)=0．證明：存在一點ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．標準答案：因為f’(x)在[0，1]上連續(xù)，所以f’(x)在[0，1]上有最小值和最大值，設為m，M，即存在x1，x2∈[0，1]，使f’(x1)=m，f’(x2)=M：由拉格朗日中值定理，對任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)-f(0)=f’(η)x，于是有f’(x1)x=mx≤f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x≤Mx=f’(x2)x，兩邊積分得f’(x1)∫01xdx≤∫01f(x)dx≤f’(x2)∫01xdx，即f’(x1)≤∫01f(x)dx≤f’(x2)，故f’(x1)≤2∫01f(x)dx≤f’(x2)．因為f’(x)在[0，1]上連續(xù)，由介值定理，必存在ξ∈[x1，x2][0，1]，或ξ∈[x2，x1][0，1]，使f’(ξ)=2∫01f(x)dx．知識點解析：暫無解析23、設f(x)在[a，b]上連續(xù)且嚴格單調增加．證明：(a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx．標準答案：令F(t)=(a+t)∫atf(x)dx一2∫atxf(x)dx，則F’(t)=∫atf(x)dx+(a+t)f(t)一2tf(t)=∫atf(x)dx一(t-a)f(t)=∫atf(x)dx—∫atf(t)dx=∫at[f(x)一f(t)]dx．因為a≤x≤t，且f(x)在[a，b]上嚴格單調增加，所以f(x)一f(t)≤0，于是有F’(t)=∫at[f(x)一f(t)]dx≤0，即F(t)單調遞減，又F(a)=0，所以F(b)＜0，即(a+b)∫abf(x)dx一2∫abxf(x)dx＜0，即(a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx．知識點解析：暫無解析24、設函數f’(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(a)=0．證明：標準答案：因為[f(x)]2=[f(x)一f(a)]2=[∫axf’(t)dt]2，而[∫axf’(t)dt]2≤(x-a)∫ax[f’(t)]2dt≤(x-a)∫ab[f’(t)]2dt(施瓦茨不等式)，所以∫ab[f(x)2]dx≤∫ab(x-a)dx∫ab[f’(t)]2dt=知識點解析：暫無解析25、設f(x)，g(x)在[0，1]上的導數連續(xù)，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．證明：對任意a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．標準答案：令F(a)=∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx一f(a)g(1)，a∈[0，1]，則F’(a)=g(a)f’(a)-f’(a)g(1)=f’(a)[g(a)一g(1)]．因為x∈[0，1]時，f’(x)≥0，g’(x)≥0，即函數f(x)，g(x)在[0，1]上單調遞增，又a≤1，所以F’(a)=f’(a)[g(a)一g(1)]≤0，即函數F(a)在[0，1]上單調遞減，又F(1)=∫01g(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx一f(1)g(1)=∫01[g(x)f(x)]’dx一f(1)g(1)=g(1)f(1)一g(0)f(0)一f(1)g(1)=一f(0)g(0)=0，所以F(a)≥F(1)=0，即∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx一f(a)g(1)≥0，即∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．知識點解析：暫無解析26、設函數f(x)在[a，b]上有連續(xù)導數，在(a，b)內二階可導，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．證明：(1)在(a，b)內至少存在一點ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；(2)在(a，b)內至少存在一點η，且η≠ξ，使得f"(η)=f(η)．標準答案：(1)由積分中值定理知，至少存在一點c∈(a，b)，使得