期中測試

選擇題：

1.給出以下方程的解題過程，其中正確的有（）

①解方程』（X-2）2=16,兩邊同時開方，得x-2=±4,移項得XI=6,X2=-2；

2

②解方程X（X-1）=（X-1）,兩邊同時除以（x-工）得X=l,所以原方程的根為X1=X2=1；

222

③解方程（%-2）（x-1）=5,由題得x-2=1,x-1=5,解得xi=3,%2=6；

④方程（x-〃?）2=〃的解是xi=m-Vii.

A.0個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：①應先將系數工化為1再開方.所以錯.

2

②在不知道因式是否為零的情況下，將其作為除數來化簡方程，容易造成丟根.所以錯.

③方程右邊不為0,不能用因式分解法解.所以錯.

④當"為負數時，不能直接開平方.所以錯.

故選：A.

2.對于一元二次方程（oWO）,有下列說法：①若n+b+c=O,則廿-4oc20；②若方程cM+c

=（）有兩個不相等的實根，則方程以2+法+c=0必有兩個不相等的實根；③若c是方程〃/+云+c=（）的一個

根，則一定有〃c+b+l=O成立；④若刈是一元二次方程〃/+公+。=0的根，則啟-4〃c=（2ow+b）2,其

中說法正確的有.（填序號）

【解答】解：①當冗=1時，aX12+/?X]^-c=a+b+c=0,那么一元二次方程蘇+兒什0二。（〃W0）有兩個不

相等的實數根或有兩個相等的實數根，此時辰-4〃c20成立，那么①一定正確.

②方程a/+c=0有兩個不相等的實根，則?4w>0,那么/-4m>0,故方程o?+云+c=0（aWO）必有

兩個不相等的實根，進而推斷出②正確.

③由c是方程，。2+法+。=0的一個根，得ac2+hc+c=().當cHO,貝Ijac+Hl=()；當c=O,貝！|ac+Hl不一

定等于0,那么③不一定正確.

④(2axo+b)2=4a2x(r+b2+4abxn,由b1-4ac=4a2xo2+b2+4abM),得axo2+bxo+c=O.由xo是--元二次方

程“/+法+0=0的根，則ow2+/，xo+c=0成立，那么④正確.

綜上：說法正確的有①②④.

故答案為：①②④.

3.如圖是王阿姨晚飯后步行的路程S(單位：加)與時間/(單位：機山)的函數圖象，其中曲線段AB是以B

為頂點的拋物線一部分.下列說法不正確的是()

B.線段CD的函數解析式為S=32/+400(25W/W50)

C.5min-20min,王阿姨步行速度由慢到快

D.曲線段4B的函數解析式為5=-3(f-20)2+1200(5W/W20)

【解答】解：A、25加"?50，〃譏，王阿姨步行的路程為2000-1200=800"?,故A沒錯;

B、設線段CD的函數解析式為s=kt+b,

把（25,1200）,（50,2000）代入得，（1200=25k+b

12000=50k+b

解得：［k=32,

Ib=400

線段CD的函數解析式為S=32/+400(25WW50),故8沒錯;

C、在A點的速度為踏?=105"?/加"，在8點的速度為120°-525=回至=45仕/加”,故C錯誤；

520-515

。、當，=20時，由圖象可得s=1200m,將f=20代入S=-3(t-20)2+1200(5WW20)得S=1200,

故力沒錯.

故選：C.

4.如圖，△AB'C是由△ABC經過平移得到的，△A8C還可以看作是AABC經過怎樣的圖形變化得到？下列

結論：①1次旋轉；②1次旋轉和1次軸對稱；③2次旋轉；④2次軸對稱.其中所有正確結論的序號是

()

A.①④B.②③C.②④D.③④

【解答】解：先將aABC繞著點A旋轉180°得到夕'C",再將所得的△AB"C"繞著點B"行的中

點。旋轉18()°,即可得到△A'B'C(方法不唯一)；

先將△48C沿著88的垂直平分線翻折可得△?!"B'C",再將所得的"BC"沿著4A”的垂直平分線

翻折，即可得到△A9C'(方法不唯一)；

故選：D.

5.已知二次函數)，=/+法+。QW0)的圖象如圖，則下列結論中正確的是()

B.b2-4ac<0C.9a+3b+c>0D.c+8aV0

【解答】解：4???二次函數的圖象開口向下，圖象與y軸交于y軸的正半軸上,

：.a<0,c>0,?.?拋物線的對稱軸是直線x=l,-M=l,

2a

：.b=-2a>0,：.abc<0,故本選項錯誤；

8.丫圖象與x軸有兩個交點，...川-4以>0,故本選項錯誤；

C.；對稱軸是直線x=l,與x軸一個交點是（-1,0）,

...與x軸另一個交點的坐標是（3,0）,

把兀=3代入二次函數yjM+bx+c（aWO）得：y=9〃+3b+c=0,故本選項錯誤;

D.,?,當x=3時，y=0,*:b=-2a,.??y=or2-2ox+c,

把x=4代入得：y=16a-8〃+c=8〃+cV0,

故選：D.

6.如圖，四邊形A5CO為正方形，A8=l,把△ABC繞點4逆時針旋轉60°得到△AEF,連接OF,貝ljO產

的長為（）

A氓用

D考

,2B.年c.亨

【解答】解：如圖，連接8E,CE,過E作EG_LBC于G,

由旋轉可得，AB=AE=1=AD,AC=AF,N8AC=N￡AF=45°=ZDAC,

：.ZCAE=ZFAD,：.^ADF^/^AECCSAS）,：.DF=CE,

由旋轉可得，AB=AE=1,N84E=60°,.?.△A8E是等邊三角形，

；.BE=1,ZABE=60°,：.ZEBG=30°,

:.EG=XBE=1.BG=1^'--CG=1-1/3-

22

...RtACEG中,CE二標壽7皮）2+（好|4）2=后耍=產與叵2

I（遙）2「v1'672-QF=娓亞

V4-2~-2-

故選：A.

7.如圖，直線y=fcr+。（《#0）與拋物線＞=”/（。/0）交于A,B兩點，且點A的橫坐標是-2,點B的

橫坐標是3,則以下結論：①拋物線y=af（“#（））的圖象的頂點一定是原點；

②氏＞0時-，直線＞=近+8（ZW0）與拋物線y=a?QW0）的函數值都隨著x的增大而增大；③48的長度

可以等于5；④△OAB有可能成為等邊三角形；⑤當-3Vx＜2時，cvc+kx＜b,其中正確的結論是

【解答】解：①拋物線利用頂點坐標公式得：頂點坐標為(0,0),

故①正確：

②根據圖象得：直線)=依+/7(k#0)為增函數，

拋物線(“#())當x>()時為增函數，

則x>0時，直線與拋物線函數值都隨著x的增大而增大，

故②正確；

③由A、B橫坐標分別為-2,3,若A8=5,可得出直線A8與x軸平行，即《=0,

與一知矛盾，故4B不可能為5,

故③不正確；

④若。4=。8,得到直線AB與x軸平行，即％=0,與已知AN0矛盾，

.'.OA^OB,即AAOB不可能為等邊三角形，

故④不正確；

⑤直線y=-kx+b與y=kx+b關于y軸對稱，如圖所示：

可得出：直線y=與拋物線交點C、。橫坐標分別為-3,2,

由圖象可得：當-3<x<2時，cuC<-kx+h,即故⑤正確,

所以，正確的結論是：①②⑤，

故答案為：①②⑤.

8.二次函數.yuo^+fex+c（mb,c是常數，。#0）的自變量冗與函數值y的部分對應值如下表:

X…-2-1012…

y=tm-2-2n

ax+bx+c

且當x=-』■時，與其對應的函數值），>（）.有下列結論：①〃bc<（）；②-2和3是關于x的方程o?+云+c

2

=/的兩個根；③0V〃什〃<歿.其中，正確結論的個數是（）

3

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：當x=0時，。=-2,當x=l時，a+b-2=-2,.*.^=0,

2

/.y=ax-cix-2,Aabc>Of①錯誤；

五=2?是對稱軸，冗=-2時丁="貝!Jx=3時，y=tf

???-2和3是關于x的方程依2+bx+c=f的兩個根；②正確；

tn=a+a-2,〃=4a-2。-2,*.tn=n=2a-2,.\m+n=4a-4,

..,當x=-A?時，y>0,a>A,/.m+n>,③錯誤；

233

故選：B.

9.如圖，在平面直角坐標系中，矩形QA3C的點B坐標為（8,6）,點A在x軸上，點C在y軸上，點。是

邊上的動點，連接。。，作點4關于線段。。的對稱點A.已知一條拋物線（a=0）經過

O,4,A三點，且點A恰好是拋物線的頂點，則b的值為（）

A.-V3B.2Mc.-2V3D.M

【解答】解：過點A'作4'E_LOA于E,連接A'。、4'A,如圖.

可得A的坐標為（8,0）,A'的橫坐標為4,（0,0）,.,^=0,

...yuoAbx,；點A恰好是拋物線的頂點，；.6=-8a,OA'=A4',

...丫=--8口，：點A關于線段0。的對稱點是A,，。4二。/1’,

...△OAA'是等邊三角形，.?.4'（4,4A/3），.-.4V3=16a-32a,

解得〃=-Yl_,；./；=-8“=2百.故選：B.

10.把一副三角板如圖甲放置，其中NAC8=NZ)EC=90°,NA=45°,ZD=30°,斜邊AB=6,0c=7,

把三角板。CE繞點C順時針旋轉15°得到△D1CE1（如圖乙），此時43與CD1交于點O,則線段AO1

的長為（）

【解答】解：：NACB=N￡>EC=90°,ZD=30°,

AZDCE=90Q-30°=60°，：.Z4CD=90°-60°=30°，

;旋轉角為15°,ZACDi=30a+15°=45°,又：NC48=45°,

.「△AC。是等腰直角三角形，：.ZACO=ZBCO=45°,,：CA=CB,

，AO=CO=」AB=_1X6=3,'：DC=1,：.D\C=DC=7,

22

：.D\O=1-3=4,在RtZ\AOOi中，AD\=JAO2+D=32+4：2=5-

11.如圖，邊長為8的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AO上的一個動點，連接EC將線段EC繞點C逆時針

旋轉60°得到FC,連接DF,則在點E運動過程中，。尸的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

【解答】解：如圖，連接8凡由旋轉可得，CE=FC,NEC尸=60°,?廣△A8c是等邊三角形,

：.AC=BC,/AC8=60°,AZACE=ZHCF,.二△ACE名△BC尸（SAS）,

：.ZCBF=ZCAE,?.?邊長為8的等邊三角形A8c中，E是對稱軸4力上的一個動點，

：.ZCAE=30a,BD=4,：.ZCBF=30a,即點F的運動軌跡為直線8尸，

...當尸時，。尸最短，此時，。尸=工8。=2*4=2,二。尸的最小值是2,

22

故選：C.

12.如圖，已知二次函數yn-V+6x-c,它與x軸交于點A3,且AB位于原點兩側，與y軸的正半軸

交于點C,頂點點在y軸有側的直線/:y=4上,則下列說法：(1)反〈0；(2)0<匕<4；(3)AB=4；(4)S

,MB?=8.其中正確的結論是()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(2)(3)D.⑴⑵(3)(4)

答案：D【解析】:。=一1<0,.,.拋物線開口向下，?：拋物線的對稱軸為直線％=-2>0,.?/>(),而拋物

2a

線與y軸的交點在x軸上方，:一?！?。.則c<0,.?.bc<0,???①正確；由頂點。在y軸右側的直線/:y=4

上，可得4X(T)X(H)-人力,Z.bMc+16,

4x(-1)

0<-c<4,-16<4c<0,/.0<4c+16<16,0<Z?2<16,;.0<b<4,.?.②正確；

?.a=—1,.?.該拋物線的開口方向及大小是一定的，又???頂點D在y軸右側的直線/：y=4上，.?.該拋物線

與x軸兩交點之間的距離AB是定值，.?.可令b=2則c=-3,

此時拋物線解析式為曠=一一+2%+3,由一f+2x+3=0,得％=-1,々=3,故AB=4,...③正確；S

△ABD=4X4+2=8,④正確，.?.選D

13.二次函數y=辦?+fer+c(ay0)的圖象如圖所示，若|融2+fex+c|=A;(%H0)有兩個不相等的實數

根，則左的取值范圍是()

A.左<一3B.k>-3C.k<3D.k>3

答案：D【解析】?當數2+/u+c.O,y=依2+a+c（。。0）的圖象在1軸上方.

此時y=|or2+〃x+c|-cue+Zzx+c,

/.此時y=|or2+展+4的圖象是函數y=ax2+/?x+c（。wO）在x軸上方部分的圖象，，.,當以？+灰+。<

0時，y=cvc2+Zzx+c（。w0）的圖象在x軸下方，，此時y=|ox2+/?x+c|--[ax1+Z?x+c），，此時

j=|or2+Z?x+c|的圖象是函數y二方?+bx+c（。w0）在x軸下方部分與x軸對稱的圖象，

y=依2+入x+c（〃wO）的頂點縱坐標是一3,

???函數y=+ZZX+C（QwO）在x軸下方部分與x軸對稱的圖象的頂點縱坐標是3,

.??y=|以2+加+，的圖象如圖，?.?觀察圖象可得k#o,函數圖象在直線y=3的上方時，縱坐標相同的點有

兩個，函數圖象在直線尸3上時，縱坐標相同的點有三個，函數圖象在直線y=3的下方時，縱坐標相同的點

有四個，，若|辦2+a+"4（1<#0）有兩個不相等的實數根，則函數圖象應該在y=3的上邊，故k>3,?,?選

D

14.若〃（〃。0）是關于x的方程d+如+2〃=0的根，則加+及？一6〃?〃的值為（）

A.-2B.8C.—6D.—8

答案：D【解析】〃（〃￥0）關于兀的方程/+相％+2〃=0的根，，/+，加+2〃=0,TnWO,方程

兩邊同時除以n,得n+m+2=0,m+n=—2,

/.ni'+7?3-6nrn=[m+n）（rrT—mn+z?2）—6mn=—2+n）2—3mn^-6mn=-2（m+n）2+6mn-6mn

=—2x（-2）2=—8

故選D.

二、填空題

15.已知:直線y=ox+b與拋物線y="2-Av+c的一個交點為（0,2）,同時這條直線與x軸相交于點

A,且相交所成的角為45.

（1）點A的坐標為；

⑵若拋物線了=公2-bx+c與X軸交于點M,N（點〃在點N左邊），將此拋物線關于y軸對稱，例的對

應點為E,兩拋物線相交于點F,連接得是軸對稱后的拋物線上的點，使得ANEP的

面積與△NEF的面積相等，則P點坐標為_________.

答案：⑴（-2,0）或（2,0）⑵（一2,2）或（一1±技一2）

【解析】（1）設直線y=or+。與拋物線y=aY—〃x+c的一個交點為B（0,2）,\?直線y=or+b過點

（0,2）,同時這條直線與x軸相交于點A,且相交所成的角為45.

；.OA=OB,.,.當a>0時，A（—2,0）,當a<0時，A（2,0）：

⑵把B（0,2）,A（—2,0）代入直線y=oc+b,得解得

a=-1.

把3（0,2）,4（2,0）代入直線,=如+江得%_24+6解得<

b=2.

,拋物線y=田？一過B（0,2）,；.C=2,故拋物線的解析式為y=x2-2x+2^y=-x2-2x+2.

拋物線為曠=/一2》+2時b-4ac=4-4XlX2<0,拋物線與x軸沒有交點，舍去；

拋物線為y=-d-2x+2時b-4ac=4-4X（-1）X2>0,拋物線與x軸有兩個交點；則其關于y軸對稱的

圖象為^=一/+2犬+2,如圖F點即為B點，且F（0,2）,

,/△NEP的面積與ANEF的面積相等且同底，；.P點的縱坐標為2或-2.

當y=2時，-f—2x+2=2,解得x=—2或x=0（與點/重合，舍去）；

"Iy———2時，一f—2x+2=—2,解得x=-1+>/5,x——1—A/5,

故存在滿足條件的點P,P點坐標為是（―2,2）或（一1+75,-2）或（―1一五一2）.

16.如圖，長方形A8CD中A5=2,BC=4,正方形AEFG的邊長為1.正方形AEFG繞點A旋轉的過程

答案：2亞-叵【解析】連接AECRAC,

長方形ABC。中，AB=2,BC=4,正方形AEFC的邊長為1,/.AC=2J5,AF=也.

AF+CFJ^AC,:.CFAC-AF

當點AE,C在同一直線上時，CE的長最小，最小值為26-J5

故答案為2后一應.

17.如圖，四邊形ABC。是邊長為1的正方形，△ABE為等邊三角形，尸為對角線5。（不含5點）上任

意一點，將所繞8逆時針旋轉60得到BG,連接EG,AF,CE,則4歹+8/+6的最小值是

（提示加+/

答案：丑史【解析】

連接GF,過E作EHLBC,交CB的延長線于點H,由

2

旋轉可得，BF=BG,/CBF=6。..?.△BFG是等邊三角形，.?.G/?=8/7,

■,AABE是等邊三角形，BE=BA,ZABE=60,NABF=NEBG,

[ABF三二EBG(SAS),AF=EG,:.AF+BF+CF=EG+CF+CF,

當點E,G,F,C在同一直線上時，AR+5F+CF的最小值是CE的長，

又NABE=60,NABH=90NEBH=30,

Rt,EBH中,EH=--EB=-,:.BH=^EB--EH2==；后

22

i、2?---------

/.CH=-V3+1,/.RtCEH中，CE=J^+CH$=5百+1=也+百

27

近電，故答案為YL也

=J(#+正了

22

18.在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3,0）,若拋物線y=/-2x+〃-1與線段04有且只有一個公共

點，則〃的取值范圍為.

答案：一2,〃<1或"=2【解析】一點A的坐標為（3,0）,拋物線y=/-2x+〃-l=（x-l）?+〃一2與線

n-\<0,、

段。4有且只有一個公共點，.?.〃-2=0或《,,解得-2,,〃<1或〃=2.

32-2x3+〃..。

y(x..0)

19.在平面直角坐標系X。），中，對于點P（x,y）和Q（x,y'）.給出如下定義：若y'=<,則稱點

[-y(x<0)

。為點P的“可控變點”如：點（1,2）的“可控變點”為點（1,2）,點（一1,3）的“可控變點”為點（一1,一3）.

（1）若點（一1,—2）是一次函數y=x+3圖象上點〃的“可控變點”，則點〃的坐標為一；

⑵若點P在函數y=—V+16（—5融a）的圖象上，其“可控變點”。的縱坐標y'的取值范圍是

T6致曠16,則實數a的取值范圍是.

答案：

（1）（-1,2）（2）4近

【解析】（1）根據“可控變點''的定義可知M的坐標（一1,2）；

（2）依題意得y=-/+16圖象上的點P的“可控變點”必在函數了=「1+1”工。的圖象上（如圖），V

lx2-16（-5?x<0）

—16<y'W16,-16=—『+16,".x=4y/2

當％=—5時，*-16=9,當y'=9時，9=一『+16（x》0）,:.廣手，

實數。的取值范圍是。=4&

三、解答題

20.如圖，在平面直角坐標系中，請按下列要求分別作出,ABC變換后的圖形(圖中每個小正方形的邊長為

1個單位).

(1)將qABC向右平移8個單位，作出平移后的.AB|G，寫計平移后點A的對應點的坐標；

⑵作出二ABC關于x軸對稱的44名。2，寫出點8的對應點B2的坐標：

⑶將.ABC繞點。順時針方向旋轉180,觀察作圖，寫出旋轉后的圖形.AAG與⑵中圖形，d&G的圖

形變換關系.

答案:(1)AAG為所求的三角形，此時4的坐標為(7,1),

⑵2G為所求的三角形,此時B2的坐標為(―2,—3).

⑶3G為所求的三角形,此時ABC與-A/G關于y軸對稱.

21.如圖，正方形A8CD和直角cABE,/AEB=9(),將繞點。旋轉180得到口。0尸.

(1)在圖中畫出點。和并簡要說明作圖過程；

(2)若AE=12,A8=13,求Eb的長.

AK--------,D，ir-----------

答案：解：(1)連接AC和3D,則它們的交點為旋轉中心。，如圖，連接E。并延長至點八使R9-EO,連

接DF,CF,則點。和△CDF即為所求；

(2)過點。作OG±OE與BE的延長線交于點G,

在中，BE=dlW-狀=5.

■四邊形ABCO為正方形，.?.Q4=O8,NAO8=90.而/EOG=9(),"AOE=/BOG,

?^AEB=NAOB=90,:.NGBO=ZEAO.

ZEAO=NGBO.

在二￡4。利AGBO中<OA=OB,.1.EAO^GBO（ASA）,

NAOE=NBOG.

：.AE=BG=12,（IE=OG,：...GEO為等腰宜角三角形，

111

OE=-也EG=-何BG-BE）=—0x（12-5）=5&.EF=2OE=7返

22.某公司經銷某品牌運動鞋，年銷售量為10萬雙，每雙鞋按250元銷售，可獲利25%,設每雙鞋的成本

價為。元.

⑴試求a的值；

（2）為了擴大銷售量，公司決定拿出一定數量的資金做廣告，根據市場調查，若每年投入廣告費為x（萬元）

時，產品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y與x之間的關系如圖所示，可近似看作是拋物線的一部分.

①根據圖象提供的信息，求y與x之間的函數關系式：

②求年利潤S（萬元）與廣告費x（萬元）之間的函數關系式，并請回答廣告費x（萬元）在什么范圍內，公司獲得

的年利潤S（萬元）隨廣告費的增大而增多？（注：年利潤S=年銷售總額一成本費一廣告費）

y（f?）

答案:解：⑴a(l+25%)=250.解得(a=200).

(2)①依題意，設y與x之間函數關系式為產分2+公+1,則[4；+2,+1=13,解得a=_0.012=0.2,故

[16a+4Z?+a=1.64

J=-0.0U2+0.2X+1.

②S=(-0.0U2+().2x+1)x10x(250-200)]-x=-5x2+99x+500=-5(x-9.9)2+990.05,當x=9.9

萬元時，S最大，故當0<x<9.9時、公司獲得的年利潤隨廣告費的增多而增多，注：0<xW9.9,OWxW

9.9均可.

23.圖1、圖2是兩個相似比為1:a的等腰直角三角形，將兩個三角形如圖3放置，小直角三角形的斜邊

與大直角三角形的一直角邊重合.

（1）在圖3中，繞點。旋轉小直角三角形，使兩直角邊分別與AC,BC交于點E,F,如圖4,求證：

AE2+BF2=EF2；

（2）若在圖3中，繞點C旋轉小直角三角形，使它的斜邊和CO的延長線分別與A8交于點E,尸，如圖

5,此時結論4必+8/=后尸2是否仍然成立?若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

(3)如圖6,在正方形A8CO中，E,F分別是邊6C,CO上的點，滿足，CEb的周長等于正方形A6C。的

周長的一半，隹,4尸分別與對角線80交于點時,^^,試問線段MN,DV能否構成三角形的三邊

長?若能，指出三角形的形狀，并給出證明：若不能，請說明理由.

答案：

證明：(1)連接CD,...兩個等腰直角三角形的相似比為1：夜，而小直角三

角形的斜邊等于大直角三角形的直角邊，；.D為A8的中點，；.CD=AD,N4=NA=45。，又?:

/1+/2=/2+/3=90.33=4=

同理可得..ACE。nABED..?.€￡=AE,而CE?+=E/2,4后2+《口2=反2

(2)結論AE2+3f2=E/72仍然成立，理由如下：

把ACFB繞點C順時針旋轉90°,；.CF=CG,AG=BF,Z4=Z1,Z

B=/GAC=45°,而N3=45°,/2+/4=90—45=45°,AZ1+Z2=45°...^CGE^CFE(SAS),

；.GE=EF,在Ri二AGE中，AE2+AG2=GE2,AE2+BF2=EF2

(3)線段DN能構成直角三角形的三邊長，理由如下：

把工4)尸繞點A順時針旋轉90得至ij點N的對應點為Q,

.?./4=/2,/1+/3+/4=90,BP=DF,BQ=DN,AF=AP,

VACEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，.?.EF=5E+DF,

:.EF=EP,:.AAEF=A￡P(SSS),21=/3+/4,而AQ=3,:.^AMQ^AMN(SAS),

MN=QM,而NADN=ZQBA=45，,ZABD=45

/QBN=90BQ2+BM2=QM2,:.BM2+DN2=MN2.

24.某租賃公司擁有汽車100輛.據統計，每輛車的月租金為4000元時，可全部租出，每輛車的月租金每

增加100元，未租出的車將增加I輛，租出的車每輛每月的維護費為500元，未租出的車輛每月只需維護費

100元.

(1)當每輛車的月租金為4800元時，能租出多少輛?并計算此時租賃公司的月收益(租金收入扣除維護費)是

多少萬元？

(2)規定每輛車月租金不能超過7200元，當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益(租金收入扣

除維護費)可達到40.4萬元？

答案：解：(1)100—48，/000=92(輛),(4800—500)x92—100x(100—92)=394800(元)，394800元

=39.84萬元.

答：當每輛車的月租金為4800元時，能租出92輛，此時租賃公司的月收益是39.84萬元.

(2)40.4萬元=404000元,設上漲x個100元，由題意，得(4000+100x—500)(100—x)—100x=404000,

2

整理，得x-64x+540=0,解得%,=54,x2=1().

?.?規定每輛車月租金不能超過7200元，.?.取x=10,則4000+10x100=5000(元).

答:每輛車的月租金定為5000元時，租賃公司的月收益可達到40.4萬元.

25.已知拋物線丁=以2—2以一2(。工0).

⑴當拋物線經過點尸(1,0)時，求拋物線的頂點坐標；

(2)若該拋物線開口向上，當魄/4時，拋物線的最高點為M,最低點為N,點M的縱坐標為6,求點

M和點N的坐標；

(3)點為拋物線上的兩點，設啜廝/+1.當毛-3且a<0時，均有％.%,求t的取值

范圍.

_?/7

答案：解：(D;該二次函數圖象的對稱軸為x=-焉=1,拋物線經過點P(l,0),.?.弛物線的頂點坐標為

(1.0).

(2):該地物線開口向，對稱軸為x=1,當?4時，點M的縱坐標為6,

拋物線的最高點M的坐標為(4,6),，將(4,6)代人了=公2-2以一2,得6="16-2”4-2,

解得a=I,.-.y=x2-2x-2,:.最低點N在x=1時取得，二N。,—3),.?.點M利點N的坐標分別為(4,6)

和(1,-3).

(3)當a<0時，該拋物線開口向下,對稱軸為x=1,

片")，解得一】

?「點4(大,X),3(%2，%)為拋物線上的兩點，源Xf+1，當天-3時，均有V》1，，

Wt《2,.,"的取值范圍一lWtW2.

26.如圖，_A6C中，A5=2,BC=4RAC0是等邊三角形，連接6。，求8。的最大值，并求出此時

/ABC的度數.

解:如圖，以AB為邊在qABC外作等邊_ABE，連接CE,則AB=BE=AE,

.?c4C。等邊三角形，AD=AC.ZDAC=60.

NBAE=60,ZDAC+ZBAC=ZBAE+NBAC,即

ZEAC=NBAD,：...EAC=.BAD（SAS）,;.EC=BD

BC+BELCE,.?.當E,8,C?：點共線時，CE的最大值為EB+BC=AB+BC=2+4=6,

.?.班)的最大值為6如圖,當旦仇C三點共線時,NABC=180-NABE=120°.

期末測試

一、選擇題：

1.如圖，將拋物線yax2進行平移，使其經過點A(-4,0)和點0(0,0),設平移后的頂點為B,連

y4

接08,以。為圓心、OB的長為半徑作圓，交拋物線于點C,連接BC,則圖中陰影部分的面積

y4X

為(）

A.竽兀-3B.-y-n-6C.13Tt-6D.12-y-n

【解答】解：?.?將拋物線2進行平移，使其經過點A（-4,0）和點0（0,0）,

丫4

.?.平移后的拋物線的對稱軸為直線》=-2,

.?.設平移后的拋物線的解析式為y=3（x+2）2+k,

將O(0,0)代入，得旦(0+2)2+k=0,解得k=-3,

4

平移后的拋物線的解析式為y=2（x+2）2-3,頂點4的坐標為（-2,-3）,

由勾股定理，得。8=五互/=小石.

連接OA、OC,由圓的對稱性或垂徑定理，可知。的坐標為（-2,3）,

陰影部分的面積=半圓的面積-△BOC的面積=工?仃（丁石）2-LX6X2=13TT-6.

222

故選：B.

2.書架上有a本經濟類書，7本數學書，b本小說，5本電腦游戲類書.現某人隨意從架子上抽取一本書,

若得知取到經濟類或者數學書的機會為工，則a,6的關系為（）

2

A.a=b~2B.ci~b+12C.a+b=10D.u+b—12

【解答】解：由已知可得a+7=a+7+b+5,解得〃+2=匕，即。=6-2.故選A.

2

3.已知函數y=f+x-1在〃忘上的最大值是1,最小值是-"，則機的取值范圍是（）

A.-2B.OWmW」C.-2D.m^：--

222

【解答】解：解法?：?.?函數y=/+x-1的對稱軸為直線x=

.,.當x=--l時，y有最小值，此時y=2-』-1=-互

2424

?函數y=/+x-1在znWxWl上的最小值是-互，.'.“W--1；

42

?.,當x=l時，^=1+1-1=1,對稱軸為直線犬=-2，.*.當x=-2-［l-（-［）］=-2時，y=l,

222

?函數y=x2+x-1在znWxWl上的最大值是1,且mW-A；

-2W/nW-A.

2

解法二：畫出函數圖象，如圖所示:

IIIIIJIIIII

J_二__L_A__L.一▲一一I

y—jr+x-1-(x+A)2-二當x=l時，y=l；

24

當x=--l,y=-—.當x=-2,y=l,

24

,函數y=f+x-1在“WxW1上的最大值是1,最小值是-旦，-2W"?W-1>.

42

故選：C.

4.如圖，在矩形A8C。中，AB=4,AO=5,AD,AB,BC分別與。。相切于E,F,G三點，過點。作OO

的切線交8c于點/，切點為N,則。M的長為（）

c.AV13D.275

3

【解答】解：連接。E,OF,ON,0G,在矩形4BC。中，'：ZA=ZB=90Q,CD=AB=4,

,：AD,AB,8c分別與0。相切于E,F,G三點，:.NAEO=NAFO=NOFB=NBGO=90",

，四邊形A產。E,F3G。是正方形，：.AF=BF=AE=BG=2,：.DE=3,

是OO的切線，：.DN=DE=3,MN=MG,.".CM=5-2-MN=3-MN,

在RtZiDMC中，DM2=CD1+CM2,：.(3+MW)2=(3-NM)2+42,;.NM=±,

3

5.如圖，一種電子游戲，電子屏幕上有一正六邊形ABCDE凡點P沿直線AB從右向左移動，當出現：點尸

與正六邊形六個頂點中的至少兩個頂點構造成等腰三角形時，就會發出警報，則直線AB上會發出警報的

點尸有（）

C.11個D.12個

【解答】解：如圖所示：圓與直線的交點以及圓心位置都是符合題意的點，故在直線A8上會發出警報的

點尸有：11個.

故選：C.

6.已知：如圖，正方形ABC。中，AB=2,AC,8。相交于點。，E,尸分別為邊BC,C￡＞上的動點(點E,

F不與線段BC,C￡＞的端點重合)且BE=CF,連接。E,OF,EF.

在點E,尸運動的過程中，有下列四個結論：

①aOEF是等腰直角三角形；

②AOE尸面積的最小值是1；

③至少存在一個尸，使得△ECf"的周長是2+遙；

④四邊形OEC尸的面積是1.

所有正確結論的序號是.

【解答】解：①：四邊形ABCD是正方形，AC,8。相交于點O,

'OB=OC

：.OB=OC,N()BC=NOCD=45°,在△O8E和△OCF中，，ZOBE=ZOCF

BE=CF

/.△OBE^△OCF(.SAS),：.OE=OF,,:NBOE=NCOF,

：.NEOF=NBOC=90°,△OEF是等腰直角三角形；故①正確;

②；當。E_LBC時，OE最小，此時。E=OF=JLBC=1,

2

...△0）面積的最小值是工義1><1=」，故②錯誤；

22

（3）,,,BE=CF,：.CE+CF=CE+BE=BC=2,

假設存在一個△ECF,使得aECF的周長是2+愿，則

由①得△OEF是等腰直角三角形，，。《二桌二迎.我，0E的最小值是1,

V22

存在一個△￡：（》'，使得△ECF的周長是2+返.故③正確；

④由①知：AOfiE^AOCF,

SMU1KOECF=S/\COE+S^OCF=S^COE+S^OBE=S^OBC=—S^KABCD=—X2X2=1，

44

故④正確；

故答案為：①③④.

7.如圖，P為等邊三角形A8C內的一點，且P到三個頂點A,B,C的距離分別為3,4,5,則△A8C的面

積為（）

C.18+25V3

.18邛

【解答】解：?.?△ABC為等邊三角形，，8A=BC,

可將△8PC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA,連EP,且延長8尸，作A凡L8P于點F