2023人教版新教材高中數學B必修第一冊

第一章集合與常用邏輯用語

1.2常用邏輯用語

1.2.3充分條件、必要條件

基礎過關練

題組一充分條件、必要條件與充要條件的判定

1.（2022安徽六安霍邱一中段考）荀子曰：“故不積此步，無以至千里;不積小流,

無以成江海.”這句來自先秦時期的名言闡述了做事情不一點一點積累,就永遠

無法達成目標的哲理.由此可得，“至千里”是“積度步”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件

D.充要條件

2.（2020山東德州實驗中學月考）若集合A={x￡R|x-

2>0},B={x￡R|x<0},C={x￡R|x〈0或x>2},則“x￡（AUB）”是“x￡C”的

（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.已知四邊形ABCD的兩條對角線分別為AC,BD,則“四邊形ABCD為菱形”是

“ACJ_BD”的（）

A.充分不必要條件

B.充要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

4.如果甲是乙的充要條件,丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件,那么（）

A,丙是甲的充分條件,但不是甲的必要條件

B.丙是甲的必要條件,但不是甲的充分條件

C.丙是甲的充要條件

D.丙既不是甲的充分條件,也不是甲的必要條件

5.指出下列各題中,P是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條

件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答).

⑴在AABC中,p:ZA>ZB,q:BOAC;

(2)對于實數x,y,p:x+y=8,q:x=2且y=6;

(3)已知x,y￡R,p:(xT)2+(y-2)2=0,q：(xT)?(y-2)=0.

題組二利用充分條件、必要條件求參數的范圍

6.(2020山東范澤一中等六校聯考)若“x￡(1,3)”的必要不充分條件是

“x￡(m-2,m+2)”，則實數m的取值范圍是()

A.[1,2]B.[1,3]

C.(-1,2)D.(1,3)

7.(2022安徽阜陽第一中學月考)已知p:{x|x2+x-6=0},q:{x|mx+l=0}，且q是p

的充分不必要條件，則m的所有取值構成的集合是()

A?由}B.{詞

。{吃。哥D.K，。}

8.(2022河北石家莊新華中學月考)設集合A={x11WxW5},集合B={x12-

aWxWl+2a},其中a￡R.

(1)若B=0，求a的取值范圍；

(2)若“x￡A”是“x￡B”的必要條件，求a的取值范圍.

9.（2021湖北黃石月考）在①充分不必要條件,②必要不充分條件,③充要條件這

三個條件中任選一個補充在下面問題中,若問題中的a存在,求實數a的取值集

合M;若問題中的a不存在,請說明理由.

問題:已知集合A={x10WxW4},集合B={x|1-aWxWl+a}（a>0）,是否存在實數a,

使得x￡A是xWB成立的?

題組三充分條件、必要條件的探索與證明

10.若集合A={x|x>T},B={x|xel},則心￡人且*邨”的充要條件是（）

A.-l<x^lB.xWl

C.x>-lD.-1<X<1

1L（多選）設全集為U,在下列選項中,是BGA的充要條件的是（）

A.AUB=BB.（CvA）AB=0

C.（CvA）c（［⑻D.AU（［L：B）=U

12.（2022重慶縉云聯盟質量檢測）已知圖形P,則“圖形P是中心對稱圖形”的

一個充分不必要條件可以是.

13.求證:關于x的方程ax?+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0.

14.求證:一次函數y=kx+b（kW0）的圖像經過坐標原點的充要條件是b=0.

能力提升練

1.（2019北京昌平期末）已知a,b是實數，則"a<0且b<0”是“ab（a-b）>0”的

（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.若非空集合A,B.C滿足AUB=C,且B不是A的子集，則（）

A.“x￡C”是“x￡A”的充分不必要條件

B.“x￡C”是“x￡A”的必要不充分條件

C.“x￡C”是“x￡A”的充要條件

D.“x￡C”是“x￡A”的既不充分也不必要條件

3.（多選）設計如圖所示的四個電路圖，若P：開關S閉合,q:燈泡L亮，則p是q的

充分不必要條件的電路圖是（

B

4.（多選）（2020山東濟南外國語學校期中）對任意實數a,b,c,給出下列命題,其

中是真命題的是（）

A.“a=b”是"ac=bc”的充要條件

B.“a>b”是“2方”的充分條件

C."a<5”是“a<3”的必要條件

D.“a+5是無理數”是“a是無理數”的充要條件

5.對于任意實數x,〈X〉表示不小于x的最小整數，例如<1.1>=2,<-1.1>=-1,則

是“<x>=<y>"的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

6.（多選）下列說法中正確的是（）

A."AAB=B”是“B=0”的必要不充分條件

B.“x=3”的必要不充分條件是“X2-2X-3=0”

C.“m是實數”的充分不必要條件是，是有理數”

D."|x|=l"是“x=l”的充分條件

7.已知P:m-Kx<m+l;q:1<x<|.若p是q的必要不充分條件,則實數m的取值范圍

是?

8.從“充分條件”“必要條件”中選出適當的一個填空：“ax2+bx+c=0（a#0）有

實數根”是“ac〈O”的.

9.（2020山東鄒城期中）已知集合A={x￡R|（Kax+1W3,aWO}，集合B={x￡R|-

l〈xW2}.若命題p:x￡A,命題q:x￡B,且p是q的充分不必要條件,求實數a的

取值范圍.

答案與分層梯度式解析

第一章集合與常用邏輯用語

1.2常用邏輯用語

>1.2.3充分條件、必要條件

基礎過關練

1.A荀子的名言表明積珪步未必能至千里，但要至千里必須積腔步,故“至千里”

是“積度步”的充分不必要條件.故選A.

2.C由題意可知,AUB={x￡Rx<0或x>2},—_

,.,C={x￡R|x〈O或x>2},.\AUB=C,“x￡(AUB)”是“x￡C”的充要條件.

思維拓展從集合的角度理解充分、必要條件:記P.q對應的集合分別為A,B,則有

(1)AWB,p是q的充分不必要條件；(2)AmB,p是q的必要不充分條件；

⑶A=B,p是q的充要條件；(4)A&B且ADB,p是q的既不充分也不必要條件.

3.A若四邊形ABCD為菱形,則AC1BD;反之,若AC1BD,則四邊形ABCD不一定

是菱形.故選A.

4.A因為甲是乙的充要條件,所以乙0甲；

又因為丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件,所以丙n乙，但乙=/丙.

綜上，丙n甲，但甲n/丙,即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件.

5.解析⑴在4ABC中,顯然有NA>NB=BC〉AC,所以p是q的充要條件.

(2)因為x=2且y=6=x+y=8,但x+y=8o/x=2且y=6,所以p是q的必要不充分條

件.

⑶因為P對應集合A={(1,2)},q對應集合B={(x,y)|x=l或y=2},

所以A是B的真子集，所以p是q的充分不必要條件.

6.B由題意得(1,3)是(m-2,m+2)的真子集，

令售譽，解得1忘后3,經檢驗,m=l和m=3均符合題意，

yliLi"乙

所以m的取值范圍是[1,3].

7.C設p,q對應的集合分別為A,B,則A={x|x2+x-6=0}={-3,2},B={x|mx+l=0},

由q是P的充分不必要條件,可得BgA,則B為。或{-3}或⑵，

①若B=0，則m=0;②若B={-3},則-3m+l=0,解得

③若B={2},則2m+l=0,解得m=1.所以m的所有取值構成的集合是信，詞.故選C.

8.解析⑴由B={x|2-aWxWl+2a}=。，得2-a>l+2a,解得a《,即a的取值范圍

是(-嗚

⑵由于“x￡A”是“x￡B”的必要條件，故B為A的子集，

當B=0時,由⑴知a<j,符合題意；

當B"時,]1+力工5,解得1,綜上可得,a的取值范圍為(-8,1].

G-a>1/

9.解析若選①,因為x￡A是x￡B成立的充分不必要條件，

所以立B,所以{；；：翼解得ae3.

故存在實數a￡[3,+8),使得x￡A是x￡B成立的充分不必要條件.

若選②,因為x￡A是x￡B成立的必要不充分條件，

所以我A,所以{；'登解得aWl,

又a>0,所以存在實薪a￡(0,1],使得x￡A是x￡B成立的必要不充分條件.

若選③,因為x￡A是x￡B成立的充要條件，

所以A=B,所以{:；:::方程組無解，

IJLICv1-f

所以不存在實數a,使得x￡A是x￡B成立的充要條件.

10.P集合A={x|x>—1},B={x|x》1},x￡A且x^B,.,.-1<X<1,

又,當T〈x〈l時,滿足x￡A且xqB,

.??“x￡A且x邨”的充要條件是“-1<XG”.故選D.

11.BCD由維恩圖可知,A不是BGA的充要條件,B,C,D都是BeA的充要條件,

故選BCD.

12.答案圖形P是平行四邊形(答案不唯一)

13.證明充分性：?.,a+b+c=0,「.c—a-b,代入方程ax?+bx+c=0,

得ax''+bx-a-b=0,即(xT)(ax+a+b)=0..,.方程ax?+bx+c=0有—^根為1.

必要性：?方程ax2+bx+c=0有一^^根為1,.*.x=l滿足方程ax2+bx+c=0,

/.aXl2+bXl+c=0,即a+b+c=0.

故關于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0.

14.證明①充分性:如果b=0,那么y=kx(kW0).當x=0時,y=0,

所以一次函數y=kx+b(k#0)的圖像經過坐標原點.

②必要性:因為一次函數y=kx+b(kWO)的圖像經過坐標原點，

所以當x=0時,y=0,即0?k+b=O,所以b=0.

綜上,一次函數y=kx+b(k#0)的圖像經過坐標原點的充要條件是b=0.

思維拓展對于充要條件的證明問題,可分別證明充分性與必要性,此時應注意分清

楚誰是條件,誰是結論,充分性是由條件成立來證明結論成立,而必要性則是由結

論成立證明條件成立；也可進行等價轉化,此時應注意每一步得出的結論均必須

能反推出得到這個結論的條件.

能力提升練

1.P已知a,b是實數，則"a<0且b〈0"不一定能推出“ab(a-b)>0"，比如當

a<b<0時,ab(a-b)<0;反之,若ab(a1b)>0,則a-b和ab同號即可,當a>b>0或

b<a<0或a<O<b時,均滿足ab(a-b)>0,故不能確定a和b的正負.故"a<0且b<0"

是“ab(a-b)>0”的既不充分也不必要條件.

2.13因為AUB=C且B不是A的子集，所以A是C的真子集，所以x￡A一定能得

到x￡C,但x￡C不一定能得到x￡A,所以“x￡C”是“x￡A”的必要不充分條

件.

3.APA中電路圖,開關S閉合,則燈泡L亮,而燈泡L亮時,開關S不一定閉合,

故A中p是q的充分不必要條件;B中電路圖,開關S閉合,則燈泡L亮,燈泡L亮,

則開關S一定閉合，故B中p是q的充要條件;C中電路圖,開關S閉合,則燈泡L

不一定亮,燈泡L亮,則開關S一定閉合,故C中p是q的必要不充分條件;D中電

路圖,開關S閉合,則燈泡L亮,而燈泡L亮,則開關S不一定閉合，故D中p是q

的充分不必要條件.故選AD.

4.CDA中，由a=b可以推出ac=bc,充分性成立,由ac=bc不能推出a=b,例如當

c=0,a=l,b=2時,1義0=2X0,1W2,所以必要性不成立,A中的命題是假命題;B中，

當a=0,b=-l時,02<(-1)2,不能推出a2>b2,充分性不成立,B中的命題是假命題;C

中，由a<3能推出a〈5,所以“a<5”是“a<3”的必要條件,C中的命題是真命

題;D中，由a+5是無理數可推出a是無理數,所以充分性成立,由a是無理數也可

推出a+5是無理數，所以必要性成立,D中的命題是真命題.故選CD.

5.8令x=l.8,y=0.9,滿足|x-y|<1,但<1.8>=2,<0.9>=1,<x>W〈y>;而當<x>=〈y>

時,必有Ix-y|<3,所以“Ix-y|〈1”是“<x>=<y>”的必要不充分條件.故選B.

6.ABC由AGB=B得BeA,所以“B