第08講函數的基本性質Ⅱ-奇偶性、周期性和對稱性（精講）題型目錄一覽①函數的奇偶性②函數奇偶性的應用③函數的周期性④函數的對稱性⑤函數性質的綜合應用一、知識點梳理一、知識點梳理1.函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數SKIPIF1<0的定義域內任意一個SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，那么函數SKIPIF1<0就叫做偶函數關于SKIPIF1<0軸對稱奇函數如果對于函數SKIPIF1<0的定義域內任意一個SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，那么函數SKIPIF1<0就叫做奇函數關于原點對稱注意：由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的任意一個SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也在定義域內(即定義域關于原點對稱)．2.函數的對稱性(1)若函數SKIPIF1<0為偶函數，則函數SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱．(2)若函數SKIPIF1<0為奇函數，則函數SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0對稱．(3)若SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱．(4)若SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0對稱．3.函數的周期性（1）周期函數：對于函數SKIPIF1<0，如果存在一個非零常數SKIPIF1<0，使得當SKIPIF1<0取定義域內的任何值時，都有SKIPIF1<0，那么就稱函數SKIPIF1<0為周期函數，稱SKIPIF1<0為這個函數的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數SKIPIF1<0的所有周期中存在一個最小的正數，那么稱這個最小整數叫做SKIPIF1<0的最小正周期.【常用結論】1.奇偶性技巧（1）若奇函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處有意義，則有SKIPIF1<0；（2）對于運算函數有如下結論：奇SKIPIF1<0奇=奇；偶SKIPIF1<0偶=偶；奇SKIPIF1<0偶=非奇非偶；奇SKIPIF1<0奇=偶；奇SKIPIF1<0偶=奇；偶SKIPIF1<0偶=偶.(3)常見奇偶性函數模型奇函數：=1\*GB3①函數SKIPIF1<0或函數SKIPIF1<0．=2\*GB3②函數SKIPIF1<0．=3\*GB3③函數SKIPIF1<0或函數SKIPIF1<0=4\*GB3④函數SKIPIF1<0或函數SKIPIF1<0．注意：關于=1\*GB3①式，可以寫成函數SKIPIF1<0或函數SKIPIF1<0．偶函數：=1\*GB3①函數SKIPIF1<0．=2\*GB3②函數SKIPIF1<0．=3\*GB3③函數SKIPIF1<0類型的一切函數．2.周期性技巧SKIPIF1<03.函數的的對稱性與周期性的關系（1）若函數SKIPIF1<0有兩條對稱軸SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0是周期函數，且SKIPIF1<0；（2）若函數SKIPIF1<0的圖象有兩個對稱中心SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0是周期函數，且SKIPIF1<0；（3）若函數SKIPIF1<0有一條對稱軸SKIPIF1<0和一個對稱中心SKIPIF1<0，則函數SKIPIF1<0是周期函數，且SKIPIF1<0.4.對稱性技巧（1）若函數SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0．（2）若函數SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0．（3）函數SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱，函數SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關于原點對稱．二、題型分類精講二、題型分類精講真題刷刷刷真題刷刷刷一、單選題1．（2021·全國·高考真題）下列函數中是增函數的為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據基本初等函數的性質逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的減函數，不合題意，舍.對于B，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的減函數，不合題意，舍.對于C，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0為減函數，不合題意，舍.對于D，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的增函數，符合題意，故選：D.2．（2021·全國·統考高考真題）設函數SKIPIF1<0，則下列函數中為奇函數的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】分別求出選項的函數解析式，再利用奇函數的定義即可.【詳解】由題意可得SKIPIF1<0，對于A，SKIPIF1<0不是奇函數；對于B，SKIPIF1<0是奇函數；對于C，SKIPIF1<0，定義域不關于原點對稱，不是奇函數；對于D，SKIPIF1<0，定義域不關于原點對稱，不是奇函數.故選：B【點睛】本題主要考查奇函數定義，考查學生對概念的理解，是一道容易題.3．（2021·全國·高考真題）設SKIPIF1<0是定義域為R的奇函數，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由題意利用函數的奇偶性和函數的遞推關系即可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】由題意可得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了函數的奇偶性和函數的遞推關系式，靈活利用所給的條件進行轉化是解決本題的關鍵.4．（2021·浙江·統考高考真題）已知函數SKIPIF1<0，則圖象為如圖的函數可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由函數的奇偶性可排除A、B，結合導數判斷函數的單調性可判斷C，即可得解.【詳解】對于A，SKIPIF1<0，該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除A；對于B，SKIPIF1<0，該函數為非奇非偶函數，與函數圖象不符，排除B；對于C，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，與圖象不符，排除C.故選：D.5．（2022·全國·統考高考真題）如圖是下列四個函數中的某個函數在區間SKIPIF1<0的大致圖像，則該函數是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由函數圖像的特征結合函數的性質逐項排除即可得解.【詳解】設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故排除B;設SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故排除C;設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故排除D.故選：A.6．（2021·全國·統考高考真題）已知函數SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數，SKIPIF1<0為奇函數，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】推導出函數SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為周期的周期函數，由已知條件得出SKIPIF1<0，結合已知條件可得出結論.【詳解】因為函數SKIPIF1<0為偶函數，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因為函數SKIPIF1<0為奇函數，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故函數SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為周期的周期函數，因為函數SKIPIF1<0為奇函數，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，其它三個選項未知.故選：B.7．（2022·全國·統考高考真題）已知函數SKIPIF1<0的定義域為R，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根據題意賦值即可知函數SKIPIF1<0的一個周期為SKIPIF1<0，求出函數一個周期中的SKIPIF1<0的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0為偶函數，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，從而可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0的一個周期為SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以一個周期內的SKIPIF1<0．由于22除以6余4，所以SKIPIF1<0．故選：A．[方法二]：【最優解】構造特殊函數由SKIPIF1<0，聯想到余弦函數和差化積公式SKIPIF1<0，可設SKIPIF1<0，則由方法一中SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合條件，因此SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于22除以6余4，所以SKIPIF1<0．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數的性質解題，簡單明了，是該題的最優解.8．（2022·全國·統考高考真題）已知函數SKIPIF1<0的定義域均為R，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0對稱，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據對稱性和已知條件得到SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后根據條件得到SKIPIF1<0的值，再由題意得到SKIPIF1<0從而得到SKIPIF1<0的值即可求解.【詳解】因為SKIPIF1<0的圖像關于直線SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，聯立得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的圖像關于點SKIPIF1<0中心對稱，因為函數SKIPIF1<0的定義域為R，所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故選：D【點睛】含有對稱軸或對稱中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據已知條件進行恰當的轉化，然后得到所需的一些數值或關系式從而解題.9．（2021·全國·統考高考真題）設函數SKIPIF1<0的定義域為R，SKIPIF1<0為奇函數，SKIPIF1<0為偶函數，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】通過SKIPIF1<0是奇函數和SKIPIF1<0是偶函數條件，可以確定出函數解析式SKIPIF1<0，進而利用定義或周期性結論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因為SKIPIF1<0是奇函數，所以SKIPIF1<0①；因為SKIPIF1<0是偶函數，所以SKIPIF1<0②．令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，由②得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．思路一：從定義入手．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．[方法二]：因為SKIPIF1<0是奇函數，所以SKIPIF1<0①；因為SKIPIF1<0是偶函數，所以SKIPIF1<0②．令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，由②得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由①得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．故選：D．【點睛】在解決函數性質類問題的時候，我們通常可以借助一些二級結論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果．二、多選題10．（2022·全國·統考高考真題）已知函數SKIPIF1<0及其導函數SKIPIF1<0的定義域均為SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為偶函數，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】方法一：轉化題設條件為函數的對稱性，結合原函數與導函數圖象的關系，根據函數的性質逐項判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究對于SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為偶函數，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0，故C正確；對于SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為偶函數，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，由①求導，和SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，因為其定義域為R，所以SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱，從而周期SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正確，D錯誤；若函數SKIPIF1<0滿足題設條件，則函數SKIPIF1<0（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定SKIPIF1<0的函數值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優解】特殊值，構造函數法.由方法一知SKIPIF1<0周期為2，關于SKIPIF1<0對稱，故可設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為偶函數，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故C正確；函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象分別關于直線SKIPIF1<0對稱，又SKIPIF1<0，且函數SKIPIF1<0可導，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正確，D錯誤；若函數SKIPIF1<0滿足題設條件，則函數SKIPIF1<0（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定SKIPIF1<0的函數值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據題意賦值變換得到函數的性質，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據題意得出的性質構造特殊函數，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優解．三、填空題11．（2021·全國·統考高考真題）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數SKIPIF1<0_______．①SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0是奇函數．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，SKIPIF1<0均滿足）【分析】根據冪函數的性質可得所求的SKIPIF1<0.【詳解】取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，滿足①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時有SKIPIF1<0，滿足②，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是奇函數，滿足③.故答案為：SKIPIF1<0（答案不唯一，SKIPIF1<0均滿足）四、雙空題12．（2022·全國·統考高考真題）若SKIPIF1<0是奇函數，則SKIPIF1<0_____，SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【分析】根據奇函數的定義即可求出．【詳解】[方法一]：奇函數定義域的對稱性若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，不關于原點對稱SKIPIF1<0若奇函數的SKIPIF1<0有意義，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數SKIPIF1<0為奇函數，定義域關于原點對稱，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．[方法二]：函數的奇偶性求參SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0函數SKIPIF1<0為奇函數SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0[方法三]：因為函數SKIPIF1<0為奇函數，所以其定義域關于原點對稱．由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即函數的定義域為SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，在定義域內滿足SKIPIF1<0，符合題意．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．題型一函數的奇偶性策略方法判斷函數奇偶性的方法(1)定義法：(2)圖象法：(3)性質法：在公共定義域內有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．【典例1】判斷下列函數的奇偶性：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0．【答案】(1)偶函數(2)奇函數(3)奇函數(4)非奇非偶函數【分析】（1）利用偶函數的定義可判斷函數的奇偶性；（2）利用奇函數的定義可判斷函數的奇偶性；（3）利用奇函數的定義可判斷函數的奇偶性；（4）利用反例可判斷該函數為非奇非偶函數.【詳解】（1）SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，它關于原點對稱.SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為偶函數.（2）SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，它關于原點對稱.SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為奇函數.（3）SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，它關于原點對稱.SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為奇函數.（4）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為非奇非偶函數.【題型訓練】一、單選題1．函數SKIPIF1<0的奇偶性是（）A．是奇函數，不是偶函數B．是偶函數，不是奇函數C．既是奇函數，也是偶函數D．非奇非偶函數【答案】A【分析】由奇偶性定義直接判斷即可.【詳解】SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是奇函數，不是偶函數.故選：A.2．已知奇函數SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，根據奇函數即可求解.【詳解】當SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為奇函數，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.故選：A.3．若函數SKIPIF1<0為奇函數，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．1 C．0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0為奇函數求得SKIPIF1<0，即可由分段函數求值.【詳解】函數SKIPIF1<0為奇函數，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：C.4．函數SKIPIF1<0的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數的奇偶性排除AB，再由特殊值排除D即可得解.【詳解】因為SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，關于原點對稱，所以SKIPIF1<0，即函數為奇函數，排除AB，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，排除D.故選：C二、填空題5．函數SKIPIF1<0為偶函數，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由偶函數的定義求解．【詳解】SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是偶函數，∴SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．6．SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.【答案】4【分析】令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0為奇函數，再根據奇函數的性質求解.【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為奇函數，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故答案為：4.7．已知函數SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的解集是__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用奇偶性求出函數SKIPIF1<0的解析式SKIPIF1<0，分類討論即可求解.【詳解】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為函數SKIPIF1<0是定義在R上的奇函數，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要解不等式SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，綜上，不等式的解集為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.三、解答題8．已知函數SKIPIF1<0(1)求函數SKIPIF1<0解析式；(2)判斷函數SKIPIF1<0的奇偶性并加以證明【答案】(1)SKIPIF1<0(2)奇函數，證明見解析【分析】（1）利用換元法，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0；（2）先求函數定義域，利用奇偶性的定義進行證明.【詳解】（1）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）奇函數；證明：定義域為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數.9．已知函數SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)令SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0為奇函數；(3)若銳角SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）將SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別代入解析式求解即可；（2）根據奇偶性的定義證明即可；（3）根據奇偶性將不等式化為SKIPIF1<0，利用單調性定義可證得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的增函數，由此可得SKIPIF1<0，結合三角函數知識可求得結果.【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為奇函數.（3）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的增函數，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.題型二函數奇偶性的應用策略方法已知函數奇偶性可以解決的三個問題【典例1】若函數SKIPIF1<0是定義在R上的奇函數，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．7【答案】C【分析】求出SKIPIF1<0時的解析式后，代入SKIPIF1<0可求出結果.【詳解】因為SKIPIF1<0為奇函數，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C【典例2】若函數SKIPIF1<0是偶函數，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0不能確定，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能確定 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據定義域關于原點對稱，求得SKIPIF1<0，再根據SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的值，即可求解.【詳解】因為函數SKIPIF1<0是偶函數，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，因為函數SKIPIF1<0為偶函數，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：D.【典例3】偶函數SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，且在區間SKIPIF1<0與SKIPIF1<0上分別遞減和遞增，使SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據題中所給條件，可畫出符合全部條件的函數圖象輔助做題.【詳解】根據題目條件，想象函數圖象如下:因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故選：B.【題型訓練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）若函數SKIPIF1<0為奇函數，則實數SKIPIF1<0的值為（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據題意可得SKIPIF1<0，計算可得SKIPIF1<0，經檢驗均符合題意，即可得解.【詳解】由SKIPIF1<0為奇函數，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，符合題意，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0符合題意，故選：D2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0為偶函數，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用偶函數的性質直接求解即可.【詳解】由已知得，當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為偶函數，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.3．（2023·安徽·校聯考模擬預測）已知函數SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的奇函數，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0＋1 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由定義在SKIPIF1<0上的奇函數有SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，再由SKIPIF1<0可得出答案.【詳解】函數SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的奇函數，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：B4．（2023·全國·高三專題練習）定義在SKIPIF1<0上的偶函數SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上單調遞增，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據偶函數及單調性解不等式即可.【詳解】由題意，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選:D.5．（2023春·貴州黔東南·高三校考階段練習）已知偶函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，則SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用偶函數的對稱性可得SKIPIF1<0，即可求解集.【詳解】由偶函數的對稱性知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，則在SKIPIF1<0上遞減，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以不等式解集為SKIPIF1<0.故選：D6．（2023·湖南長沙·湖南師大附中校考模擬預測）已知函數SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，且SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】依題意作函數圖像，根據單調性和奇偶性求解.【詳解】依題意，函數的大致圖像如下圖：因為SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數，在SKIPIF1<0上單調遞減，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，且SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即原不等式的解集為SKIPIF1<0；故選：C.二、多選題7．（2023·全國·高三專題練習）已知函數SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上是偶函數，在區間SKIPIF1<0上是單調函數，且SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【分析】根據函數的單調性和奇偶性直接求解.【詳解】函數SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上是單調函數，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故此函數在區間SKIPIF1<0上是減函數．由已知條件及偶函數性質，知函數SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上是增函數．對于A，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故A錯誤；對于B，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故B正確；對于C，SKIPIF1<0，故C錯誤；對于D，SKIPIF1<0，故D正確．故選:BD.8．（2023·山東菏澤·山東省東明縣第一中學校聯考模擬預測）已知函數SKIPIF1<0的定義域為R，SKIPIF1<0為奇函數，且對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則（

）A．SKIPIF1<0為奇函數 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】根據函數定義換算可得SKIPIF1<0為偶函數，根據偶函數和奇函數性質可知SKIPIF1<0為周期函數，再根據函數周期性和函數特殊值即可得出選項.【詳解】因為SKIPIF1<0為奇函數，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數，A錯誤；SKIPIF1<0為奇函數，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B正確；SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的圖象關于點SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C正確；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以4為周期的函數，SKIPIF1<0，D正確．故選：BCD．三、填空題9．（2023·廣東潮州·統考二模）已知函數SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是自然對數的底數，SKIPIF1<0）是奇函數，則實數SKIPIF1<0的值為______.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用奇函數的性質可得出SKIPIF1<0，結合對數運算可得出實數SKIPIF1<0的值.【詳解】對于函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以，函數SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，因為函數SKIPIF1<0為奇函數，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.10．（2023·河南周口·統考模擬預測）已知函數SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，且SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為______.【答案】SKIPIF1<0【分析】由題意和偶函數的性質可知函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數，在SKIPIF1<0上為增函數，結合SKIPIF1<0，分類討論當SKIPIF1<0、SKIPIF1<0時，利用函數的單調性解不等式即可.【詳解】因為函數SKIPIF1<0是定義在R上的偶函數，且在SKIPIF1<0上單調遞減所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，綜上，不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.11．（2023春·江蘇南通·高三海安高級中學校考階段練習）定義在SKIPIF1<0上的函數SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0為偶函數，SKIPIF1<0為奇函數，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.【答案】1【分析】根據SKIPIF1<0為偶函數、SKIPIF1<0為奇函數的性質，利用賦值法可得答案.【詳解】若SKIPIF1<0為偶函數，SKIPIF1<0為奇函數，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：1.12．（2023春·福建廈門·高三廈門一中校考期中）已知函數SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為奇函數，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________.【答案】SKIPIF1<0【分析】推導出函數SKIPIF1<0為周期函數，確定該函數的周期，計算出SKIPIF1<0的值，結合SKIPIF1<0以及周期性可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】因為SKIPIF1<0為奇函數，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，在等式SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，①所以，SKIPIF1<0，②由①②可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，函數SKIPIF1<0為周期函數，且該函數的周期為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0