第38講兩條直線的位置關系（精講）題型目錄一覽①兩條直線的位置關系②兩條直線的交點和距離問題③對稱問題Ⅰ-點關于點和線關于點④對稱問題Ⅱ-點關于線和線關于線⑤直線的綜合問題一、知識點梳理一、知識點梳理一、兩直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現，如表所示．兩直線方程平行垂直SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（斜率存在）SKIPIF1<0（斜率不存在）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0中有一個為0，另一個不存在．二、三種距離1．兩點間的距離平面上兩點SKIPIF1<0的距離公式為SKIPIF1<0．特別地，原點O（0，0）與任一點P（x，y）的距離SKIPIF1<02．點到直線的距離點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0特別地，若直線為l：x=m，則點SKIPIF1<0到l的距離SKIPIF1<0；若直線為l：y=n，則點SKIPIF1<0到l的距離SKIPIF1<03．兩條平行線間的距離已知SKIPIF1<0是兩條平行線，求SKIPIF1<0間距離的方法：（1）轉化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離．（2）設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0注：兩平行直線方程中，x，y前面對應系數要相等．4．雙根式雙根式SKIPIF1<0型函數求解，首先想到兩點間的距離，或者利用單調性求解．三、直線中的對稱問題1．點關于點對稱點關于點對稱的本質是中點坐標公式：設點SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0，則根據中點坐標公式，有SKIPIF1<0，可得對稱點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<02．點關于直線對稱點SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱的點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0點，則SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，又因為SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，故可得SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0即可．3．直線關于點對稱法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；法二：求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．4．直線關于直線對稱求直線SKIPIF1<0，關于直線SKIPIF1<0（兩直線不平行）的對稱直線SKIPIF1<0第一步：聯立SKIPIF1<0算出交點SKIPIF1<0第二步：在SKIPIF1<0上任找一點（非交點）SKIPIF1<0，利用點關于直線對稱的秒殺公式算出對稱點SKIPIF1<0第三步：利用兩點式寫出SKIPIF1<0方程5．常見的一些特殊的對稱點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸的對稱點為SKIPIF1<0，關于SKIPIF1<0軸的對稱點為SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0，關于直線SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0，關于直線SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0，關于直線SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0．四、直線系方程1．過定點直線系過已知點SKIPIF1<0的直線系方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為參數）．2．斜率為定值直線系斜率為SKIPIF1<0的直線系方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是參數）．3．平行直線系與已知直線SKIPIF1<0平行的直線系方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為參數）．4．垂直直線系與已知直線SKIPIF1<0垂直的直線系方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為參數）．5．過兩直線交點的直線系過直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點的直線系方程：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為參數）．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一兩條直線的位置關系策略方法由一般式確定兩直線位置關系的方法判斷兩直線的位置關系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不全為0），SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不全為0），則：當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0相交；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0直線平行或重合，代回檢驗；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．【典例1】（單選題）若直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0?與直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0?的值為（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0? C．SKIPIF1<0?或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（單選題）直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0或SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【題型訓練】一、單選題1．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，則實數SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．02．直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0且與直線SKIPIF1<0垂直，則SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．若平面內兩條平行線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0間的距離為SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0（

）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或24．已知直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．知直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．26．已知直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直，若直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知SKIPIF1<0，則“直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件，二、多選題8．已知直線SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則（

）A．當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直B．若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0在兩坐標軸上的截距相等9．已知直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則（

）A．直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0 B．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0C．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0 D．當SKIPIF1<0時，兩直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的距離為3三、填空題10．已知點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，則過點P且與直線l相交的一條直線的方程是．11．若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則SKIPIF1<0.12．已知兩條平行直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0間的距離為.13．已知經過點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0的直線l1與經過點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0互相垂直，則實數SKIPIF1<0.14．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的內角平分線方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0的正切值為．題型二兩條直線的交點和距離問題策略方法1．求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程，也可借助直線系方程，利用待定系數法求出直線方程，這樣能簡化解題過程．2．點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件(1)求點到直線的距離時，應先化直線方程為一般式．(2)求兩平行線之間的距離時，應先將方程化為一般式且x，y的系數對應相等．【典例1】（單選題）若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點在第一象限，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（單選題）設直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點為P，則P到直線SKIPIF1<0的距離為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓練】一、單選題1．坐標原點O到直線l：SKIPIF1<0的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點在直線SKIPIF1<0上，則實數SKIPIF1<0（

）A．4 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，給出命題SKIPIF1<0：直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點關于SKIPIF1<0軸對稱，SKIPIF1<0：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點在直線SKIPIF1<0上．則（

）A．SKIPIF1<0假SKIPIF1<0真 B．SKIPIF1<0真SKIPIF1<0真 C．SKIPIF1<0假SKIPIF1<0假 D．SKIPIF1<0真SKIPIF1<0假4．設SKIPIF1<0為動點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．35．若點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為d，則d的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知實數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知兩條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當兩平行線距離最大時，SKIPIF1<0（

）A．3 B．4 C．5 D．68．若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知直線SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題10．已知直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則（

）A．直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0 B．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0C．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0 D．當SKIPIF1<0時，兩直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的距離為311．設直線系SKIPIF1<0，下列命題中的真命題有（

）A．SKIPIF1<0中所有直線均經過一個定點B．存在定點SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0中的任一條直線上C．對于任意整數SKIPIF1<0，存在正SKIPIF1<0邊形，其所有邊均在SKIPIF1<0中的直線上D．SKIPIF1<0中的直線所能圍成的正三角形面積都相等12．函數SKIPIF1<0圖象上一點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題13．經過兩條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交點，且直線的一個方向向量SKIPIF1<0的直線方程為．14．已知兩條平行直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0間的距離為.15．已知直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交點坐標為．（用含A，B的式子表示）16．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0（含端點）上移動，則SKIPIF1<0的最小值為.17．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的內角平分線方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0的正切值為．18．SKIPIF1<0的三個頂點到直線SKIPIF1<0的距離分別為1，2，3，則該三角形的重心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（答案不唯一，填一個即可）．題型三對稱問題Ⅰ-點關于點和線關于點策略方法對稱問題的求解方法(1)點關于點：點P(x，y)關于點Q(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))(2)線關于點：直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱問題來解決．【典例1】（單選題）已知不同的兩點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．14 C．SKIPIF1<0 D．5【典例2】（單選題）不論實數SKIPIF1<0取何值時，直線SKIPIF1<0都過定點SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0的對稱直線方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓練】一、單選題1．點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0對稱，則一定在直線SKIPIF1<0上的點為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．將一張坐標紙折疊一次，使點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，求折痕所在直線是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關于原點對稱，若SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點M，則直線2x＋3y－6＝0關于點M對稱的直線方程為（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝05．直線SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0對稱的直線方程為（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝06．已知點SKIPIF1<0且線段SKIPIF1<0的垂直平分線的方程是SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．17．在SKIPIF1<0中，已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0邊的中點M在SKIPIF1<0軸上，SKIPIF1<0邊的中點N在SKIPIF1<0軸上，則直線SKIPIF1<0的方程為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型四對稱問題Ⅱ-點關于線和線關于線策略方法對稱問題的求解方法(1)點關于線：點A(a，b)關于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點A′(m，n)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))(2)線關于線：直線關于直線的對稱可轉化為點關于直線的對稱問題來解決．【典例1】（單選題）已知點A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）關于直線4x+3y=11對稱，則a，b的值為（）.A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2C．a=2，b=4 D．a=4，b=2【典例2】（單選題）已知一條光線從點SKIPIF1<0射出，經直線SKIPIF1<0反射后經過點SKIPIF1<0，則反射光線所在直線的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓練】一、單選題1．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為SKIPIF1<0，若將軍從點SKIPIF1<0處出發，河岸線所在直線方程為SKIPIF1<0，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．一條光線從點SKIPIF1<0射出，傾斜角為SKIPIF1<0，遇SKIPIF1<0軸后反射，則反射光線的直線方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知點P在直線SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，一束光線從點SKIPIF1<0出發經AC反射后，再經BC上點D反射，落到點SKIPIF1<0上．則點D的坐標為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題6．點SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0的對稱點的坐標是．7．如圖已知SKIPIF1<0，若光線SKIPIF1<0從點SKIPIF1<0射出，直線SKIPIF1<0反射后到直線SKIPIF1<0上，在經直線SKIPIF1<0反射回原點SKIPIF1<0，則光線SKIPIF1<0所在的直線方程為．8．已知SKIPIF1<0的頂點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，一條角平分線所在直線為SKIPIF1<0，則點A坐標為.9．在等腰直角三角形ABC中，SKIPIF1<0，點P是邊AB上異于A，B的一點，光從點P出發經SKIPIF1<0反射后又回到點P，反射點為Q，R，若光線QR經過SKIPIF1<0的重心，則SKIPIF1<0.10．以SKIPIF1<0為一個頂點，試在x軸上找一點B，直線l：SKIPIF1<0上找一點C，構成SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小周長為.題型五直線的綜合問題策略方法處理直線方程綜合應用的兩大策略(1)求解與直線方程有關的最值問題，先求出斜率或設出直線方程，建立目標函數，再利用基本不等式求解最值．(2)含有參數的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，即能夠看出“動中有定”．【典例1】（單選題）過定點A的直線SKIPIF1<0與過定點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不重合），則SKIPIF1<0面積的最大值為（

）