第40講圓與圓的位置關系及圓的綜合性問題（精講）題型目錄一覽①圓與圓的位置關系②圓的公共弦問題③圓的公切線問題④圓的綜合性問題一、知識點梳理一、知識點梳理一、兩圓位置關系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關系確定，具體是：設兩圓SKIPIF1<0的半徑分別是SKIPIF1<0，（不妨設SKIPIF1<0），且兩圓的圓心距為SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0兩圓相交；SKIPIF1<0兩圓外切；SKIPIF1<0兩圓相離；SKIPIF1<0兩圓內切；SKIPIF1<0兩圓內含（SKIPIF1<0時兩圓為同心圓）設兩個圓的半徑分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓心距為SKIPIF1<0，則兩圓的位置關系可用下表來表示：位置關系相離外切相交內切內含幾何特征SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0代數特征無實數解一組實數解兩組實數解一組實數解無實數解公切線條數43210【常用結論】關于圓的切線的幾個重要結論（1）過圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0的圓的切線方程為SKIPIF1<0．（2）過圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0的圓的切線方程為SKIPIF1<0（3）過圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0的圓的切線方程為SKIPIF1<0（4）求過圓SKIPIF1<0外一點SKIPIF1<0的圓的切線方程時，應注意理解：①所求切線一定有兩條；②設直線方程之前，應對所求直線的斜率是否存在加以討論．設切線方程為SKIPIF1<0，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關于SKIPIF1<0的方程，求出SKIPIF1<0值．若求出的SKIPIF1<0值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的SKIPIF1<0值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一圓與圓的位置關系策略方法幾何法判斷圓與圓的位置的步驟(1)確定兩圓的圓心坐標和半徑長．(2)利用平面內兩點間的距離公式求出圓心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結論．【典例1】已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0．試求SKIPIF1<0為何值時，兩圓SKIPIF1<0：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內含．【題型訓練】一、單選題1．兩圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的位置關系是（

）A．相離 B．相交 C．內切 D．外切2．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關系為（

）A．相交 B．外切 C．外離 D．內含3．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內切，則實數a的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0或2 D．1或SKIPIF1<04．若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，過點SKIPIF1<0的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則使得兩圓相交的一個充分不必要條件可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相外切，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．47．已知點P，Q分別為圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0上一點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．4 B．5 C．7 D．108．“SKIPIF1<0”是“圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0存在公切線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知圓SKIPIF1<0和兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若圓C上至少存在一點P，使得SKIPIF1<0，則實數a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．在平面直角坐標系內，點O是坐標原點，動點B，C滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A為線段SKIPIF1<0中點，P為圓SKIPIF1<0任意一點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題11．下列圓中與圓SKIPIF1<0相切的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．已知圓SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．圓C的半徑為18B．圓C截x軸所得的弦長為SKIPIF1<0C．圓C與圓SKIPIF1<0相外切D．若圓C上有且僅有兩點到直線SKIPIF1<0的距離為1，則實數m的取值范圍是SKIPIF1<013．已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，下列說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交B．若SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外離C．若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交，則SKIPIF1<0D．若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<014．已知圓SKIPIF1<0和兩點SKIPIF1<0，若圓SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可能的取值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題15．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相內切，則實數m的值為．16．寫出一個與兩坐標軸和圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0都相切的一個圓的標準方程為．17．滿足圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交的一個a值為．18．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切，此時直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截的弦長為．19．若圓SKIPIF1<0上存在點P，且點P關于y軸的對稱點Q在圓SKIPIF1<0上，則r的取值范圍是.20．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內切，且圓SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相切，則圓SKIPIF1<0的圓心的軌跡方程為．四、解答題21．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0、圓SKIPIF1<0外切，求圓心SKIPIF1<0的軌跡方程SKIPIF1<022．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切.(1)求實數SKIPIF1<0的值；(2)若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于A，SKIPIF1<0兩點，求弦SKIPIF1<0的長.題型二圓的公共弦問題策略方法兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．【典例1】已知圓C的圓心為SKIPIF1<0，且與直線SKIPIF1<0相切．(1)求圓C的方程；(2)求圓C與圓SKIPIF1<0的公共弦的長．【題型訓練】一、單選題1．過圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交點的直線方程為（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于A，B兩點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦恰為圓SKIPIF1<0的直徑，則圓SKIPIF1<0的面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦所在直線恒過點P，則點P的坐標為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知圓C過圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共點．若圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓C的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的動點，過點SKIPIF1<0引圓SKIPIF1<0的兩條切線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為切點，則直線SKIPIF1<0經過定點（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦所在直線恒過點SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題8．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則（

）A．兩圓的圓心的距離為25B．兩圓相交C．兩圓的公共弦所在直線方程為SKIPIF1<0D．兩圓的公共弦長為SKIPIF1<09．已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0有兩條公切線B．直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0C．圓SKIPIF1<0上存在兩點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0D．圓SKIPIF1<0上的點到直線SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<010．圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0的交點為A，B，則（）A．公共弦AB所在直線的方程為SKIPIF1<0B．線段AB中垂線方程為SKIPIF1<0C．公共弦AB的長為SKIPIF1<0D．P為圓SKIPIF1<0上一動點，則P到直線AB距離的最大值為SKIPIF1<011．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，則（

）A．若SKIPIF1<0的半徑為1，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交弦所在的直線為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0截SKIPIF1<0所得的最短弦長為SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0三、填空題12．圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦所在直線的方程為．13．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦經過點M，則SKIPIF1<0．14．若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交，且公共弦長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.15．過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線,切點分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則直線SKIPIF1<0的方程為.題型三圓的公切線問題策略方法圓的切線問題（1）圓的切線方程的求法=1\*GB3①點SKIPIF1<0在圓上，法一：利用切線的斜率SKIPIF1<0與圓心和該點連線的斜率SKIPIF1<0的乘積等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．法二：圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離等于半徑SKIPIF1<0．=2\*GB3②點SKIPIF1<0在圓外，則設切線方程：SKIPIF1<0，變成一般式：SKIPIF1<0，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出SKIPIF1<0．注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．（2）常見圓的切線方程過圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0的切線方程是SKIPIF1<0；過圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0的切線方程是SKIPIF1<0．過圓SKIPIF1<0外一點SKIPIF1<0作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為SKIPIF1<0過曲線上SKIPIF1<0，做曲線的切線，只需把SKIPIF1<0替換為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0替換為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0替換為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0替換為SKIPIF1<0即可，因此可得到上面的結論．【典例1】證明圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0內切，并求它們的公切線方程．【題型訓練】一、單選題1．圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，則兩圓的一條公切線方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0公切線的條數為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知直線SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0的切線，并且點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是2，這樣的直線SKIPIF1<0有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條4．已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，則滿足條件的直線l的條數為（

）A．2 B．3 C．4 D．55．已知圓心均在SKIPIF1<0軸的兩圓外切，半徑分別為SKIPIF1<0，則兩圓公切線的斜率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．“SKIPIF1<0”是“圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0有公切線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條8．若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有且僅有3條公切線，則m=（

）A．14 B．28 C．9 D．SKIPIF1<09．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0：SKIPIF1<0恰好有4條公切線，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題10．與圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都相切的直線的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0B．圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有四條公切線C．點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，則線段SKIPIF1<0長的最大值為SKIPIF1<0D．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0一定相交，且相交的弦長最小值為SKIPIF1<012．已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0有兩條公切線B．直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0C．圓SKIPIF1<0上存在兩點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0D．圓SKIPIF1<0上的點到直線SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<0三、填空題13．圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公切線方程為.14．已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0，則過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都相切的直線方程為．15．已知圓SKIPIF1<0.若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有三條公切線，則SKIPIF1<0的值為.16．已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則SKIPIF1<0為.題型四圓的綜合性問題策略方法幾何法解決直線與圓的綜合問題(1)處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構成直角三角形．(2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關系解決問題．【典例1】已知直線SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0關于原點對稱，若直線SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓練】一、單選題1．過點SKIPIF1<0作圓C：SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別為A，B，則直線SKIPIF1<0的方程為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．漢代初年成書的《淮南萬畢術》記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則見四鄰矣”．這是中國古代入民利用平面鏡反射原理的首個實例，體現了傳統文化中的數學智慧．在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，一條光線從點SKIPIF1<0射出，經SKIPIF1<0軸反射后的光線所在的直線與圓SKIPIF1<0相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或1 C．1 D．23．已知點SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的交點，點SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上一動點，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如圖，在SKIPIF1<0平面上有一系列點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0…，對每個正整數SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0位于函數SKIPIF1<0的圖像上，以點SKIPIF1<0為圓心的SKIPIF1<0都與SKIPIF1<0軸相切，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0外切.若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項之和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸分別交于兩點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題7．已知直線SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心坐標為SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．直線SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0截得的最短弦長為SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0時，圓SKIPIF1<0上存在無數對點關于直線SKIPIF1<0