高考文科立體幾何解答題練習

(考查異面直線夾角、線面角、點到平面距離、體積、表面積)

一、解答題(本大題共11小題，共132.0分)

1.(文科生做)如圖，四棱錐P—2BCD中，P21底面

ABCD,AB//CD,AD=CD=1,Z.BAD=120°,

PA=V3,^ACB=90°,M是線段P。上的一點不

包括端點.

(1)求證：BC1平面PAC；

(2)求A點到平面PCD的距離;

(3)試確定點M的位置，使直線MA與平面PCD所成角的正弦值為督.

2.如圖所示，在四棱錐P-中，底面ABC。是邊長為2的正方形，側面為

正三角形，且面PAD1面A8CD,E、F分別為棱AB、PC的中點.

(1)求證：EF〃平面PAD；

(2)(文科)求三棱錐B-EFC的體積；(理科)求二面角P-EC-D的正切值.

3.（文科）設A在平面BCD內的射影是直角三角形28

的斜邊8。的中點O,

AC-BC=1,CD=V2,

求（1）4C與平面BC。所成角的大小;

（2）異面直線AB和CD的大小.

4.在長方體ABC。—a/iGA中，AB=2,BB[=

BC=1,E為AG的中點，連結ED,EC,匹和

DB.

（I）求證：平面EDB1平面EBC-,

（理科生做）（II）求二面角E-DB-C的正切值；

（文科生做）（U）求點A到平面DBE的距離.

第2頁，共19頁

5.(文科)在如圖所示的五面體ABC。跖中，AB//CD,AB=2AD=2,^ADC=

ABCD=120°,四邊形EDCB是正方形，二面角￡一。。一4的大小為90。.

(1)求證：直線4。1平面BDE

(2)求點D到平面ABE的距離.

6.(文科)四棱鏡P中，PD1平面ABC。，2ADAB=BC=2a,AD//BC,

PD=V3a,/.DAB=60°,。是PB的中點.

(I)若平面24。C平面PBC=I,求證：1//BC-,

(H)求證：DQ1PC.

7.如圖，在三棱錐S-4BC中，側面與側面SAC均為

等邊三角形，Z-BAC=90°,。為2C中點.

(1)證明：S。！平面ABC；

(2)(理科)求二面角4-SC-8的余弦值.

(文科)若4B=2,求三棱錐4-SBC的體積.

8.如圖所示的幾何體中，ABC—4tBic1為三棱柱，且441，平面ABC,=AC,

四邊形ABC。為平行四邊形，AD=2CD,^ADC=60°.

(I),求證：AC11平面AMCD；

(U)若CD=2,求三棱誰6-&CD的體積(文科做).

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9.如圖，在三棱柱4BC—Ai81cl中，BBiJ_平面ABC,^BAC=90。，AC=AB=AA1,

E,G分別是BC,C】C的中點.

(1)求證：4E181C；

(2)(文科生答)求異面直線AE與&C所成的角的大小;

(理科生答)求直線AC與平面AEG所角的余弦值.

10.如圖，四邊形ECBF是直角梯形,NECB=90°,EF//BC,EF=2,BC=4,又AC=2,

乙4c8=120。，ABLEC,直線AF與直線EC所成的角為60。.

AB

（1）求證：平面瓦4c平面ABC;

（2）（文科）求三棱錐E-凡4c的體積.

11.如圖，在四棱錐P—HBCD中，PAIjRffiABCD,ADLAB,AB//DC,AD=DC=

AP=2,4B=1,點E為棱PC的中點.

（1）（理科生做）證明：BELCD-,

（文科生做）證明：BE〃平面PAD；

（2）（理科生做）若/為棱PC上一點，滿足8尸1AC,求二面角尸-AB-P的余弦值.

（文科生做）求點B到平面PCD的距離.

第6頁，共19頁

答案和解析

1.【答案】證明：(1)???PA，底面ABCD,BCu平

面AC,PA1BC,

■：^ACB=90°,

BC1AC,5LPAnAC=A,

BC_1_平面PAC.

解：(2)取CD的中點E,貝ME1CD,AELAB,

又P4，底面ABCD,PA1AE,

建立如圖所示空間直角坐標系，

則4(0,0,0),P(0,0,V3),C(y,|,0),

V31

PA=(0,0,-V3),PC=(y,|,-V3),

―>W'L

PD=圾

設平面PDC的一個法向量元=(x,y,z),

1

T+

-V3-X-y-z-o

n2

得

取

22元ao

TP麗C%--

1,

nV3T

-X--y--o

2

4點到平面PCD的距圖：

,\PA-n\V3V15

d=k=醫

(HI)設MQ,y,z),PM=m'PD，

則(x,y，z—V3)=-V3),

解得點一稱TH,百一舊山)，即彳拓=(-ym,—|m,V3—V3m),

tb—_______-_______—

田snw-^m2+3(：1_m)2-5，

解得m=1(不合題意舍去)或m=I，

.?.當M為尸。的中點時，直線AM與平面PC。所成角的正弦值為卓.

【解析】(1)由241底面ABCD,BCu平面AC,知P41BC,由乙4cB=9。。,知BCJ.4C,

由此能夠證明BC1平面PAC.

(2)取C￡)的中點E,則4E1CD,故AE1AB,由PAJ■底面ABC。，知PA1AE,建立

空間直角坐標系，利用向量法能求出A點到平面PCD的距離.

(3)設M(x,?z),利用向量法能推導出當M為尸。的中點時，直線AM與平面PCD所

成角的正弦值為等.

本題考查直線與平面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查滿足條件的點的位

置的探索.解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想和向量法的合理運用.

2.【答案】(1)證明：取尸。中點G,連結GF、AG,

-1

GF為4PDC的中位線，GF//CD5.GF=-CD,

-I

■■■AE//CDS.AE=-CD,：.GF//AE^GF=AE,

EFG2是平行四邊形，則EF//4G,

又???EF,面PAD,AGu面PAD,

：.EF〃面PAD；

(2)(文科)解：取中點。，連結尸。,

?.?面PAD1面ABCD,△PAD為正三角形，P01面ABCD,且P。=百，

又為面ABCD斜線，尸為PC中點，；.F到面A3。距離d="=漁,

22

-UZfTrIT113cV3V3

=XXXX=

故4-EFC=%-BCE32^^~TW；

（理科）角軌連0B交CE于M,可得RtAEBCmRtAOAB,

.-.乙MEB=Z.AOB,貝！jzMEB+Z.MBE=90°,即。M1EC.

連PM,又P。1EC,可得EC，平面POM,貝!!PM1EC,

即NPM。是二面角P-EC—。的平面角，

在RtAEBC中，BM=OM=OB-BM=

CE55

?-.tanzPMO=絲=座，即二面角尸-EC—D的正切值為叵.

OM33

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【解析】本題考查線面平行的判定，考查二面角的平面角及其求法，訓練了利用等積法

求多面體的體積，是中檔題.

(1)取尸。中點G,連結G尸、AG,由三角形中位線定理可得且GF=再由

已知可得2E〃CD且4E從而得到EFGA是平行四邊形，則EF//2G,然后利用

線面平行的判定可得EF〃面PAD；

(2)(文科)取AO中點O,連結PO,由面面垂直的性質可得P。，面ABCD,且P0=百，

求出廠到面ABC。距離d="=宜，然后利用等積法求得三棱錐B-EFC的體積；

22

(理科)連02交CE于跖可得Rt△EBC=RtA。4B,得到。M1EC,進一步證得PM1EC,

可得NPM。是一.面角P-EC-。的平面角，然后求解直角三角形可得二面角P-EC-D

的正切值.

3.【答案】解：(1)?；4在平面內的射影是直角三角

形BCD的斜邊8。的中點O,

。4是三棱錐的高

???BC=1,CD=V2.

oc=OB=0D=―,0A=Vxc2-OC2=

OA_L平面BCD,.?.乙4C。是AC與平面BCD所成角,

1廠

??,tanZ-ACO=*=專=芋，/-ACO=30°,

CU3

2

???AC與平面BC。所成角為30。.

(2)如圖，取2C中點RAC中點E,連接EF,OE,OF

■■■EF//AB,0F//CD

NEF。即為異面直線A8和CD所成的角

在AEF。中，ABy/AO2+OB21,

Dr=--=---------

2222

8=竽=￥，0E="=^?^=出

1,

2

???乙FEO=90°,Z.EF0=45°

???異面直線A5和CD所成的角的大小為45。.

【解析】(1)因為A在平面BCD內的射影是直角三角形BCD的斜邊的中點O,所以

。4是三棱錐的高，在直角三角形AOC中可計算AO,再由。/1平面5CQ,知乙4C。是

AC與平面BCO所成角，由此能求出AC與平面8CO所成角的大小.

（2）取BC中點RAC中點E,利用三角形中位線定理證明NEFO即為異面直線42和CD

所成的角，再在AEF。中分別計算三邊的長，利用解直角三角形知識即可求得此角.

本題考查線面角的求法，考查異面直線所成角的求法，考查推理論證能力、運算求解能

力，考查整體思想、轉化化歸思想，考查數據處理能力和運用意識，是中檔題.

4.【答案】（I）證明：在長方體4BCD-

&B1C1D1中，

AB=2,BB1=BC=1,E為。的中

點.

.??△。。送為等腰直角三角形，乙D、ED=

45°.

同理NCiEC=45°.

???/.DEC=90°,SPDE1EC.

在長方體48CD-力iBiQDi中,BC_L平面ADCQ,

又DEu平面D10c

BC1DE.又ECCISC=C,DE_L平面EBC.

???DEu平面DEB,?.?平面DEB1平面EBC.

（理科生做）（口）解：如圖，過E在平面4DCG中作E。1DC于。.

在長方體48CD—A/iC也中，???面4BCD，面％。"［，???E01?ABCD.

過。在平面。BC中作。F1DB于F連接ER

??.EF1BD,NEF。為二面角E-DB-C的平面角.

-1

利用平面幾何知識可得。尸=痣，0E=1,tanzEFO=V5.

.??二面角E-DB-C的正切值為述.

（文科生做）（II）解：設點A到平面。8E的距離為4,

'''^E-DBA-%-OBE'

1111廠廠

—x—x1x2x1=—x—xv2xv3cZ

一娓

?.?aci——,

3

故A到面瓦啰的距離為漁.

3

第10頁，共19頁

【解析】（I）先由BC1平面DiDCQnBC1DE,再利用△D/E為等腰直角三角形今

乙心ED=45。以及“iEC=45。可得DE1EC,合在一起可得平面EDB1平面EBC-,

（理科生做）（H）先過E在平面01DCC1中作E。1DC于。0E0，面ABC。；再。在平面

08c中作OF1DB于F,利用三垂線定理極其逆定理可得EF1BD.所以NEF。為二面角

E-DB-C的平面角.再利用平面幾何知識求出NEF。的正切值即可；

（文科生做）（n）由喔-DB4=VA_DBE,利用等體積法來求A到面EZ汨的距離即可.

本題綜合考查了面面垂直的判定以及二面角的求法和點到面的距離計算.在求點到面的

距離時，如果直接法不好求的話，一般轉化為棱錐的高利用等體積法來求.

5.【答案】（1）證明：因為四邊形EOCF為正方形，

所以ED1CD,

因為二面角E-DC-4的大小為90。，

所以平面EDCF_L平面ABCD,

由面面垂直的性質定理得ED1平面ABCD,

又ADu平面ABCD,

所以ED1AD,

又因為N/WC=120。，AB//CD,

所以NDAB=60°,

又AB=2AD=2,

所以由余弦定理得8。=百，

所以A￡>2+B￡）2=AB2,即力D_LBD,

又DECDB=D,DE,DBu平面BOE,

所以4。1平面BDE-

（2）解：設點D到平面ABE的距離為h,則腺YBD=%TBE，

所以NxLx（l+2）x更xl=工義工義/義辛義八

32232V2

所以八=到紅，

14

所以點D到平面ABE的距離為這I.

14

【解析】（1）運用勾股定理證明垂直8。，再利用面面垂直的性質定理證明EO垂直

AD即可；

（2）設點￡）到平面A8E的距離為人,由等體積法，即/.ZBO=%—/BE，可求得力

本題考查了線面垂直的證明及等體積法求點面距離，屬于基礎題.

6.【答案】證明：（I）?--AD//BC,ADu平面

PAD,BC仁平面PAD

：.BC〃平面PAD,

又平面P8C過BC,且與平面尸4。交于/,

（口）連結8。，△4BD中，AD=a,AB=2a

/.DAB=60°,

由余弦定理，得：

BD2=DA2+AB2-2DA-ABcos60°,

解得BD=代a,

???冊=4。2+3。2,...△AB。為直角三角形，BDLAD,

???ADI/BC,BCLPD,

???PDCBD=D,BC，平面PBD,

???BCu平面PBC,平面P8。1平面PBC,

又?：PD=BD=Wa,。為PB中點，；.DQ1PB,

?.?平面PBDn平面PBC=PB,：.DQ_L平面PBC,

PCu平面PBC,

：.DQ1PC.

【解析】（I）由4D〃BC,得BC〃平面PA。，由此能證明”/BC.

（工）連結加＞,由余弦定理，得百a,從而8。LAD,BC1PD,進而8cl平面

PBD,平面PBD!_平面PBC,再由DQ1PB,得DQ_L平面PBC,由此能證明DQ1PC.

本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意

空間思維能力的培養.

7.【答案】證明：（1）由題設知4B=AC=SB

SC=SA,

連結04△ABC為等腰直角三角形，

0A=OB=0C=—SA,且4。1BC,

2

第12頁,

又△SBC為等腰三角形，故S。1BC,且S。=-SA,

2

從而。弟+sc>2=sa2.

.?.△SOA為直角三角形，SO1A0.

又4。CB0=0.

SO_L平面ABC.

解：(2)(理科)(法一：幾何法)：取SC的中點連結AM,0M,

由(1)知SO=OC,SA=AC.得。M1SC,AM1SC.

■■■NOMA為二面角a—SC—B的平面角.

由4。1BC,AOISO,SOnBC=。得AO，平面SBC.

：.AO1OM.

又4M=^S4

2

故sinz_AM。=—=-^=—,cosZ-AMO=—,

AMy/333

???二面角Z—SC—B的余弦值為理.

3

(法二：向量法)：以。為原點，05為X軸，。4為y軸，OS為Z軸，建立空間直角坐標

系，

設4B=2,則2(0,夜,0),5(72,0,0),C(-V2,0,0),5(0,0,煙,

SA=(0,V2,-V2),~SB=(V2,0,-V2),SC=(-V2,0,-V2),

設平面SAB的法向量元=(久,y,z),

貝HD.日='yz=°,取x=i,得元=(1,1,1),

設平面SBC的法向量訪=(0,1,0),

設二面角a-sc-B的平面角為仇

則COS8=R=：=^.

|?n|-|n|V33

二面角a-sc-B的余弦值為理.

3

(2)(文科)AB=2,S"4c=|x/lSxXC=|x2x2=2,

SO^—SA=42,

2

???三棱錐A—SBC的體積：

^A-SBC=^S-ABC=3X^2X2=誓.

【解析】（1）由題設知AB=AC=SB=SC=SA,連結。4,推導出S。1BC,SOLAO,

由此能證明S。1平面ABC.

（2）（理科）幾何法：取SC的中點連結AM,OM,則。MlSC,AMISC,NOMA為

二面角a-sc-B的平面角，由此能求出二面角a-sc-8的余弦值.

向量法：以。為原點，。3為x軸，為y軸，OS為Z軸，建立空間直角坐標系，禾！I

用向量法能求出二面角4-SC-B的余弦值.

（2）（文科）三棱錐4—S8C的體積匕一SBC=VS-ABC-

本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱錐的體積的求法，考

查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能

力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、函數與方思想、數形結合思想，是中檔題.

8.【答案】解：

（I）證明：?.TBC-AiBiQ為三棱柱,

A41GC是平行四邊形，

又力力11平面ABC,ACu平面ABC,

AA11AC,又AA]=AC,

44iGC是正方形，

???ACr1ArC,

四邊形ABCD為平行四邊形，AD=2CD,^ADC=60°.

顯然AC1DC,：.AC1AB,

■■■AAr1AB,ACnAA1=A,

ACu平面力441u平面4CC1&,

AB1平面ACC14,又A\B\〃AB,

：■A1B11平面

又力Clu平面ACC14,

???A1B11ACr,

A/inArC=4,

A1B1,A1Cu平面A/】CD,

AC11平面A/iCD.

解：（II）,；CD=2,AD=4,AC=AA-^=V16—4=2A/^,

由（I）知：ABI平面a&CCAB11CD,

???CD1平面A&GC,

第14頁，共19頁

???三棱錐Cl-&CD的體積:

1

Uq-AiCD==2XCDxSA41cle

=-x2x-x2V3x2V3=4.

32

【解析】（I）推導出—1A1C,AC1AB,AA11AB,從而AB1平面2CQ&,進而&當1

由此能證明4G1平面4/1CD.

（口）由。。=2,得4。=4,AC=AA1=V16-4=2V3,三棱誰G-&C。的體積：

匕;1-41CD=，D-4iCiC，由此能求出結果.

本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間

的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

9.【答案】（1）證明：因為BBi，面ABC,AEeffiABC,所以AElBBi

由48=AC,E為BC的中點得到ZE1BC

?；BCCtBBi=B,HE1面BB￡C,

???AE1BrC.

（2）（文科）解:取BiQ的中點的,連4又,EC

則2E〃4%,

??.NEi&C是異面直線AE與&C所成的角.

由（1）可得4E1EQ則1EC

設力C=AB=AAr=2,貝ij由ABAC=90°,

可得AiEi=AE=2A/2,ArC=2A/2,

在Rt△Ei&C中<XJ?Z.E\A\C斗

???異面直線AE與AC所成的角為60。.

(理科)解：過C作CF1EG于點R連接A元

由(1)可得平面4EG，平面BCGB,

又CFu平面BCC/i，平面AEGn平面3"祖=EG,

CF_L平面AEG.則NC4F即為AC與平面AEG所成的角.

由(2)可得CE=V2,CG=1,

利用等面積法可得C昨看裊V2X1V6

3

sin皿尸=黑=4則COSHF=等.

【解析】本題考查了線面垂直的判定、線面垂直的性質、異面直線所成角和直線與平面

所成角，是中檔題.

(1)先證明AE，面381的。，由線面垂直的性質可得線線垂直；

(2)(文科)NE14C是異面直線AE與&C所成的角，根據數據計算即可；

(理科)由⑴可得平面AEG1平面BCQB,所以CF1平面力EG,則NC4F即為AC與平面

AEG所成的角，根據數據計算即可.

第16頁，共19頁

10.【答案】(1)證明：???EC1BC,EC1AB,S.ACCiAB=B

：.EC_L平面ABC,

又???ECu平面EAC,

平面E4C1平面ABC.

(2)取BC的中點N,貝iJCN=2,連接AN,FN.

■■■EF//CN,EF=CN,

：.FN//EC,FN=EC,

FN_L平面ABC,

???直線AF與直線EC所成的角為60。,

???4AFN=60°,

在AACN中，由余弦定理得

AN=y/AC2+CN2-2AC-CN-cosl20°=2V3

.?.在RtAAFN中，FN=2,

"^E-FAC=匕-ECF=匕-FNC=^F-ACN

=-x-AC-CN-sinl20°-FN=—.

323

【解析】本題考查立體幾何的知識，屬于中檔題，

(1)通過證明EC_L平面ABC來證明平面比4c1平面ABC.

(2)根據題意求出AN的長度，利用/_F4c=^A-ECF=^A-FNC=%-ACN求出體積.

11.【答案】證明：(1)(理科生做)?.?在四棱錐P—4BCD中，PA，底面A8CD,ADVAB,

AB//DC,

AD=DC=AP=2,4B=1,點E為棱PC的中點.

二以點A為原點，建立空間直角坐標系，如圖，

則B(l