PAGE第8講正弦定理和余弦定理的應用舉例1.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東80° D．南偏西80°解析：選D.由條件及題圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.2．(2016·鄭州模擬)已知A、B兩地間的距離為10km，B、C兩地間的距離為20km，現測得∠ABC＝120°，則A，A．10km B．10eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km解析：選D.如圖所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，所以AC＝10eq\r(7)(km)．3．(2016·唐山模擬)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，則cos∠DAC＝()A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(3\r(10),10)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)解析：選B.由已知條件可得圖形，如圖所示，設CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，所以a2＝(eq\r(2)a)2＋(eq\r(5)a)2－2×eq\r(2)a×eq\r(5)a×cos∠DAC，所以cos∠DAC＝eq\f(3\r(10),10).4．(2016·淮北質檢)如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m、50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端AA．30° B．45°C．60° D．75°解析：選B.依題意可得AD＝20eq\r(10)(m)，AC＝30eq\r(5)(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(（30\r(5)）2＋（20\r(10)）2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.第4題圖第5題圖5．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB＝1km，水的流速為2km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時間為6A．8km/h B．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/h D．10km/h解析：選B.設AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為vkm/h，由題意知，sinθ＝eq\f(0.6,1)＝eq\f(3,5)，從而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))eq\s\up12(2)＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).6．(2014·高考四川卷)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BCA．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析：選C.如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m所以CD＝AD·tan60°＝60eq\r(3)(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－eq\r(3))(m)．所以BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)(m)．7．一船自西向東航行，上午10時到達燈塔P的南偏西75°，距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為________海里/小時．解析：由題意知，在△PMN中，PM＝68海里，∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.由正弦定理，得eq\f(MN,sin120°)＝eq\f(68,sin45°)，解得MN＝34eq\r(6)海里，故這只船航行的速度為eq\f(34\r(6),4)海里/小時＝eq\f(17\r(6),2)海里/小時．答案：eq\f(17\r(6),2)8．某同學騎電動車以24km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點A處測得電視塔S在電動車的北偏東30°方向上，15min后到點B處，測得電視塔S在電動車的北偏東75°方向上，則點B與電視塔的距離是________解析：由題意知AB＝24×eq\f(15,60)＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以BS＝eq\f(AB·sin30°,sin45°)＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)9．(2016·佛山一模)如圖，為了測量河對岸A、B兩點之間的距離，觀察者找到一個點C，從C點可以觀察到點A、B；找到一個點D，從D點可以觀察到點A、C；找到一個點E，從E點可以觀察到點B、C；并測量得到：CD＝2，CE＝2eq\r(3)，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，則A、B兩點之間的距離為________.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos48.19°取\f(2,3)))解析：依題意知，在△ACD中，∠A＝30°，由正弦定理得AC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝2eq\r(2)，在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝eq\f(CEsin60°,sin45°)＝3eq\r(2)，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝10所以AB＝eq\r(10)，即A、B兩點之間的距離為eq\r(10).答案：eq\r(10)10．(2014·高考課標全國卷Ⅰ)如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點測得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，則山高MN＝________解析：根據圖示，AC＝100eq\r在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)?AM＝100eq\r(3)m.在△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，所以MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．答案：15011．(2016·貴陽監測考試)如圖所示，在四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cosB＝eq\f(\r(3),3).(1)求△ACD的面積；(2)若BC＝2eq\r(3)，求AB的長．解：(1)因為∠D＝2∠B，cosB＝eq\f(\r(3),3)，所以cosD＝cos2B＝2cos2B－1＝－eq\f(1,3).因為∠D∈(0，π)，所以sinD＝eq\r(1－cos2D)＝eq\f(2\r(2),3).因為AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面積S＝eq\f(1,2)AD·CD·sinD＝eq\f(1,2)×1×3×eq\f(2\r(2),3)＝eq\r(2).(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD＝12，所以AC＝2eq\r(3).因為BC＝2eq\r(3)，eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以eq\f(2\r(3),sinB)＝eq\f(AB,sin（π－2B）)＝eq\f(AB,sin2B)＝eq\f(AB,2sinBcosB)＝eq\f(AB,\f(2\r(3),3)sinB)，所以AB＝4.1．(2016·石家莊模擬)已知平面圖形ABCD為凸四邊形(凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在的直線，其余各邊均在此直線的同側)，且AB＝2，BC＝4，CD＝5，DA＝3，則四邊形ABCD面積S的最大值為()A.eq\r(30) B．2eq\r(30)C．6eq\r(30) D．4eq\r(30)解析：選B.連接AC，則AB2＋BC2－2×AB·BCcosB＝AD2＋DC2－2×AD·DCcosD，即20－16cosB＝34－30cosD，化簡得15cosD－8cosB＝7，則S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝eq\f(1,2)×(8sinB＋15sinD)．令8sinB＋15sinD＝t，則t2＝64sin2B＋225sin2D＋240·sinBsinD，又(15cosD－8cosB)2＝49，則64cos2B＋225cos2D－240cosBcosD＝49，兩式相加得289－240cos(B＋D)＝t2＋49，即t2＝240－240cos(B＋D)≤480，當B＋D＝π時，tmax＝4eq\r(30)，所以S四邊形ABCD≤2eq\r(30)，故選B.2．如圖，攝影愛好者在某公園A處，發現正前方B處有一立柱，測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°，已知攝影愛好者的身高約為eq\r(3)米(將眼睛S距地面的距離SA按eq\r(3)米處理)．(1)求攝影愛好者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB；(2)立柱的頂端有一長為2米的彩桿MN，且MN繞其中點O在攝影愛好者與立柱所在的平面內旋轉．在彩桿轉動的任意時刻，攝影愛好者觀察彩桿MN的視角∠MSN(設為θ)是否存在最大值？若存在，請求出∠MSN取最大值時cosθ的值；若不存在，請說明理由．解：(1)如圖，作SC⊥OB于點C，連接MS，NS，依題意∠CSB＝30°，∠ASB＝60°.又SA＝eq\r(3)，故在Rt△SAB中，可求得AB＝eq\f(SA,tan30°)＝3米，即攝影愛好者到立柱的水平距離AB為3米．在Rt△SCO中，SC＝3，∠CSO＝30°，OC＝SC·tan30°＝eq\r(3)，又BC＝SA＝eq\r(3)，故OB＝2eq\r(3)米，即立柱的高度OB為2eq\r(3)米．(2)存在．因為cos∠MOS＝－cos∠NOS，所以eq\f(MO2＋SO2－SM2,2MO·SO)＝－eq\f(NO2＋SO2－SN2,2NO·SO)，于是得SM2＋SN2＝26，從而cosθ＝eq\f(SM2＋SN2－MN2,2SM·SN)≥eq\f(SM2＋SN2－MN2,SM2＋SN2)＝eq\f(11,13).又∠MSN為銳角，故當視角∠MSN取最大值時，cosθ＝eq\f(11,13).3.如圖，經過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據規劃擬在兩條公路之間的區域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．記∠AMN＝θ.(1)將AN，AM用含θ的關系式表示出來；(2)如何設計(即AN，AM為多長)，使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離AP最大)？解：(1)由已知得∠MAN＝60°，∠AMN＝θ，MN＝2，在△AMN中，由正弦定理得eq\f(MN,sin60°)＝eq\f(AN,sinθ)＝eq\f(AM,sin（120°－θ）)，所以AN＝eq\f(4\r(3),3)sinθ，AM＝eq\f(4\r(3),3)sin(120°－θ)＝eq\f(4\r(3),3)sin(θ＋60°)．(2)在△AMP中，由余弦定理可得AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝eq