第2講導數的運算（學生版）【知識梳理】1．函數y＝f(x)的導函數 如果函數y＝f(x)在開區間(a，b)內的每一點處都有導數，其導數值在(a，b)內構成一個新函數，這個函數稱為函數y＝f(x)在開區間內的導函數．記作f′(x)或y′.2．基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)3．導數的運算法則若，存在，則有（1）；（2）；（3）．4．復合函數的導數復合函數的導數和函數，的導數間的關系為，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．【基礎考點突破】考點1．導數的運算【例1】分別求下列函數的導數：(1)y＝exlnx；(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；(3)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(4)y＝lneq\r(1＋2x)；(5)y＝eq\f(lnx,x2＋1)．【歸納總結】（1）熟記基本初等函數的導數公式及運算法則是導數計算的前提，求導之前，應利用代數、三角恒等式等變形對函數進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量提高運算速度，減少差錯.（2）①如函數為根式形式，可先化為分數指數冪，再求導.②復合函數求導，應先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元處理.變式訓練1．（2016年天津高考）已知函數為的導函數，則的值為_____.變式訓練2．求下列函數的導數：(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(1,1＋\r(x))＋eq\f(1,1－\r(x))；(3)y＝eq\f(ln（2x＋1）,x).【基礎練習鞏固】1．f(x)＝x(2016＋lnx)，若f′(x0)＝2017，則x0等于()A．e2B．1C．ln2 D2．若函數f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2 D3．已知函數f(x)的導函數為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，則f′(1)等于()A．－eB．－1C．14．有一機器人的運動方程為s＝t2＋eq\f(3,t)(t是時間，s是位移)，則該機器人在時刻t＝2時的瞬時速度為()A.eq\f(19,4)B.eq\f(17,4)C.eq\f(15,4)D.eq\f(13,4)5．(教材改編)f′(x)是函數f(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x＋1的導函數，則f′(－1)的值為()A．0B．3C．4D．－eq\f(7,3)6．設函數f(x)在(0，＋∞)內可導，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝________.7．設函數f(x)的導數為f′(x)，且f(x)＝f′(eq\f(π,2))sinx＋cosx，則f′(eq\f(π,4))＝________.

2017年高考數學基礎突破——導數與積分第2講導數的運算（教師版）【知識梳理】1．函數y＝f(x)的導函數 如果函數y＝f(x)在開區間(a，b)內的每一點處都有導數，其導數值在(a，b)內構成一個新函數，這個函數稱為函數y＝f(x)在開區間內的導函數．記作f′(x)或y′.2．基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)3．導數的運算法則若，存在，則有（1）；（2）；（3）．4．復合函數的導數復合函數的導數和函數，的導數間的關系為，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．【基礎考點突破】考點1．導數的運算【例1】分別求下列函數的導數：(1)y＝exlnx；(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；(3)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(4)y＝lneq\r(1＋2x)；(5)y＝eq\f(lnx,x2＋1)．解析：(1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex·eq\f(1,x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x))).(2)∵y＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq\f(2,x3).(3)∵y＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝1－eq\f(1,2)cosx.(4)∵y＝lneq\r(1＋2x)＝eq\f(1,2)ln(1＋2x)，∴y′＝eq\f(1,2)·eq\f(1,1＋2x)·(1＋2x)′＝eq\f(1,1＋2x).(5)y′＝eq\f(lnx′x2＋1－lnxx2＋1′,x2＋12)＝eq\f(\f(1,x)x2＋1－2xlnx,x2＋12)＝eq\f(x2＋1－2x2lnx,xx2＋12).【歸納總結】（1）熟記基本初等函數的導數公式及運算法則是導數計算的前提，求導之前，應利用代數、三角恒等式等變形對函數進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量提高運算速度，減少差錯.（2）①如函數為根式形式，可先化為分數指數冪，再求導.②復合函數求導，應先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元處理.變式訓練1．（2016年天津高考）已知函數為的導函數，則的值為_____.【答案】3變式訓練2．求下列函數的導數：(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(1,1＋\r(x))＋eq\f(1,1－\r(x))；(3)y＝eq\f(ln（2x＋1）,x).解析：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)∵y＝eq\f(1,1＋\r(x))＋eq\f(1,1－\r(x))＝eq\f(2,1－x)，∴y′＝eq\f(0－2（1－x）′,（1－x）2)＝eq\f(2,（1－x）2).(3)y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(ln（2x＋1）,x)))′＝eq\f([ln（2x＋1）]′x－x′ln（2x＋1）,x2)＝eq\f(\f(（2x＋1）′,2x＋1)·x－ln（2x＋1）,x2)＝eq\f(\f(2x,2x＋1)－ln（2x＋1）,x2)＝eq\f(2x－（2x＋1）ln（2x＋1）,（2x＋1）x2).【基礎練習鞏固】1．f(x)＝x(2016＋lnx)，若f′(x0)＝2017，則x0等于()A．e2B．1C．ln2 D答案B解析f′(x)＝2016＋lnx＋x×eq\f(1,x)＝2017＋lnx，故由f′(x0)＝2017得2017＋lnx0＝2017，則lnx0＝0，解得x0＝1.2．若函數f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2 D答案B解析(2)f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)為奇函數，且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.3．已知函數f(x)的導函數為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，則f′(1)等于()A．－eB．－1C．1答案B解析由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋eq\f(1,x).∴f′(1)＝2f′(1)＋1，則f′(1)＝－1.4．有一機器人的運動方程為s＝t2＋eq\f(3,t)(t是時間，s是位移)，則該機器人在時刻t＝2時的瞬時速度為()A.eq\f(19,4)B.eq\f(17,4)C.eq\f(15,4)D.eq\f(13,4)答案D5．(教材改編)f′(x)是函數f(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x＋1的導函數，則f′(－1)的值為()A．0B．3C．4D．－eq\f(7,3)答案B解析∵f(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.∴f′(－1)＝3.6．設函數f(x)在(0，＋∞)內可導，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝________.答案2解析設ex＝t，則x＝lnt(t＞0)，∴f(t)＝lnt＋t，∴f′(t)＝eq\f(1,t)＋1，∴f′(1)＝2.7．設函數f(x)的導數為f′(x)，且f(x)＝f′(eq\f(π,2))sinx＋cosx，則f′(eq\f(π,4))＝________.答案－eq\r(2)解析因為f(x)＝f′(eq\f(π,2))sinx＋cosx，所以f′(x)＝f′(eq\f(π,2))cosx－sinx，所以f′(eq\f(π,2))＝f′(eq\f(π,2))coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2)，即f′(eq\f(π,2))＝－1，所以f(x)＝－sinx＋cosx.f′(x)＝－cosx－sinx，故f′(eq\f(π,4))＝－coseq\f(π,4)－sineq\f(π,4)＝－eq\r(2).沁園春·雪<毛澤東>北國風光，千里冰封，萬里雪飄。望長城內外，惟余莽莽；大河上下，頓失滔滔。山舞銀蛇，原馳蠟象，欲與