第二章

第6節對數與對數函數知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業內容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎回扣知識1知識梳理///////1.對數的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數，記作

，其中a叫做對數的底數，N叫做真數.x＝logaN2.對數的性質、運算性質與換底公式NlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM(1)概念：函數y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0，＋∞).(2)對數函數的圖象與性質3.對數函數及其性質a>10<a<1圖象性質

定義域：值域：當x＝1時，y＝0，即過定點當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0

在(0，＋∞)上是

在(0，＋∞)上是(0，＋∞)R(1，0)增函數減函數指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數

(a>0，且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線

對稱.4.反函數y＝logaxy＝x1.判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”) (1)log2x2＝2log2x. (

) (2)函數y＝log2(x＋1)是對數函數. (

)

(4)當x>1時，若logax>logbx，則a<b. (

)

解析

(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)錯誤. (2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)為對數函數，故(2)錯誤. (4)若0<b<1<a，則當x＞1時，logax＞logbx，故(4)錯誤.××√×2.log29×log34＋2log510＋log50.25＝ (

) A.0 B.2 C.4 D.6

解析原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)

＝4＋log525＝4＋2＝6.D3.函數y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的圖象恒過的定點是______________.

解析當x＝2時，函數y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值為2， 所以圖象恒過定點(2，2).(2，2)解析

法一因為alog34＝2，所以log34a＝2，則4a＝32＝9，法二因為alog34＝2，B5.(2019·天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，則a，b，c的大小關系為(

) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b

解析

顯然c＝0.30.2∈(0，1).

因為log33<log38<log39， 所以1<b<2.

因為log27>log24＝2， 所以a>2.

故c<b<a.A6.(多選題)(2021·武漢聯考)已知函數f(x)的圖象與g(x)＝2x的圖象關于直線y＝x對稱，令h(x)＝f(1－|x|)，則關于函數h(x)有下列說法，其中正確的說法為(

) A.h(x)的圖象關于原點對稱

B.h(x)的圖象關于y軸對稱

C.h(x)的最大值為0 D.h(x)在區間(－1，1)上單調遞增 解析

函數f(x)的圖象與g(x)＝2x的圖象關于直線y＝x對稱， ∴f(x)＝log2x， ∴h(x)＝log2(1－|x|)為偶函數，不是奇函數， ∴A錯誤，B正確； 根據偶函數性質可知D錯誤； ∵1－|x|≤1， ∴h(x)≤log21＝0，故C正確.BC考點分層突破題型剖析考點聚焦2解析由已知，得a＝log2m，b＝log5m，考點一對數的運算///////自主演練A2.(多選題)(2021·臨沂期末)若10a＝4，10b＝25，則 (

) A.a＋b＝2 B.b－a＝1 C.ab＞8lg22 D.b－a＞lg6

解析

由10a＝4，10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25， 則a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A正確；

ab＝lg4·lg25＝4lg2·lg5＞4lg2·lg4＝8lg22，故C正確.故選ACD.ACD1所以t＝2，則a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.421.在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后用對數運算法則化簡合并.2.先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算.3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化.感悟升華考點二對數函數的圖象及應用///////師生共研D解析

如圖，在同一坐標系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線y＝－x＋a在y軸上的截距.由圖可知，當a>1時，直線y＝－x＋a與y＝f(x)只有一個交點.(1，＋∞)1.在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.2.一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.感悟升華【訓練1】(1)(多選題)函數y＝loga(x＋c)(a，c為常數， 其中a＞0，a≠1)的圖象如圖所示，則下列結論成立的是(

) A.a＞1

B.0＜c＜1 C.0＜a＜1

D.c＞1

解析

由圖象可知函數為減函數， 所以0＜a＜1， 令y＝0得loga(x＋c)＝0，

x＋c＝1，x＝1－c.由圖象知0＜1－c＜1， ∴0＜c＜1.BC【訓練1】(2)(2021·西安調研)設x1，x2，x3均為實數，且e－x1＝lnx1，

e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，則 (

) A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x2<x3<x1 D.x2<x1<x3D由圖象直觀性，知x2<x1<x3.考點三解決與對數函數性質有關的問題///////多維探究A解析

∵3log32＝log38<2，∵3log53＝log527>2，∴a<c<b.故選A.B∴a<b.解析因為偶函數f(x)在(－∞，0]上是減函數，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數.又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2＝f(1)，B解

若函數f(x)是R上的奇函數，則f(0)＝0，∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.當a＝0時，f(x)＝－x是R上的奇函數.所以a＝0.故只要a≥0，則a的取值范圍是[0，＋∞).則log2(1＋a)≥log2(4a＋2).1.比較對數值的大小與解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，主要是應用函數的單調性求解，如果a的取值不確定，需要分a>1與0<a<1兩種情況討論.2.與對數函數有關的復合函數的單調性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的.感悟升華【訓練2】(1)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，則a，b，c的大小關系是 (

) A.a＝b<c B.a＝b>c C.a<b<c D.a>b>cB所以a＝b>c.【訓練2】(2)已知函數f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區間[1，2]上恒成立，則實數a的取值范圍是______________.

解析當a>1時，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是減函數， 由f(x)>1在區間[1，2]上恒成立， 則f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1， 即8－2a>a，且8－2a>0，當0<a<1時，f(x)在[1，2]上是增函數，由f(x)>1在區間[1，2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.∴8－a<a且8－2a>0，此時解集為?.課后鞏固作業提升能力分層訓練3一、選擇題1.設a＝log0.20.3，b＝log20.3，則 (

) A.a＋b<ab<0 B.ab<a＋b<0 C.a＋b<0<ab D.ab<0<a＋b

又a>0，b<0，故ab<a＋b<0.B所以m＋4≤0，即m≤－4.∴實數m的取值范圍為(－∞，－4].D3.已知lga＋lgb＝0，則函數f(x)＝a－x與函數g(x)＝logbx的圖象可能是 (

)

解析由lga＋lgb＝0，得ab＝1.

因此f(x)＝bx與g(x)＝logbx單調性相同. A，B，D中的函數單調性相反，只有C的函數單調性相同.C解析

由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|.所以原式＝2|lg2|＋2|lg5|＝2(lg2＋lg5)＝2.AAAC因為所以

，故B錯誤；因為所以故C正確；二、填空題7.若log43＝mlog23，則logm＝________. ∴logm＝－2.－28.(2021·濟南檢測)已知函數y＝loga(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A也在函數f(x)＝3x＋b的圖象上，則b＝________.

解析令2x－3＝1，得x＝2， ∴定點為A(2，2)，將定點A的坐標代入函數f(x)中， 得2＝32＋b，解得b＝－7.－7所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此時無解.

三、解答題10.已知f(x)是定義在R上的偶函數，且當x≥0時，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1). (1)求函數f(x)的解析式； 解

當x<0時，－x>0， 由題意知f(－x)＝loga(－x＋1)， 又f(x)是定義在R上的偶函數， 所以f(－x)＝f(x).

所以當x<0時，f(x)＝loga(－x＋1)， 所以函數f(x)的解析式為三、解答題10.已知f(x)是定義在R上的偶函數，且當x≥0時，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1). (2)若－1<f(1)<1，求實數a的取值范圍.

解

因為－1<f(1)<1，所以－1<loga2<1，所以f(－x)＝－f(x)，所以函數的定義域為{x|x<－1或x>1}.解

f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，當x>1時，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因為x∈(1，＋∞)時，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范圍是(－∞，1].12.(2021·重慶調研)設函數f(x)的定義域為D，若滿足：①f(x)在D內是單調增函數；②存在[m，n]?D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域為[m，n]，那么就稱

y＝f(x)是定義域為D的“成功函數”.若函數g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定義域為R的“成功函數”，則t的取值范圍是 (

)

解析因為g(x)＝loga(a2x＋t)是定義在R上的“成功函數”， 所以g(x)為增函數，且g(x)在[m，n]上的值域為[m，n]， 故g(m)＝m，g(n)＝n， 即g(x)＝x有兩個不相同的實數根.A又loga(a2x＋t)＝x，即a2x－ax＋t＝0.令s＝ax，s>0，即s2－s＋t＝0有兩個不同的正數根，13.(多選題)(2021·長沙調研)關于函數f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列結論正確的是