8.3冪級數8.3.1函數項級數的概念是定義在上的函數項級數.稱為定義在區間I上的函數項無窮級數.

定義1設是定義在區間I上的函數列,表達式

例如,級數所有發散點的全體稱為發散域.函數項級數的所有收斂點的全體，稱為收斂域,發散點.定義2如果數項級數收斂,則稱為級數的收斂點,否則,稱為設函數項級數的部分和為余項(x在收斂域上)注意:函數項級數在某點x的收斂問題,實質上是數(x∈D)定義3

在收斂域D上,函數項級數的和是x的稱為函數項級數的和函數.函數則項級數的收斂問題.是公比為x的幾何級數,在收斂域內,其和函數是發散域為其收斂域為同理例如,級數解由比值判別法,有

原級數絕對收斂.例1求級數

的收斂域.(1)當原級數發散.收斂;發散;故,原級數的收斂域為(2)當(3)當形如8.3.2冪級數及其收斂性稱為x的冪級數.稱為冪級數的系數.簡稱冪級數.的函數項級數,稱為的冪級數,設其意義在于用多項式近似s(x).是公比為x的幾何級數,其收斂域為級數在一般的情形下,冪級數的收斂域都是區間.證(1)定理8.13(阿貝爾定理)則它在滿足的一切x處發散.處收斂,處發散,若冪級數若冪級數即存在常數

M>0,使得則它在滿足的一切x處絕對收斂;從而數列有界,由結論(1),這與所設矛盾.使級數收斂,若有一點x1適合則級數在處應收斂,收斂區域發散區域發散區域幾何說明推論8.1也不是在整個數軸上都收斂,則必有一個完全確定冪級數絕對收斂;冪級數發散.冪級數可能收斂,也可能發散.的正數R存在,它具有下列性質:如果冪級數

不是僅在x=0一點收斂,冪級數的收斂域一定是下列四個區間之一:

規定:定義(1)冪級數只在x=0處收斂,規定收斂域為x=0;(2)冪級數對一切

x都收斂,規定收斂域為正數R稱為冪級數的收斂半徑.問題:如果冪級數處條件收斂,其收斂半徑R=?證設定理8.14由比值判別法,則如果冪級數的所有系數收斂半徑收斂,發散,并且從某個n開始從而級數發散.從而級數絕對收斂.(1)如果收斂,從而級數絕對收斂.收斂半徑發散,收斂半徑(2)如果(3)如果例1求冪級數的收斂半徑與收斂域.解故發散;故收斂域為收斂.解例2求冪級數的收斂半徑與收斂域.收斂域為解僅在x=0收斂.例3求冪級數的收斂半徑與收斂域.所以,收斂半徑為解例4求冪級數的收斂半徑與收斂域.收斂;故收斂域為[1,3].收斂.所以,當收斂,定理8.15

(收斂半徑的根值計算法)解例5求冪級數

的收斂半徑與收斂域.原級數的一般項不趨于零,收斂域為級數發散.解原級數絕對收斂,級數發散.例6求冪級數的收斂域.級數發散.原級數的收斂域為8.3.3冪級數的性質及冪級數的和函數的收斂半徑分別為R1和R2,取其中性質2和函數且逐項求導后收斂半徑不變.并有逐項求導公式

性質1和函數在收斂域上連續.設性質3和函數有逐項積分公式逐項積分后收斂半徑不變.若注:冪級數逐項微分與逐項積分后收斂半徑不變,

但是收斂域可能不同.解例7

求冪級數

的和函數.解例8

求冪級數

的和函數.當x=0時,顯然s(0)=1.故s(x)在點x=0是連續的.事實上,另外,由,有解例9

求的收斂域及和函數，故并求數項級數的和.冪級