PAGE20-云南省昆明一中2025屆高三數學診斷性考試試題理（含解析）本試卷共4頁，22題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．留意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區域均無效．3．非選擇題的作答;用黑色簽字筆干脆答在答題卡上對應的答題區域內．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，若，則集合B可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數的性質化簡集合，利用可得出集合．【詳解】集合，滿意條件，故選：A．【點睛】本題考查集合的運算的應用，考查指數的性質，屬于基礎題．2.設復數滿意，則復平面內表示的點位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由復數的四則運算求出，就能判別相應選項.【詳解】因為，所以，則復平面內表示的點位于第四象限.選D．【點睛】復數四則運算，屬于簡潔題.3.設，，，則a，b，c的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據指數對數函數的單調性，確定a，b，c的范圍，進而比較大小即可.【詳解】由題可得，，.所以.故選：C【點睛】本題主要考查利用指對數函數的單調性比較大小，屬于基礎題.4.在的綻開式中，二次項的系數為（）A. B. C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】依據二項綻開式的通項公式可得結果.【詳解】因為的綻開式中的通項公式為，，令，得，所以二次項為，所以二次項的系數為.故選：B．【點睛】本題考查了二項綻開式的通項公式，屬于基礎題.5.已知正項等比數列中，，若，則（）A.511 B.512 C.1023 D.【答案】C【解析】【分析】由求得，再由求得公比，然后由等比數列前項和公式求得結論．【詳解】由得，所以，又因為，得，所以，，故選：C．【點睛】本題考查等比數列的基本量法，考查等比數列的前項和公式，屬于基礎題．6.函數的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數的奇偶性結合特別值，結合選項得出函數的圖象．【詳解】因為函數為偶函數，解除A，C，當時，，解除D，故選：B．【點睛】本題考查函數的圖象，考查函數性質的應用，屬于基礎題．7.現有甲、乙、丙丁、戊5種在線教學軟件，若某學校要從中隨機選取2種作為老師“停課不停學”的教學工具，則其中甲、乙至少有1種被選取的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】甲、乙至少有1種被選取的狀況有：甲、乙中有一人被選取，甲、乙兩人都被選取，利用古典概率公式分別計算可得選項.【詳解】因為甲、乙至少有1種被選取的狀況有：甲、乙中有一人被選取，甲、乙兩人都被選取，所以甲、乙至少有種被選取的概率，故選：C．【點睛】此題考查概率的求法，考查古典概型，屬于基礎題.8.已知單位向量，滿意，則與的夾角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件進行向量數量積的運算得，進而得，從而得答案.【詳解】已知單位向量，，則，滿意，平方得，即，則，進而得，所以與夾角是.故選：D【點睛】本題考查單位向量的概念，向量數量積的運算及計算公式，向量夾角的概念及范圍，屬于基礎題．9.如圖所示的程序框圖，是為計，則在空白推斷框中應填入的是（）A. B.？ C.？ D.？【答案】A【解析】【分析】依據程序框圖，確定，由框圖的作用，即可得出結果.【詳解】由程序框圖可得，中的，，則空白推斷框應填，故選：A.【點睛】本題主要考查補全循環程序框圖，屬于基礎題型.10.已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線C在第一象限的交點為，若，則拋物線C的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設拋物線的準線為，作于，拋物線定義得到，再依據直線：過焦點且傾斜角為，得到為正三角形求解.【詳解】設拋物線的準線為，作于，如圖所示:因，由拋物線定義得：，又直線：過焦點且傾斜角為，所以，所以為正三角形，所以，，所以，故選：C．【點睛】本題主要考查拋物線的定義的應用，屬于基礎題.11.設函數的最大值為，最小值為，則的值是（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】將函數化簡，利用奇函數的對稱性，可得選項.【詳解】，設，因為，所以為奇函數，所以，則，所以，故選：B．【點睛】本題考查函數的奇偶性，一般像這種較為困難函數求最大值與最小值和相關問題，常會考慮函數本身或者能否構建成奇偶函數相關問題，屬于中檔題.12.已知函數，若存在，使，則a的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】存在，使，即．先證明恒成立，利用對數恒等式結合不等式放縮原函數，求出最值，可得a的最大值．【詳解】構造，則當時，，函數在單調遞減；當時，，函數在單調遞增；且時，，則恒成立，即，當時取“”，所以的最小值為，所以，故選：A．【點睛】本題考查利用導數解決函數的最值問題，考查學生邏輯推理實力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在點處的切線方程為______．【答案】【解析】【分析】先對原函數求導，再令x=1解出切線的斜率，利用點斜式求出切線方程．【詳解】解：令，，切線方程為．故填：．【點睛】本題主要考查導數的幾何意義，應用導數求切線方程．14.若變量，滿意約束條件，則的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數得答案．【詳解】滿意約束條件的可行域如圖所示，目標函數對應直線，當最小時，縱截距最小，所以平移直線過點時，縱截距最小，此時.故答案為：【點睛】本題主要考查線性規劃中，利用可行域求目標函數最值，屬于簡潔題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（肯定要留意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最終通過的頂點就是最優解）；（3）將最優解坐標代入目標函數求出最值.15.在等腰中，若，若點在以A，B為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】依據雙曲線的定義可求得，可得答案.【詳解】在等腰中，，設，則，所以，解得．故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的定義和雙曲線的離心率，屬于基礎題.16.數學中有很多寓意美妙的曲線，曲線被稱為“幸運四葉草曲線”（如圖所示）．給出下列四個結論：①曲線C關于直線交于不同于原點的兩點，則②存在一個以原點為中心、邊長為1的正方形，使得曲線C在此正方形區域內（含邊界）；③存在一個以原點為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內（含邊界）；④曲線C上存在一個點M，使得點M到兩坐標軸的距離之積大于.其中，正確結論的序號是___________．【答案】①③【解析】【分析】由對稱性推斷①，利用基本不等式求得曲線點到原點距離最大值后可推斷②③④．【詳解】曲線關于原點對稱，所以，所以①正確；由，所以，即：，當取等號，此時，點曲線上，而，所以②錯誤，③正確，因為，所以④錯誤，綜上所述，①③正確．故答案為：①③．【點睛】本題考查由方程探討曲線的性質，用基本不等式求曲線上的點到原點距離的最大值．應用基本不等式求最值是解題關鍵．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.某地六月份30天的日最高氣溫的統計表如下：日最高氣溫（單位：）天數711由于工作疏忽，統計表被墨水污染，Y和Z數據不清晰，但供應的資料顯示，六月份的日最高氣溫不高于32℃的頻率為（1）求Y，Z的值；（2）把日最高氣溫高于32℃稱為本地區的“高溫天氣”，已知該地區某種商品在六月份“高溫天氣”有2天“旺銷”，“非高溫天氣”有6天“不旺銷”，依據已知條件完成下面2×2列聯表，并據此是否有95%的把握認為本地區的“高溫天氣”與該商品“旺銷”有關？說明理由高溫天氣非高溫天氣合計旺銷不旺銷合計附：0.0500.0100.0010旺銷3.8416.63510.828【答案】（1），；（2）填表見解析；沒有；答案見解析.【解析】【分析】（1）依據六月份的日最高氣溫不高于32℃的頻率為0.8，得到日最高氣溫高于的頻率為，由求解.（2）依據列聯表，利用求得，比照臨界表下結論.【詳解】（1）由已知得：日最高氣溫高于的頻率為，所以，.（2）高溫天氣非高溫天氣合計旺銷不旺銷合計因為，所以沒有％的把握認為本地區的“高溫天氣”與該商品“旺銷”有關.【點睛】本題主要考查統計表的應用以及獨立性檢驗，屬于基礎題.18.已知的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，，.（1）求A的值；（2）從①，②兩個條件中選一個作為已知條件，求的值.【答案】（1）；（2）選擇見解析；.【解析】【分析】（1）由余弦定理結合已知即得解；（2）選擇①，利用正弦定理求出，再利用即得解；選擇②，利用即得解.【詳解】（1）由得：，又因為，所以.（2）選擇①作為已知條件.在△中，由，以及正弦定理，得，解得，由，得為銳角，所以，因為在△中，，所以，所以.選擇②作為已知條件，因為在△中，，所以，所以.【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的應用，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平.19.設數列滿意，．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前的和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用累加法可得數列的通項公式；（2）依據對數學問求出后，再利用裂項公式求和可得結果.【詳解】（1）因為（），所以（），當時，也適合，所以數列的通項公式為．（2）因為，所以，所以，．【點睛】本題考查了利用累加法求數列的通項公式，考查了對數的性質，考查了利用裂項求和法求數列的前項和，屬于中檔題.20.如圖，直三棱柱中，，，D，E分別是BC，的中點．（1）證明：平面ADE；（2）若，求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）依據∽，可得，依據平面，可得，再依據直線與平面垂直的判定定理可得平面ADE；（2）因為，所以，以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，利用平面的法向量可求得結果.【詳解】（1）由已知得：，所以∽，所以，所以，所以，所以，又因為，是的中點，所以，所以平面，所以，而，所以平面ADE；．（2）因為，所以，以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，所以，，，則，，設為平面的一個法向量，則，即，取，得，，所以，平面的法向量為，所以，所以，所以，平面與平面所成二面角的正弦值為．【點睛】本題考查了直線與平面垂直的判定定理，考查了二面角的向量求法，屬于中檔題.21.已知點和直線，設動點到直線2的距離為d，且.（1）求點M的軌跡E的方程；（2）已知，若直線與曲線E交于A，B兩點，設點A關于x軸的對稱點為C，證明：P、B、C三點共線.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）干脆把已知條件用坐標表示并化簡即得軌跡方程；（2）設，，則，直線方程與橢圓方程聯立消去后整理后應用韋達定理有，由兩點坐標寫出直線方程，由證明直線過點即證得結論．【詳解】解：（1）由已知，，所以，化簡得動點的軌跡的方程：．（2）設，，則，由，得：，此時，所以，，由直線的方程：得：，令，則，所以直線過點，即，，三點共線．【點睛】本題考查用干脆法求軌跡方程，考查直線與橢圓相交問題，解題方法是設而不求的思想方法．本題屬于中檔題．直線過定點的兩類問題：（1）未知定點，用參數寫出直線方程，參數較多時，可通過已知條件消去多余的參數，只留下一個參數，利用此方程關于參數是恒等式可得定點坐標．（2）已知定點，同樣用參數表示出直線方程，驗證定點在此直線上即可．22.已知函數.（1）若，求實數的取值范圍；（2）設，數列的前n項和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由，得，引入新函數，由導數