PAGE1-單元評估驗收(一)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．在△ABC中，a＝k，b＝eq\r(3)k(k>0)，A＝45°，則滿意條件的三角形有()A．0個 B．1個C．2個 D．多數(shù)個解析：由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(6),2)>1，即sinB>1，這是不成立的．所以沒有滿意此條件的三角形．答案：A2．在△ABC中，已知a＝eq\r(2)，b＝2，B＝45°，則角A＝()A．30°或150° B．60°或120°C．60° D．30°解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，sinA＝eq\f(a,b)sinB＝eq\f(\r(2),2)sin45°＝eq\f(1,2)，又因為b＞a，故A＝30°.答案：D3．對于△ABC有如下推斷，其中正確的推斷是()A．若sin2A＝sin2B，則△ABC為等腰三角形B．若A>B，則sinA>sinBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個D．若sin2A＋sin2B<sin2C，則△ABC是鈍角三角形解析：在△ABC中，對于A，若sin2A＝sin2B，則2A＝2B或2A＋2B＝π，當A＝B時，△ABC為等腰三角形；當A＋B＝eq\f(π,2)時，△ABC為直角三角形，故A項不正確．對于B項，若A>B，則a>b，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即sinA>sinB成立．故B項正確．對于C項，由余弦定理可得：b＝eq\r(82＋102－2×8×10×\f(1,2))＝eq\r(84)，只有一解，故C項錯誤．對于D項，若sin2A＋sin2B<sin2C，由正弦定理得a2＋b2<c2，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以C為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形，故D項正確．答案：BD4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，則cosB＝()A．±eq\f(\r(5),3) B．eq\f(2,3)C．－eq\f(\r(5),3) D．eq\f(\r(5),3)解析：因為eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以eq\f(15,sin30°)＝eq\f(20,sinB)，解得sinB＝eq\f(2,3).因為b>a，所以B>A，故B有兩解，所以cosB＝±eq\f(\r(5),3).答案：A5．在△ABC中，已知cosAcosB＞sinAsinB，則△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形解析：由cosAcosB＞sinAsinB，得cosA·cosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＞0，所以A＋B＜90°，所以C＞90°，C為鈍角．答案：C6．如圖所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，與O相距15海里的C處．現(xiàn)甲船以35海里/時的速度沿直線CB去營救位于中心O正東方向25海里的B處的乙船，則甲船到達B處須要的時間為()A．eq\f(1,2)小時 B．1小時C．eq\f(3,2)小時 D．2小時解析：在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，eq\f(35,35)＝1(小時)，因此甲船到達B處須要的時間為1小時．答案：B7．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，則k的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．(－∞，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m＞0)，因為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＞c，,a＋c＞b，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m（2k＋1）＞2mk，,3mk＞m（k＋1），))所以k＞eq\f(1,2).答案：D8.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2min，從D沿著DC走到C用了3min.若此人步行的速度為50m/min，則該扇形的半徑為()A．50m B．45mC．50eq\r(7)m D．47m解析：由題知，OD＝100，DC＝150，因為DC∥OA，∠AOB＝120°連接CO在△ODC中，由余弦定理得：OC2＝OD2＋DC2－2OD×DC＝1002＋1502－2×100×150cos60°OC＝50eq\r(7)故選C.答案：C9.如圖，設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，eq\r(3)(acosC＋ccosA)＝2bsinB，且∠CAB＝eq\f(π,3).若點D是△ABC外一點，DC＝1，DA＝3，下列說法中，正確的命題是()A．△ABC的內角B＝eq\f(π,3)B．△ABC的內角C＝eq\f(π,3)C．四邊形ABCD面積的最大值為eq\f(5\r(3),2)＋3D．四邊形ABCD面積無最大值解析：因為eq\r(3)(acosC＋ccosA)＝2bsinB所以eq\r(3)(sinAcosC＋sinCcosA)＝2sin2B所以eq\r(3)sin(A＋C)＝2sin2B所以eq\r(3)sinB＝2sin2B所以sinB＝eq\f(\r(3),2)因為∠CAB＝eq\f(π,3)，所以B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以B＝eq\f(π,3)，所以C＝π－A－B＝eq\f(π,3)，因此A、B正確；四邊形ABCD面積等于S△ABC＋S△ACD＝eq\f(\r(3),4)AC2＋eq\f(1,2)AD·DC·sin∠ADC＝eq\f(\r(3),4)(AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC)＋eq\f(1,2)AD·DC·sin∠ADC＝eq\f(\r(3),4)(9＋1－6·cos∠ADC)＋eq\f(1,2)×3sin∠ADC＝eq\f(5\r(3),2)＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠ADC－\f(π,3)))≤eq\f(5\r(3),2)＋3，因此C正確，D錯誤．答案：ABC10．＝eq\f(c－b,2c)，則△ABC的形態(tài)為()A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形解析：由已知可得eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(b,2c)，即cosA＝eq\f(b,c)，b＝ccosA.法一由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，則b＝c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC為直角三角形．法二由正弦定理，得sinB＝sinCcosA.在△ABC中，sinB＝sin(A＋C)，從而有sinAcosC＋cosAsinC＝sinCcosA，即sinAcosC＝0.在△ABC中，sinA≠0，所以cosC＝0.由此得C＝eq\f(π,2)，故△ABC為直角三角形．答案：B11．一輛汽車在一條水平的馬路上向正西行駛，如圖，到A處時測得馬路北側一鐵塔底部C在西偏北30°的方向上，行駛200m后到達B處，測得此鐵塔底部C在西偏北75°的方向上，塔頂D的仰角為30°，則此鐵塔的高度為()A．eq\f(100\r(6),3)m B．50eq\r(6)mC．100eq\r(3)m D．100eq\r(2)m解析：設此鐵塔高h(m)，則BC＝eq\r(3)h，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∠BCA＝45°，AB＝200.依據(jù)正弦定理得eq\f(\r(3)h,sin30°)＝eq\f(200,sin45°)，解得h＝eq\f(100\r(6),3)(m)．答案：A12．在△ABC中，D在線段AB上，且AD＝5，BD＝3若CB＝2CD，cos∠CDB＝－eq\f(\r(5),5)，則()A．sin∠CDB＝eq\f(3,10)B．△ABC的面積為8C．△ABC的周長為8＋4eq\r(5)D．△ABC為鈍角三角形解析：因為cos∠CDB＝－eq\f(\r(5),5)，所以sin∠CDB＝eq\r(1－cos2∠CDB)＝eq\f(2\r(5),5)，故A項錯誤；設CD＝a，則BC＝2a，在△BCD中，BC2＝CD2＋BD2－2BD·CD·cos∠CDB，解得a＝eq\r(5)，所以S△DBC＝eq\f(1,2)BD·CD·sin∠CDB＝eq\f(1,2)×3×eq\r(5)×eq\f(2\r(5),5)＝3，所以S△ABC＝eq\f(3＋5,3)S△DBC＝8，故B項正確；因為∠ADC＝π－∠CDB，所以cos∠ADC＝cos(π－∠CDB)＝－cos∠CDB＝eq\f(\r(5),5)，在＝2eq\r(5)，所以C△ABC＝AB＋AC＋BC＝(3＋5)＋2eq\r(5)＋2eq\r(5)＝8＋4eq\r(5)，故C項正確；因為AB＝8為最大邊，所以cosC＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2BC·AC)＝－eq\f(3,5)<0，即∠C為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，故D項正確．答案：BCD二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，則cosC＝________．解析：由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－eq\f(2,3)ab.依據(jù)余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－a2－b2＋\f(2,3)ab,2ab)＝eq\f(1,3)，所以cosC＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)14．＋c＝2a，3sinA＝5sinB，則角C＝________．解析：由已知條件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，則a＝eq\f(5b,3)，c＝2a－b＝eq\f(7b,3)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)，又0＜C＜π，因此角C＝eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)15．在△ABC中，A滿意eq\r(3)sinA＋cosA＝1，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，則△ABC的面積為________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)sinA＋cosA＝1，,sin2A＋cos2A＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(\r(3),2)，,cosA＝－\f(1,2).))所以A＝120°，由正弦定理得eq\f(2,sinC)＝eq\f(2\r(3),sinA)，所以sinC＝eq\f(1,2).因為AB<BC，所以C＝30°，所以B＝30°，所以S＝eq\f(1,2)AB×BC×sinB＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×sin30°＝eq\r(3).答案：eq\r(3)16．太湖中有一小島C，沿太湖有一條正南方向的馬路，一輛汽車在馬路A處測得小島在馬路的南偏西15°的方向上，汽車行駛1km到達B處后，又測得小島在南偏西75°的方向上，則小島到馬路的距離是________km.解析：如圖所示，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以BC＝eq\f(1,sin60°)·sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km)．設C到直線AB的距離為d，則d＝BC·sin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))·eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km)．答案：eq\f(\r(3),6)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)設△ABC的內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB＝3，bsinA＝4.(1)求邊長a；(2)若△ABC的面積S＝10，求△ABC的周長l.解：(1)由題意得：eq\f(acosB,bsinA)＝eq\f(3,4)，由正弦定理得：eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，所以eq\f(cosB,sinB)＝eq\f(3,4)，cos2B＝eq\f(9,16)sin2B＝eq\f(9,16)(1－cos2B)，即cos2B＝eq\f(9,25)，由題意知：a2cos2B＝9，所以a2＝25，得a＝5或a＝－5(舍去)．所以a＝5.(2)因為S＝eq\f(1,2)bcsinA＝2c，所以，由S＝10得c＝5，應用余弦定理得：b＝eq\r(a2＋c2－2accosB)＝2eq\r(5).故△ABC的周長l＝a＋b＋c＝2(5＋eq\r(5))．18．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a＝2，cosB＝eq\f(3,5).(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若△ABC的面積S△ABC＝4，求b、c的值．解：(1)因為cosB＝eq\f(3,5)>0，0<B<π，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4,5).由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinA＝eq\f(a,b)sinB＝eq\f(2,5).(2)因為S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(4,5)c＝4，所以c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×eq\f(3,5)＝17，所以b＝eq\r(17)或b＝－eq\r(17)(舍去)．所以b＝eq\r(17).19．(本小題滿分12分)設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sinAsinC＝eq\f(\r(3)－1,4)，求C.解：(1)因為(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(1,2)，又B∈(0°，180°)，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，①所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝eq\f(1,2)＋2×eq\f(\r(3)－1,4)＝eq\f(\r(3),2)，又因為－60°<A－C<60°，故A－C＝30°或A－C＝－30°.②由①②得C＝15°或C＝45°.20.(本小題滿分12分)“我將來要當一名麥田里的守望者．有那么一群孩子在一大塊麥田里玩．幾千幾萬的小孩子，旁邊沒有一個大人，我是說——除了我．”《麥田里的守望者》中的主子公霍爾頓將自己的精神生活寄予于那廣袤無垠的麥田，假設霍爾頓在一塊平面四邊形ABCD的麥田里成為守望者，如圖所示，為了分割麥田，他將BD連接，設△ABD中邊BD所對的角為A，△BCD中邊BD所對的角為C，經(jīng)測量已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2eq\r(3).(1)霍爾頓發(fā)覺：無論BD多長，eq\r(3)cosA－cosC為一個定值．請你驗證霍爾頓的結論，并求出這個定值．(2)霍爾頓發(fā)覺：麥田的生長與土地面積的平方呈正相關．記△ABD與△BCD的面積分別為S1和S2，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求出Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)的最大值．解：(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝4＋12－8eq\r(3)cosA＝16－8eq\r(3)cosA，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝4＋4－8cosC，所以16－8eq\r(3)cosA＝8－8cosC，則8(eq\r(3)cosA－cosC)＝8，所以eq\r(3)cosA－cosC＝1.所以eq\r(3)cosA－cosC為一個定值，這個定值為1.(2)＝2sinC，因為Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＝12sin2A＋4sin2C＝16－(12cos2A＋4cos2C)，由(1)知，cosC＝eq\r(3)cosA－1，代入上式得Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＝16－12cos2A－4(eq\r(3)cosA－1)2＝－24cos2A＋8eq\r(3)cosA＋12，所以Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＝－24eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosA－\f(\r(3),6)))eq\s\up12(2)＋14，因為cosA∈(－1，1)，當cosA＝eq\f(\r(3),6)時，Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)取到最大值，為14.21．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos2C＋2eq\r(2)cosC＋2＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝eq\r(2)a，△ABC的面積為eq\f(\r(2),2)sinAsinB，求sinA及c的值．解：(1)因為cos2C＋2eq\r(2)cosC＋2＝0，所以2cos2C＋2eq\r(2)cosC＋1＝0，即(eq\r(2)cosC＋1)2＝0，所以cosC＝－eq\f(\r(2),2).又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(3π,4).(2)因為c2＝a2＋b2－2abcosC＝3a2＋2a2＝5a2，所以c＝eq\r(5)a，即sinC＝eq\r(5)sinA，所以sinA＝eq\f(1,\r(5))sinC＝eq\f(\r(10),10).因為S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，且S△ABC＝eq\f(\r(2),2)sinAsinB，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(2),2)sinAsinB，所以eq\f(ab,sinAsinB