準考證號：______ 姓名：______（在此卷上答題無效）2023~2024學年第一學期福州市高一年級期末質量檢測數學試卷（完卷時間：120分鐘；滿分：150分）友情提示：請將所有答案填寫到答題卡上！請不要錯位、越界答題！一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.A. B. C. D.2.命題“，”的否定是A.， B.，C.， D.，3.在下列區間中，方程的實數解所在的區間為A. B. C. D.4.已知集合，，則A. B. C. D.5.設，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知，，，則A. B. C. D.7.已知，則A. B. C. D.8.某工廠產生的廢氣經過過濾后排放.已知過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時間（單位：h）的關系為（且，且），其圖象如下，則污染物減少至少需要的時間約為（參考數據：，）A.23小時 B.25小時 C.42小時 D.44小時二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知，則下列不等式成立的是A. B.C. D.10.已知函數的部分圖象如下所示，則A.B.在上單調遞增C.的圖象關于直線對稱D.將的圖象向左平移個單位長度后所得的圖象關于原點對稱11.已知函數的定義域為，，都有，且，則A. B.C.是增函數 D.是偶函數12.已知函數若關于的方程有3個實數解，，，則A.B.C.D.關于的方程恰有3個實數解三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知函數（且）的圖象經過定點，則的坐標是______.14.已知扇形的弧長是，面積是，則扇形的圓心角（正角）的弧度數為______.15.已知函數不恒為0，且同時具備下列三個性質：①；②是偶函數；③，，.寫出一個函數______.16.用表示函數在閉區間上的最大值，已知.（1）若，則的取值范圍是______.（2）若，則的取值范圍是______.（第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）已知函數.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范圍.18.（12分）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點.（1）求，，的值；（2）將的終邊按順時針方向旋轉，此時終邊所對應的角為，求的值.19.（12分）已知函數，.（1）求的單調遞增區間；（2）求在區間上的最大值和最小值.20.（12分）已知函數.（1）判斷在區間上的單調性，并用定義證明；（2）解不等式.21.（12分）已知函數為奇函數，.（1）求實數的值；（2），，使得，求實數的取值范圍.22.（12分）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具.如圖，假定在水流量穩定的情況下，一個半徑為的筒車開啟后按逆時針方向做勻速圓周運動，每分鐘轉1圈、筒車的軸心距離水面的高度為.設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負數）.若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：s）之間的關系為.（1）求，，，的值；（2）若盛水筒在不同時刻，距離水面的高度相等，求的最小值；（3）若筒車上均勻分布了12個盛水筒，在筒車運行一周的過程中，求相鄰兩個盛水筒距離水面的高度差的最大值.

數學參考答案與評分細則一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.D2.C3.C4.B5.A6.B7.B8.D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.AD10.ACD11.BC12.ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.. 14.2.15..（答案不唯一，如，（且）等均可）16.（1）；（第一空2分）（2）.（第二空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.解：（1）.因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為7.（2）由（1）知函數的最小值為7，因為恒成立，所以，解得，所以的取值范圍是.18.解法：（1）根據題意可得，，則，，.（注：每個三角函數值各2分）（2）根據題意可得，所以解法二：（1）同解法一.（2）根據題意可得，，所以，，（注：解答過程有體現角與的關系，得1分）所以.19.解：（1）根據題意可得，，即.因為，所以，所以，即.所以由，得，所以的單調遞增區間為，.（2）因為，所以，所以當，即時，；當，即時，20.解：（1）函數在區間上單調遞增.（注：結論后置不扣分）證明：任取，且，則由，得，所以，，故，即，所以，所以在區間上單調遞增.（2）函數的定義域為，因為，都有，且，所以為偶函數.又由（1）知，在上是單調遞增，所以等價于，兩邊平方，得，解得或，所以不等式的解集為.21.解：（1）因為是奇函數，所以，即，整理得.所以.解得，當時，，舍去，當時，函數的定義域為，符合題意.所以。（注：定義域沒寫不扣分，若用特殊值法求出的值，但未檢驗的扣1分）（2）設，根據題意可得，.由（1）知，當時，，故.，設，函數，.①當時，，可得，符合題意；②當時，，圖象的對稱軸為.（i）當時，對稱軸，所以在區間上單調遞減，故，由，得，即，所以；（ii）當時，若，即時，，由，得，所以；若，即村，，由，得，所以；綜上所述，的取值范圍是.22.解：（1）如圖，設筒車與水面的交點為，，連接，過點作于點，過點分別作于點，于點，則，因為筒車轉一周需要1分鐘，所以，故.在中，，所以，即.（2）由（1）知，.不妨設，由題意得，故，所以，或，.當，時，解得，故，當且僅當，