廣東省江門市2020-2021學年高二下學期數學期末考試試卷

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的）

1.復數5的共輒復數是（）

1—2

A.2+iB.-2+iC.-2—iD.2—i

2."0<t<1"是"曲線紀+^=1表示橢圓”的（）

t1—t

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不

必要條件

3.已知橢圓幡+*1（€1>匕>0）的左右焦點分別為Fi,F2,離心率為坐，過

F2的直線[交C于兩點，若AA&B的周長為4V3則，橢圓C的方程為（）

丫2”222”22

A號+A1YB*+/=iV?+&=]v嗪+A

1

4.與直線3支―4y+5=0關于％軸對稱的直線的方程為（）

A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.3%—4y+5=

0D.3x—4y—5=0

5.意大利著名天文學家伽利略曾錯誤地猜測鏈條自然下垂時的形狀是拋物線.直到1690年,

雅各布?伯努利正式提出該問題為“懸鏈線”問題并向數學界征求答案.1691年他的弟弟約

翰?伯努利和菜布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的數學表達式一一

XX

雙曲余弦函數：f（x）=c+acosh；=c+Q?吧A（e為自然對數的底數）.當C=O,

a=1時，記p=/（-I）,m=/（|）,n=f（2），則p,m,n的大小關系為（）.

A.p<m<nB.n<m<pC.m<p<nD.m<

n<p

6.已知雙曲線的漸近線為y=±2x，且過點P（l,百），則該雙曲線的標準方程為（）

A.q_y2=iB.貯_/=iC.史_y2=iD.^__

4yl2210.5y10.25

y2=1

7.棱長均為3的三棱錐S-ABC,若空間一點P滿足SP=xSA+ySB+zSC（x4-y+

z=1）,則\SP\的最小值為（）

A.V6B.軍C.在D.1

2

8.如果Pi,P2，…，Pn是拋物線C：y=2px(p>0)上的點，它們的橫坐標依次

為,%2，…，xn，點F是拋物線C的焦點.若勺+牝+…+/=1。，島91+尸2川+

-+\PnF\=10+n,則p等于()

A.2B.^C.|D.4

二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的

得。分)

9.已知m,n是兩條不重合的直線，a,B,丫是三個兩兩不重合的平面，則下列

命題正確的是()

A.若mla,n工。，a///?,則m//nB.若a1y,,則a〃0

C.若m//p,n//p,ua,則a//pD.若nua,nl/?,貝

10.定義：以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線與原雙曲線互為共粗雙曲線.以下

關于共規雙曲線的結論正確的是()

A.與^2-^2=1(。>0,b>0)共輒的雙曲線是^2——2=l(a>0,b>0)

B.互為共挽的雙曲線漸近線不相同

C.互為共枕的雙曲線的離心率為ei、e2則eie2>2

D.互為共班的雙曲線的4個焦點在同一圓上

11.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A^C^中，點P在線段BC]上運動，則下列

判斷中正確的是()

A.三棱錐A-D[PC的體積是i

B.DP〃平面AB1D1

C.平面PBi。與平面ACDy所成的二面角為60°

D.異面直線A.P與AD.所成角的范圍是礙方

12.已知函數/(%)=e|xlsinx,則下列結論正確的是()

A./(x)是以27r為周期的函數B.7(%)是奇函數

C./(%)在(一百,當)上為增函數D./(%)在(-IOTT,IOTT)內有20個極值

點

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.命題“>0,3%-1<0"的否定是—.

14.已知復數z與(z+2)2-8i均是純虛數，則z=.

15.過點(0,1)的直線與圓x2+y2=4相交于A、B兩點，則\AB\的最小值為一.

16.如圖，在直三棱柱4BC-41B1C1中，ZBAC=90"，AB=AC=AAi=1,已知

G和E分別為必/和CCi的中點，。和F分別為線段AC和AB上的動點(不包

括端點)，若DG1EF,則線段DF長度的取值范圍為.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明

過程或演算步驟)

17.已知拋物線C-.y2=2px(p>0)的焦點為F,并且經過點4(1,-2).

(1).求拋物線C的方程；

(2).過原點0作傾斜角為45。的直線I交拋物線C于M,N兩點，求&FMN的

面積.

18.已知空間三點4(0,2,3),5(-2,1,6),C(l,-1,5).

(1).求XABC的面積；

(2).若向量CD//AB，月.|而|=，五，求向量CD的坐標.

19.已知函數/(x)=-%3+3x2+9x+a.

(1).當a=—2時，求/(%)在久=2處的切線方程；

(2).若/(%)在區間［-2,2］上的極小值為一5,求它在該區間上的最大值.

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD是菱形，ZABC=

60°.點E,F分別在棱BC,PD上，且雇=2EC，~PF=2FD.

(1).證明：EF//平面PAB；

(2).若PA=V2AB,求二面角B-PC-D的余弦值.

21橢圓E與<+q=1有共同的焦點，且經過點4(1,T)

yOZ

(1).求橢圓E的標準方程和離心率；

(2).設F為E的左焦點，M為橢圓E上任意一點，求麗.前的最大值.

22.已知函數/(%)=Inx—ax.

(1).若函數/(%)在定義域上的最大值為1,求實數a的值；

⑵.設函數/(%)=(%—2)ex+/(%)，當a=1時，/(X)<b對任意的x6逑1］恒

成立，求滿足條件的實數b的最小整數值.

答案解析部分

廣東省江門市2020-2021學年高二下學期數學期末考試試卷

一、單選題

1.復數5的共聊復數是（）

1—2

A.2+iB.-2+iC.-2—iD.2—i

【答案】B

【考點】復數的基本概念，復數代數形式的乘除運算

【解析】【解答】因為金=卷宗*=—2—i，

所以復數5的共扼復數為一2+K

I-Z

故答案為：B

【分析】利用復數的乘除法運算法則求出復數三，再利用復數與共物復數的關系，從

I—L

而求出復數5的共輸復數。

I—L

22

2."0<t<1"是"曲線二+工=1表示橢圓”的（）

t1-t

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不

必要條件

【答案】B

【考點】橢圓的定義

22

【解析】【解答】因為曲線上+2=1為橢圓，

t1-t

t>0

所以｛l-t>0,解得0cte1且,

t*1-1

所以"0<t<1"是"0<t<1且t力：”的必要而不充分條件.

故答案為：B

【分析】直接利用橢圓的方程滿足的條件的應用和充分條件和必要條件的應用求出結果.

3.己知橢圓常+*l（a〉6>0）的左右焦點分別為%,F2,離心率為母，過

F2的直線/交C于4B兩點，若△A&B的周長為4V3貝I,橢圓C的方程為（）

4+21B考+儼=14迷+冬

1

【答案】A

【考點】橢圓的簡單性質

【解析】【解答】由題意可得群攀4a=4百，解得a=B,c=l,

所以b2=a2—c2=2，

所以橢圓C的方程為《+￥=1。

故答案為：A

【分析】利用已知條件結合橢圓的離心率公式，從而求出a,c的關系式，再利用橢圓的定

義結合三角形的周長公式，從而求出a的值，進而求出c的值，再利用橢圓中a,b,c三者的

關系式，從而求出b的值，進而求出橢圓的標準方程。

4.與直線3%-4y+5=0關于x軸對稱的直線的方程為()

A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.3x-4y+5=

0D.3x—4y—5=0

【答案】B

【考點】直線的一般式方程，圖形的對稱性

【解析】【解答】直線3x—4y+5=0關于久軸對稱的直線的方程為3%-4(一切+5=

0,即3x+4y+5=0。

故答案為：B.

【分析】利用直線關于x軸對稱的求解方法，從而求出與直線3%-4y+5=0關于久軸

對稱的直線的一般式方程。

5.意大利著名天文學家伽利略曾錯誤地猜測鏈條自然下垂時的形狀是拋物線.直到1690年,

雅各布?伯努利正式提寓該問題為"懸鏈線”問題并向數學界征求答案.1691年他的弟弟約

翰?伯努利和菜布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的數學表達式一一

XX

雙曲余弦函數：fM=c+acOsh-=c+a^^(e為自然對數的底數).當c=0,

八,a2

a=1時，記p=/(-I),m=,n=f(2)，則p,m,n的大小關系為()?

A.p<m<nB.n<m<pC.m<p<nD.m<

n<p

【答案】C

【考點】利用導數研究函數的單調性

【解析】【解答】由題意知，/0)=三七，,(乃=三產=嚷

當x>0時，/(X)>0,即函數/(x)在區間(0,+叼上單調遞增

e-1+e

=—=/(1)

v0<|<1<2,</(I)<f(2),BPm<p<n

故答案為：C

【分析】先利用導數證明函數/(%)在區間(0,+8)上單調遞增，再結合單調性比較大小

即可。

6.已知雙曲線的漸近線為y=±2x,且過點P(1,V3)，則該雙曲線的標準方程為()

A/2_1By?/x2_x2

A?彳-y-11c0S~y2-1D025~

y2=1

【答案】D

【考點】雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質

【解析】【解答】由題意，設雙曲線方程為4x2-y2=k,因為雙曲線過點P(1,V3)，

所以4-3=k=l,

2

雙曲線方程為4/—y2=i,即X__y2=1。

故答案為：D.

【分析】利用雙曲線的漸近線為y=±2x,設雙曲線方程為4x2-y2=/c,因為雙曲

線過點P(1,V3)，再結合代入法，從而求出k的值，進而求出雙曲線的方程，再轉化為雙

曲線的標準方程。

7.棱長均為3的三棱錐S-ABC,若空間一點P滿足SP^=xSA+ySB+zSC(x4-y+

z=1),則函的最小值為()

A.V6B.匹C.，D.1

36

【答案】A

【考點】向量的模，棱錐的結構特征

【解析】【解答】由SP=xSA+ySB+zSC(x+y+z=1)，根據空間向量基本定理知,

P與A,B,C共面，

則|可|的最小值為三棱錐的高，

設。為S在面ZBC上的射影，由條件可得三棱錐S-ABC為正三棱錐，

連接CO并延長交AB于點H，則CHA.AB，

所以CH=竽，CO=百，

所以函的最小值為舊一(圾之=府

故答案為：A.

【分析】由SP=xS^44-ySB+zSC(x+y+z=1)，根據空間向量基本定理知，P與

A,B,C共面，則|可|的最小值為三棱錐的高，設。為S在面ABC上的射影,

由條件可得三棱錐S-ABC為正三棱錐，連接CO并延長交AB于點H，則CH1

AB,所以CH=歲，。0=北，再利用勾股定理求出函的最小值。

2

8.如果Pi,P2,Pn是拋物線C：y=2px(p>0)上的點，它們的橫坐標依次

為修，久2，…，，點F是拋物線C的焦點.若巧+X2+…+馬=10，島用+氏2尸|+

-+\PnF\=10+n,則p等于()

A.2B.|3C.15D.4

【答案】A

【考點】拋物線的定義，拋物線的簡單性質

【解析】【解答】拋物線C：y2=2Px(p>0)的準線為％=-§，

根據拋物線的定義可知，\PF1\=x1+l,\PF2\=x2+l,…，\PFn\=xn+l,

所以回尸1|+'見+…+|P瑪ll=+芻+*2+岑+--1-xn+2'

所以10+71=%1+%2+…+尤/1+，

所以10+71=10+罷，所以p=2。

故答案為：A

【分析】利用拋物線C：y2=2Pxe>0)求出其準線方程為久=一芻，再根據拋物線

的定義可知|PFi|=與+芻，\PF2\=x2+l,…，|P耳|=今+,，所以山鼻|+

\PF2\+-+\PFn\=x1+l+x2+l+-+xn+l,再利用島尸|+層尸1+?“+島川

=10+n和％]+肛+…+xn=10,所以10+71=10+,從而求出p的值。

二、多選題

9.已知m,n是兩條不重合的直線，a,B,丫是三個兩兩不重合的平面，則下列

命題正確的是()

A.若rnla,n_L0,a〃.,則m//nB.若a1y,01y,則a///?

C.若m//p,n//P,ua,則a〃/?D.若nua,n_L0,則a_L0

【答案】A,D

【考點】空間中直線與直線之間的位置關系，平面與平面平行的判定，平面與平面垂直的判

定

【解析】【解答】解：對A：若？n_La,a〃0，則mJ.0,又nJ.0,所以m//n,

故正確；

對B：若aly,/?ly,則a與夕可能平行，也可能相交，故錯誤；

對C：若m//p,n//p,m,nua,由于沒有強調？n與n相交，故不能推出a〃0,

故錯誤；

對D：若nua,nip,根據面面垂直的判定定理，可得aJ.夕，故正確.

故答案為：AD.

【分析】利用已知條件結合線線平行的判斷方法、面面平行的判定定理、面面垂直的判定

定理，從而選出正確命題的選項。

10.定義：以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線與原雙曲線互為共軌雙曲線.以下

關于共聊雙曲線的結論正確的是()

A.與—一=1(a>0,h>0)共朝的雙曲線是彳——n=l(a>0,d>0)

yab

B.互為共規的雙曲線漸近線不相同

C.互為共輒的雙曲線的離心率為、e2則eie2>2

D.互為共貌的雙曲線的4個焦點在同一圓上

【答案】C,D

【考點】雙曲線的定義，雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質

【解析】【解答】對于A選項，由共輒雙曲線的定義可知，與||-4=l(a>0,h>0)共

舸的雙曲線是**l(a>0,b>0),A不符合題意；

對于B選項，雙曲線及一￡=l(a>0,b>0)的漸近線方程為”士白,

雙曲線￡4=l(a>°，b>0)的漸近線方程為y=±^x，B不符合題意；

對于C選項，設c=Va2+b2，雙曲線4-4=1的離心率為ei=5，

a"ba

雙曲線力—1的離心率為e2=Z，

所以，的62=4=0咨=。+烏>2陌=2，當且僅當a=b時，等號成立，C

對；

對于D選項，設C=迎2+b2,雙曲線4-4=1的焦點坐標為(±c，0)'

Qb

雙曲線［一盤=1的焦點坐標為(0,土C)，這四個焦點都在圓x2+y2=c2上，D對.

故答案為：CD.

【分析】由共聊雙曲線的定義可知，與當一￥=l(a>0,b>0)共軻的雙曲線是4-

^|=l(a>0,h>0)；利用雙曲線標準方程為最一、=l(a>0,b>0),從而確定焦

點的位置，進而求出雙曲線的漸近線方程為y=,因為雙曲線標準方程為m-馬=

)一a『a'

l(a>0,b>0),從而確定焦點的位置，進而求出雙曲線的漸近線方程為y=±1為；從

而推出互為共粗的雙曲線漸近線相同；利用雙曲線中a,b,c三者的關系式，設。=

Va2+b2，再利用雙曲線的離心率公式求出雙曲線最一卷=1的離心率為ei和雙

=1

曲線4-4的離心率為e2=r.再結合均值不等式求最值的方法，所以0送2=

bQ乙0

22

cj=b+a=ba>2,利用雙曲線中a,b,c三者的關系式，設c=病彳9，再利

ababab~

用雙曲線標準方程為4-4=i，從而求出焦點的位置，進而求出焦點坐標為（土c,o），

ab

再利用雙曲線標準方程為彳-多=1,從而求出焦點的位置，進而求出焦點坐標為

b衣

（0,±c）,這四個焦點都在圓x2+y2=c2上，從而找出結論正確的選項。

11.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A^C^中，點P在線段BCi上運動，則下列

判斷中正確的是（）

A.三棱錐A-%PC的體積是

B.DP〃平面ABiA

C.平面PB[D與平面ACD1所成的二面角為60°

D.異面直線A.P與ADX所成角的范圍是礙

【答案】A,B

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，異面直線及其所成的角，直線與平面平行的判定，與二

面角有關的立體幾何綜合題

【解析】【解答】對于A：因為C到平面AD.P的距離不變，為CBi的一半，等于當,

△ADXP的面積不變，且S&皿p=|x\ADX\X\AB\=|XV2X1=y

所以三棱錐的體積不變，

根據等體積法可得1Pc=心應P="SA皿px曰=：,A符合題意；

對于B：連接DB,DP,4名,81。1,因為正方體ABC。,

所以BD“B[Di，BDu平面DBP,

BRC平面DBP,所以B】Di〃平面DBP,

同理AD、”平面DBP,BiQC4D1=%,

所以平面ADRI/平面DBP，又DPu平面DBP,

所以DP//平面AB.D,,B符合題意.

對于C：因為4clBD,BB1LAC,BB1CBD=B,

所以AC1平面BDB],所以ACLDB1,

同理也1DB^ADrOAC=A,

所以DB11平面AC。1，

所以平面PB.D1平面AC。1，C不符合題意；

對于D：因為AD\“BC\,

所以異面直線4P與AD1所成角等于4P與BQ所成的角，

因為A.lB=A1C1,當P與BG兩端點重合時，

A.P與BC、所成的角最小，且為g,

當P位于BG中點時，A.P與SC1所成角最大，且為三，

所以異面直線4P與AD.所成角的范圍是碎為，D不符合題意.

故答案為：AB.

【分析】利用等體積法，求出以-%PC=%-4D|P=3，即可得判斷出選項A正確：利

用面面平行的判定定理，可證平面平面AD\B[〃平面DBP,再由BD〃Bi￡)i，BDu平

面DBP,即可判斷出選項B正確；根據面面垂直的判定定理，可證平平面PBiDl平

面AC。1，可判斷出選項C錯誤；由已知條件分析可得點P位于BG兩端點時，&P與

BG所成的角最小，P位于Bq中點時，&P與BC]所成角最大，即可判斷出選項D錯誤,

由此即可得答案.

12.已知函數/(x)=e^lsinx,則下列結論正確的是()

A.f(x)是以2兀為周期的函數B.7(%)是奇函數

C./(x)在(一與手)上為增函數D./(%)在(―10兀,10兀)內有20個極值

點

【答案】B,C,D

【考點】函數單調性的判斷與證明，函數奇偶性的判斷，函數的周期性，函數在某點取得極

值的條件

【解析】【解答】對于A選項：/(x+2兀)=elx+2msin(x+2兀)=elx+2“lsin%羊/(x))

所以函數/(%)不是周期為2兀的函數，A不符合題意；

對于B選項：/(%)的定義域為R,/(—x)=el-xlsin(—%)=—e^lsinx=-/(x)，

所以函數/(%)是奇函數，B符合題意；

7T-z/-x

對于C選項：當xe(-4-0)時，/W=esinx,//(%)=e(cosx-sinx)>0，

所以函數f(x)在(一今,0)單調遞增，

xx

當xe(0,當)時，/(x)=esinx，/(x)=e(sinx+cosx)>0，所以函數/(久)在

(0,半)單調遞增，

所以函數/(%)在(一左，苧)上為增函數，C符合題意；

對于D選項：當久e[0,10兀)時，/(x)=ezsinx，f(x)=ex(sinx+cosx)，令

，TT

f(x)=ez(sinx+cosx)=0，得X=一彳+々兀(卜=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),

當xG(―IOTT,0)時，/(x)=e-xsinx,f(x)=e-*(cosx—sinx)，令f(x)=

6~x(^cosx-sinx)=0,得久=4+kn(k=-1,—2,—3,—4,—5,—6,—7,—8,-9,—10),

所以在(-10兀,10兀)，使導函數/(%)=0的點有20個，且這20個點是變號零點，所

以函數/(%)在(-107T,107T)內有20個極值點，D符合題意.

故答案為：BCD.

x+27r

【分析】利用f(x+2兀)=/x+2msin(x+2兀)=ellsinxHf(x)，再利用周期函數的

定義，所以函數/(%)不是周期為27r的函數；利用奇函數的定義判斷函數為奇函數；利

用增函數的定義，從而判斷函數為增函數；利用求導的方法判斷函數的單調性，從而求出函

數的極值點，從而推出函數/(%)在(-10兀,10兀)內有20個極值點，從而找出結論正確

的選項。

三、填空題

13.命題“mx>0,3x-1<0"的否定是—.

【答案】Vx>0,3x-1>0

【考點】命題的否定

【解析】【解答】解：因為存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，

所以命題“三%>0,3x-1<0"的否定是"Vx>0,3%-1>0

故答案為：Vx>0,3x-1>0?

【分析】利用已知條件結合命題與命題的否定的關系，再結合全稱命題與特稱命題互為否

定的關系，從而寫出命題的否定。

14.已知復數z與(z+2)2-8i均是純虛數，則z=.

【答案】-2i

【考點】虛數單位i及其性質，復數代數形式的混合運算

【解析】【解答】設z—ccir則(z+2)2—8i=(出+2)之—81=4-。？+(4a—8)i

是純虛數，則4-a?=0,4a—870,1■.a=-2=z=-2i?

【分析】利用復數Z是純虛數，設2=21,從而得出復數(Z+2)2的的代數形式，再利用復數

(z+2)2⑻是純虛數的判斷方法，從而求出a的值，進而求出復數z。

15撾點(0,1)的直線與圓x2+y2=4相交于A、B兩點，則\AB\的最小值為一.

【答案】2V3

【考點】點到直線的距離公式，直線與圓相交的性質

【解析】【解答】記（0,1）點為C,圓半徑為2,\OC\=1,當。C_L時，圓心。

到直線AB的距離最大為1.\AB\最小，此時\AB\=2V22-I2=2V3。

故答案為：2V50

【分析】記（0,1）為點C,圓半徑為2,\OC\=1,當OC1AB時，再利用點到直

線的距離公式，得出圓心。到直線AB的距離最大為1,\AB\最小，再利用弦長公式得

出此時\AB\的最小值。

16.如圖，在直三棱柱4BC-4B1C1中，ZBAC=90°,AB=AC=AAr=1,己知

G和E分別為和CG的中點，D和F分別為線段AC和AB上的動點（不包

括端點），若DGJ.EF,則線段DF長度的取值范圍為.

【答案】［9,1）

【考點】點、線、面間的距離計算

【解析】【解答】由題意，建立如圖所示的空間直角坐標系,

1-I

則71(0,0,0),,G(p0,l),F(x,0,0),D(0,y,0),

由于GD1EF,貝lj而.麗=0,所以%+2y-1=0,

所以DF={x,-y,0)=(-2y+1,-y)，

所以I而I=42+y2+02=J5y2_4y+1=J5(y-|)2+1,

當y=|時，線段。F長度的最小值是3,

當y=0時，線段DF長度的最大值是1,

而不包括端點，故y=0不能取；

故答案為：［?,1).

【分析】建立空間直角坐標系，設出F、D的坐標，求出向量DG,EF,利用GDLEF

求得關系式，寫出|9|的表達式，然后利用二次函數求最值即可.

四、解答題

17.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,并且經過點4(1,一2).

(1).求拋物線C的方程；

(2).過原點0作傾斜角為45。的直線/交拋物線C于M,N兩點，求4FMN的

面積.

【答案】(1)把點71(1,-2)代入拋物線C-.y2=2Px(p>0),

可得(-2)2=2P，解得p=2

所以拋物線C的方程為C:y=4x

(2)拋物線的焦點為尸(1,0),過原點0作傾斜角為45。的直線I方程為y=x

聯立f

-y=2x

%=0%=4

解得(或｛

-y=0-y=4

不妨設M(0,0),N(4,4).

則AFMN的面積為S=^\MF\-\yN\=|xlx4=2,

所以所求4FMN的面積為2.

【考點】拋物線的標準方程，直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)利用拋物線C:y2=2px(p>0)經過點火1,一2)結合代入法求

出P的值，進而求出拋物線的標準方程。

(2)利用拋物線的標準方程確定焦點的位置，從而求出焦點F的坐標，再利用直線的傾斜

角與直線的斜率的關系式，從而求出直線的斜率，再利用點斜式求出過原點0作傾斜角為

45。的直線I方程，再利用直線與拋物線相交，聯立二者方程求出交點坐標，再利用三角形

的面積公式，從而求出三角形△FMN的面積。

18.己知空間三點71(0,2,3)，6(-2,1,6),C(l,-1,5).

(1).求&ABC的面積；

⑵.若向量CD//AB，且|而|=V21，求向量CD的坐標.

【答案】(1)設向量AB，AC的夾角為3,

由已知荏=(一2,—1,3)，前=(1,-3,2)，

\AB\=J(-2)2+(-1)2+32=V14，\AC\=V(l)2+(-3)2+22=V14,

=而.而=(-2)xl+(—l)x(-3)+3x2=1

一|通||而|一714x714-2'

7T

0<0<71,0=3，

,,S2ABe=2?sin。=2xV14xV14xV3,

(2)1??CD//AB，CD=AAB，4€R,

|CD|=V21>即|4|而|=聞，即H=乎，

而=±苧?通=±坐(-2,—1,3)，

即4=(一花一苧，竽)，或0=(西坐,一耍).

【考點】向量的模，平面向量共線(平行)的坐標表示，數量積表示兩個向量的夾角，三角

形中的幾何計算

【解析】【分析】(1)設向量AB，AC的夾角為6,利用向量的坐標表示結合已知

條件得出AB=(-2,-1,3)，XC=(1,-3,2)，再利用向量的模的坐標表示求出=

舊和|晶|=04，再利用數量積求向量夾角的公式，從而求出cos。=/，再利用向

量的夾角的取值范圍，從而求出兩向量的夾角,再利用三角形的面積公式，從而求

出三角形AABC的面積。

(2)因為而〃說,再利用向量共線定理得出CD^AAB，A&R,因為|而|=

y［21，從而求出陽=苧，再利用向量的坐標運算得出向量CD的坐標。

19.已知函數/(x)=—%3+3%2+9%4-a.

(1).當a=-2時，求/(x)在x=2處的切線方程；

(2).若/(%)在區間［-2,2］上的極小值為一5,求它在該區間上的最大值.

【答案】⑴/'(%)=_3d+6%+9，切線的斜率為/'(2)=9,/(2)=20，

f(x)在x=2處的切線方程為y—20=9(x—2),即9%—y+2=0.

（2）令/'（X）=-3X2+6X+9=0-得X=3（舍去）或x=-1.

列表如下：

X-2（-2,-1）-1（T，2）2

/(X)——0+

a+2a—57a+22

由上表/(%)在區間［-2,2］上的極小值為a—5=—5,得a=0.

/(%)在區間［—2,2］上的最大值為a+22=22.

【考點】利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的極值，利用導數求閉區間上函數

的最值，利用導數研究曲線上某點切線方程

【解析】【分析】(1)利用a的值求出函數的解析式，再利用求導的方法求出函數在切點

處的切線的斜率，再利用切點的橫坐標結合代入法求出切點的縱坐標，進而求出切點坐標，

再利用點斜式求出函數在切點處的切線的方程。

(2)利用求導的方法判斷函數的單調性，從而求出函數的極小值，再利用已知條件函數

/(x)在區間［-2,2］上的極小值為-5,從而求出a的值，進而求出函數的解析式，再

利用求導的方法判斷函數的單調性，從而求出函數在給定區間上的最大值。

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD是菱形，ZABC=

60°.點E,F分別在棱BC,P。上，且屁=2EC，PF=2FD.

（1）.證明：EF//平面PAB；

（2）.若PA=V2AB，求二面角B-PC-D的余弦值.

【答案】⑴證明：在PA上取點G,使同=，連結BG,FG.

一opn-PF_PG_2

,=2F0,--PD=PA=3'

由平行線分線段成比例定理逆定理，

GF//AD且GF=^AD.

=2EC，且ABCD是菱形，

???BE//AD且BE=^AD.

BE//GF且BE=GF，,BEFG是平行四邊形，

EF//BG，又EFC平面PAB,BGu平面PAB,

EF//平面PAB.

（2）解：丫ABCD是菱形，ZABC=60°,

.4ABC為等邊三角形，取BC中點H,連結AH,則AH1BC.

-PA1平面ABCD,分別以AH,AD,4P為x,y,z軸建立空間直角坐標

p

設AB=2,則B(V3,-l,0),C(V3,1,0)，￡>(0,2,0),P(0,0,22)，

???BC=(0,2,0)，PC=(V3,1,-2V2),CD=(-V3,1,0).

設平面PBC的法向量為n=y(xi，yrzi),

由cn'PC=°即rV3%i+一2&Z[=0,

^n-BC=0I2yl=0

令=2魚，得元=(2V2,0,V3).

設平面PCD的法向量為m=(x2,y2,Z2)，

,m-PC=0nrlrV3x2+y-2y[2z2=0

由f，即f「，

m-CD=0+y-0

--\[3X22

令％2=2,得沅=(2,2V3,V6).

設二面角B-PC-D的大小為e,由圖可知e為鈍角，

元而_4V2+0+3V27

cos0=—|cos(n,7n)|

同師I――-yilx/2211,

二二面角B-PC-D的余弦值為一￡.

【考點】直線與平面平行的判定，用空間向量求平面間的夾角

【解析】【分析】（1）在PA上取點G，使方=257，連結BG,FG.因為方=

2FD，再利用兩向量共線即平行，從而推出兩直線平行對應邊成比例，所以焉=笥=|，

由平行線分線段成比例定理逆定理，則GF〃AD且GF=|z。，因為麗=2配且

ABCD是菱形，所以BE///。且BE=^AD，所以BE//GF且BE=GF,所以BEFG

是平行四邊形，所以EF〃BG,再利用線線平行推出線面平行，從而證出直線EF//平面

PAB.

（2）因為ABCD是菱形，所以NZBC=60°,所以三角形a/BC為等邊三角形，取

BC中點H,連結AH,則AH1BC,因為PA1平面ABCD,分別以AH,AD,

AP為x,y,z軸建立空間直角坐標系，從而求出點的坐標，再利用向量的坐標表示

求出向量的坐標，再結合已知條件和數量積求向量夾角公式，從而結合角e為鈍角和誘導

公式求出二面角B-PC-D的余弦值。

21.橢圓E與焦+*=1有共同的焦點，且經過點力（1,一|）

（1）.求橢圓E的標準方程和離心率；

(2).設F為E的左焦點，M為橢圓E上任意一點，求麗?麗的最大值.

【答案】(1)由焦+*=1，可得c=l，

設橢圓E的標準方程：^|+4=i，且經過點4(1,一務.

222

a=c+b2

次+*=1%=3

所以橢圓E的標準方程：1+^=1，

43

(2)由(1)可知：(+[=1，F(—1,0),

設M(2cost,V3sint),(t為參數)，

則

OM=(2cost,V3sint)，FM=(2cost4-1,V3sint),

所以OM?FM=4cos2t+2cost+3sin2t=cos2t+2cost+3

=(cost+1)2+2,(—1<cost<1)

當cost=1時，取得最大值，即麗?前的最大值為6.

【考點】數量積的坐標表達式，橢圓的標準方程，橢圓的簡單性質

【解析】【分析】(1)由橢圓的標準方程唾+E=1確定焦點的位置，從而求出焦點

的坐標，進而求出c的值，再利用橢圓E與《+聾=1有共同的焦點，從而求出橢圓E

的焦點坐標，進而求出橢圓E中c的值，再利用橢圓E經過點4(1,-1)結合代入法求出a,b

的關系式，再結合橢圓中a,b,c三者的關系式，從而求出a,b的值，進而求出橢圓的標準方

程，再結合橢圓的離心率公式，從而求出橢圓E的離心率。

(2)由(1)可知橢圓E的標準方程為：予+專=/從而確定焦點的位置，進而求

出焦點的坐標，所以F(-l,0)，利用點M為橢圓E上任意一點，設M(2cost,V3sint),(t

為參數)，再利用向量的坐標表示求出向量的坐標，再利用數量積的坐標表示結合二次函數

圖象求最值的方法，從而求出當cost=1時，麗.前取得最大值，從而求出