PAGE第十章概率概率論是研究隨機現象規律的一門學科，為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法．自十七世紀中葉以來，概率論已由最初的研究博弈問題主要是賭博問題發展成為一門有鮮明特點的綜合性學科．尤其是近些年來，概率論與其他學科不斷交叉融合，越來越發揮不可替代的作用，不斷有從事概率論研究的學者獲得菲爾茲獎和沃爾夫獎等國際數學大獎．這充分說明，概率論學科不僅匯入了數學的主流，而且逐步走向數學的前沿而引領數學科學的發展．經過幾十年的發展，在中小學數學課程中，概率從無到有，從選修到必修，從附屬地位到中學數學課程的主線，概率內容在我國中小學課程中的地位有了明顯的提高．目前我們已進入大數據時代，為了適應社會與科學技術的發展和進步，“概率與統計”內容已經成為大學數學教育的基礎課程，在高中階段“概率與統計”成為數學課程的主線，概率內容變得越來越重要，在培養學生的隨機觀念和提升學生的核心素養方面具有不可替代的作用．概率課程的主要育人功能是培養學生分析隨機現象的能力，提升學生的數學抽象、數學建模、邏輯推理以及數學運算等素養．通過對隨機現象主要是古典概型的探索，在構建隨機現象的研究路徑、抽象概率的研究對象、建立概率的基本概念、發現和提出概率的性質、探索和形成研究具體隨機現象的思路和方法、應用概率知識解決實際問題的過程中，發展學生認識不確定性現象的思維模式，使學生學會辯證地思考問題，成為善于認識問題、善于解決問題的人才．一、本章內容安排通過本章的學習，結合具體案例的教學，幫助學生理解樣本點、樣本空間、隨機事件等概念，會計算古典概型中簡單隨機事件的概率，加深對隨機現象的認識和理解；理解研究隨機現象規律性的一般方法，通過構建概率模型解決實際問題，提高用概率的方法解決問題的能力．也為后續學習條件概率、隨機變量的分布、二項分布、正態分布等有關知識打好基礎．1．隨機事件與概率結合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系；類比集合的關系與運算，了解隨機事件的并、交與互斥的含義，能結合具體問題進行隨機事件的并、交運算；理解古典概型，并能解決一些簡單的實際問題；理解概率的性質，并能根據概率的運算法則求隨機事件的概率．2．事件的相互獨立性獨立性是事件之間的一種特殊關系，直觀理解為兩個事件發生與否互不影響，本質上是兩個事件積的概率等于兩個事件概率的乘積．獨立性的相關內容從必修內容到選擇性必修內容均有涉及，因此，對于獨立性的認識，既要從直觀上感悟，又要從本質上理解．《課程標準2021年版》要求在必修課程中介紹隨機事件的獨立性，在選擇性必修課程中介紹條件概率，因此，無法借助條件概率來定義兩個隨機事件的獨立性．教材從事件的關系和運算的角度出發研究概率的基本性質，結合問題“兩個事件的積的概率與這兩個事件的概率有什么關系？”通過具體例子引入事件的獨立性概念，先通過具體例子直觀理解，再用數學表達式刻畫兩個隨機事件的獨立性，即從特殊到一般，從感性認識上升到理性認識．3．頻率與概率．如何得到隨機事件的概率是概率研究的重點．對某些隨機試驗，在一定的假設條件下，可以通過構建概率模型，直接計算事件的概率．例如，在古典概型中，由于每個樣本點都是等可能發生的，并且樣本點的個數是有限的，我們可以借助古典概型公式計算有關事件的概率．但在現實生活中，很多試驗的樣本點不是等可能發生的，大量隨機事件的概率不能直接計算，只能借助于頻率來估計概率，因此，必須清楚頻率與概率的關系．本節主要內容是頻率的穩定性，頻率與概率的聯系與區別，用頻率估計概率，隨機模擬等．基于以上分析，本章知識結構如下：本章的重點是由實際問題抽象隨機事件的概念，理解事件的關系和運算，通過古典概型理解概率的意義，探究概率的性質，理解頻率的穩定性，通過實際操作試驗或計算機模擬試驗，用頻率估計概率．本章有三個難點：一是抽象研究對象——隨機事件；二是在求解古典概型問題時，對所有樣本點等可能性的判斷；三是對頻率與概率的關系的理解．二、獲得概率的研究對象，建構概率的研究路徑及框架《課程標準2021年版》中提出要發展學生的數學學科核心素養，在這樣的理念下，教材在編寫過程中更加注重落實“四基”，培養“四能”，關注概率的研究對象是什么，研究內容是如何得到的，概念是怎么抽象的，概率的性質是如何發現的，等等．在編寫過程中，教材從認識概率的研究對象入手，圍繞如何使學生獲得概率的研究對象、發現概率的研究內容和方法等問題展開，不僅讓學生知道“是什么”“怎么做”，更重要的是讓學生知道“為什么”“怎么想”，最大限度發揮概率的育人功能和價值．1．概率的研究對象數學歷來被認為是確定性的科學，所謂“確定性”的含義就是在給定的條件下可以得到確定的結果，也就是說如果知道足夠多的信息，可以對未來進行精準的預測．但是，現實中還存在著大量的現象，即便是從相同的條件下出發，我們仍然無法預知其結果．例如，拋擲一枚硬幣是正面朝上還是反面朝上，明天是否會下雨，彩票能否中獎，等等．類似這些問題中都包含了不確定性．這類在一定的條件下事先不能預知結果的現象稱為不確定性現象．“不確定性”的含義是在一定條件下，某個結果可能發生也可能不發生，而且即使知道所有可能結果，我們也無法預知在某一次觀測中哪一個結果出現．在現實生活中，我們會面對很多不確定性的問題，有的相對簡單，有的比較復雜，甚至有些不確定性的現象，以人類目前的能力，根本無法解決．為此，我們縮小研究的范圍，在高中階段我們僅研究那些在相同條件下能進行重復觀測且有規律的現象——隨機現象．隨機現象：在一定條件下不能事先預知結果，且各個結果發生的頻率都具有穩定性的現象．考慮到隨機現象的高度復雜性以及學生的認知準備狀況，同時也不失一般性，把高中必修課程中概率的研究對象限制在有限結果的隨機現象．具體而言，所研究的不確定現象具有以下的特征：結果有限性；不可預知性；頻率穩定性．教材的呈現方式為：選擇典型的、生活中常見的隨機現象，歸納隨機試驗的特點，引入隨機試驗的概念；結合簡單的隨機試驗，歸納出樣本點、樣本空間有限樣本空間的概念；對于隨機事件的概念，在初中描述的基礎上，抽象為樣本空間的子集．為用數學的方法描述和研究隨機現象奠定了基礎．用適當的字母、數字、數對表示結果，構建樣本空間，這是將實際問題數學化的關鍵步驟，也是提升學生數學抽象素養的重要途徑．用符號語言準確而簡練地表示求解概率問題的過程，揭示了隨機變量的本質，即樣本空間到實數集的映射，為選擇性必修內容奠定基礎．縱觀上述過程，教材呈現了概率研究對象的獲得過程，符合知識發生發展的內在邏輯和學生認知心理的特點，能較好地培養學生的數學抽象和直觀想象核心素養．2．構建概率主題研究框架，整體設計研究路徑由于概率的研究對象是隨機事件，隨機性本身就具有一定的難度．面對“隨機事件”這一新的研究對象，有哪些問題需要研究？按照怎樣的路徑展開研究？可以采取哪些研究方法？教材從學生的已有知識和經驗出發，發揮學生在研究確定性現象中獲得的知識經驗，獲得研究概率的內容、過程和方法，體現研究一個數學對象的基本套路．數學的本質在于度量，無論是確定性問題，還是隨機性的問題都是如此．①概率是對事件發生可能性大小的一種度量，引入了樣本空間以后，隨機事件可以看成是樣本空間的子集，對于一個具體的隨機試驗，通常含有許多隨機事件，因此需要對每個隨機事件都分配一個實數與其對應，從這種意義上來看，概率可以看成定義在樣本空間有限樣本點子集上的“集函數”．所以我們可以類比函數的研究，建立概率的研究路徑、發現概率的研究內容和方法，盡管函數的研究對象、研究內容和方法與概率有很大的不同，但這樣的類比至少在入門階段可以給學生提供研究方向的指引，有效消除學生對于概率的陌生感．下面分析一下函數的研究路徑．1與初中給出的函數描述性定義比較，對函數的更為嚴格和精確的定義是基于集合這一基本概念的．把函數定義為兩個非空數集A，B之間的一種特殊的映射f，對?∈A，按照對應關系f，都有唯一確定的數f∈B和它對應．因此，定義函數概念需要先有集合的有關知識．2從概念學習的需要看，應該給學生提供典型豐富的具體例證，使學生經歷具體事例共性的分析、歸納過程，概括得出函數的定義，并通過概念辨析深入理解概念的內涵．函數概念的學習應該從“事實”出發，用概念形成的方式．3在定義函數概念、理解函數的各種表示法后，研究函數的值域、單調性、奇偶性、周期性、特殊點的取值等性質，它們從“關系”“規律”等角度反映了函數的某些特征．4針對某一類現象如均勻變化、勻變速、指數增長、對數增長、周期現象等建立函數模型．其核心內容有兩個：一是建立關于這種變化現象中量與量之間的確切關系——函數模型＝f，從而精確地刻畫一個量是如何隨著另一個量的變化而變化的，據此就能準確地“預測未來”；二是通過對＝f的“純數學”研究，發現這類函數的性質，包括定義域、值域、單調性、最大小值、衰減率、增長速度、函數的零點等，這些性質都是這類現象在某一方面變化規律的反映．歸結起來，對于函數的研究，其結構和內容大致如下：預備知識—集合概念、關系、運算；函數的事實—函數概念的定義、表示—函數的性質—基本初等函數．類比上述結構和內容，可以建立概率教材的結構體系如下：預備知識—樣本點、樣本空間、隨機事件、事件的關系和運算；概率的事實隨機現象—概率的定義及表示—概率的性質、運算法則—古典概型—頻率的穩定性等—概率的計算、隨機模擬試驗．通過對比不難發現，前三部分是對概率的基本概念、基本性質的研究，相當于對函數的一般概念與性質的研究；古典概型是最簡單的概率模型，也是高中概率課程重點研究的概率模型，與函數中的冪函數、指數函數、三角函數等具有同等重要的地位．另外，由于古典概型比較簡單，便于解釋相關概念，有利于學生體會概率的意義，考慮到學生的已有經驗和認知水平，為了使學生在理解概率的概念和性質時有一個完整的具體例證支撐，教材把古典概型提前安排．三、重視相關概念的數學本質和形成過程1．樣本空間樣本點是隨機試驗的每個可能的基本結果，樣本空間是全體樣本點的集合．在確定隨機試驗的樣本空間時，要注意不要把問題背景與問題本身混為一談．例如，拋擲一對骰子，要求“點數之和是偶數”的概率，有人認為建立樣本空間Ω1＝{，|，＝1，2，3，4，5，6}比較復雜，可以建立樣本空間Ω2＝{偶，偶，偶，奇，奇，偶，奇，奇}，將Ω2中的每個元素看成是試驗的基本結果，這4個結果也是等可能的，從而求得“點數之和是偶數”的概率為0．5．但是，我們如果在同樣的問題背景下，同時求“點數之和為5”的概率，顯然利用樣本空間Ω2就不行了，還是要用Ω1．這樣，對于同樣的問題背景，針對不同的問題，需要構建不同的樣本空間，使得原本清晰的問題變得復雜了．因此，針對選擇樣本點、建立樣本空間的基本原則是“樣本點和樣本空間與問題背景有關，與問題本身無關”．概率的古典定義概率定義的產生和發展經歷了漫長的過程．概率的描述性定義為“概率是隨機事件發生的可能性大小的度量”，但這個定義對確定具體隨機事件的概率沒有任何幫助．早期研究的概率問題絕大多數是古典概型，由于所有結果的等可能性，自然把隨機事件A發生的可能結果數與試驗的可能結果總數n的比值作為事件A的概率定義．法國數學家拉普拉斯onLaie，1883—1953把這個穩定值定義為事件的概率，稱為概率的頻率定義．1777年法國科學家蒲豐1707—1788提出了著名的“投針問題”，引進了幾何概率．但是無論是古典概率定義、頻率定義還是幾何概率定義，都有其局限性和不完善之處．于是，1933年，蘇聯數學家柯爾莫果洛夫在總結前人成果的基礎上提出了概率的公理化結構，使概率成為嚴謹的數學分支．對于有限樣本空間，概率的公理化結構為：設隨機試驗E的樣本空間為Ω，隨機事件是樣本空間的子集，所有事件構成的集類F稱為事件域，定義在事件域F上的“集合函數”．DIST計算．用fnA表示重復拋擲n次硬幣時A＝“正面朝上”出現的頻率，頻率落在不同誤差范圍內的概率如表1所示．有人認為：用頻率估計概率，重復試驗次數越多，估計的結果就越精確．但這樣的表述并不準確．觀察上面的計算結果，我們看到：做100次試驗，頻率與概率的偏差不超過0．05的概率為0．7287；做1000次試驗，頻率與概率的偏差不超過0．05的概率為0．9986．因此，用頻率估計概率，比較嚴格的表述為：當試驗次數較少時，用頻率估計概率誤差較小的可能性較小；當試驗次數足夠多時，用頻率估計概率誤差較小的可能性大．第五層次，大數定律．設事件A的概率為，fnA是n次試驗中事件A發生的頻率，則對任意的ε>0，都有第一層次、第二層次在初中已有初步認識，第三層次是高中的教學要求，第四層次可根據教學條件選擇，第五層次超出了高中課程的要求．四、重視從整體上把握概率和思想方法的滲透1．了解概率論的特點，整體把握邏輯關系對于隨機現象，每個結果的發生都具有偶然性，但是在大量重復觀測下又呈現出必然規律．在學生的數學學習經歷中，以往接觸的問題主要是確定性現象，很少有意識地思考隨機現象的特點，又由于概率課程自身的特點，例如概率概念比較抽象，對隨機性的不同理解會導致不同的結果，利用概率進行一次決策，合理的決策未必一定得到好的結果等．因此，一提到“隨機性”學生就感覺難于把握．在概率教學過程中，自始至終都要結合實例來展開．應提供豐富的、典型的隨機現象實例，分析歸納獲得研究對象——隨機現象的特征．同時鼓勵學生提出有價值的概率問題．可以引導學生分類列舉隨機現象，例如，游戲中的隨機現象拋擲硬幣、拋擲骰子、抽取撲克牌、電腦游戲等，生活中的隨機現象彩票、出生月份、摸球抽簽、上學遲到等，實際應用中的隨機現象隨機抽樣、保險問題、投資理財等．要注意避免人為虛構脫離數學本質的情境，情境也不宜過于復雜，更不能將生活常識、數學定理、成語俗語等當成事件．在教學中，可結合知識框圖，把握本章的整體的結構．特別注意不同的順序安排，對某些概念的呈現方式是不同的．例如，如果先研究概率的基本性質，然后定義古典概率，由于概率要滿足規范性和可加性，只要對每個基本事件定義其概率為eq\f1,n，那么所有事件的概率就完全確定了．本章教材我們采用從認知經驗出發，根據古典概型的特征，定義事件的概率為事件包含的樣本點數與樣本空間中樣本點總數的比值，然后研究概率的基本性質．2．重視核心概念“隨機事件”的抽象“隨機事件”是概率論的核心概念之一，如果理解不深刻，將影響整個概率的學習．引入樣本點、有限樣本空間概念，用樣本空間的子集表示隨機事件是隨機現象數學化的關鍵一步，必須給予重視．教學中，應利用典型例子，以“隨機現象數學化”為導向，以“不同語言的相互轉化”為手段，針對樣本點、樣本空間、隨機事件及其關系等提出問題，并要讓學生自己提出問題．這樣的訓練是基礎性的，對于“認識和理解隨機現象”有重要意義，不能匆匆而過．加強用數學語言描述隨機現象的教學，對于促進學生理解樣本點和樣本空間的含義，隨機事件和樣本點的關系，隨機事件的發生，隨機事件的關系和運算等都是非常有用的．3．重視數學思想方法的滲透數學教學固然應該教會學生許多必要的數學基礎知識，但是絕不僅僅以教會數學知識為目標，重要的是讓學生在學習這些結論的過程中獲得數學思想．在教學中應重視數學思想的提煉和滲透，把提升學生的數學學科核心素養落到實處．對隨機試驗，用符號字母、數字或數對表示試驗結果，抽象出樣本點、樣本空間，由事件發生的意義抽象出“隨機事件”是樣本空間的子集；抽象概括出隨機試驗的本質特征，建立各種概率模型；借助樹狀圖表示試驗的所有可能結果，判斷樣本點的等可能性；從兩個事件的發生互相不影響，抽象事件的獨立性等，都是數學抽象的體現．本章中運用了類比、歸納等思想．例如，類比函數的研究，確定概率的研究路徑，發現概率的性質；類比集合的關系和運算理解事件的關系與運算；對概率基本性質的研究采用由特殊到一般的歸納的方式；等等．對古典概型的教學，重點應放在通過解決實際問題，了解構建概率模型的一般方法，理解事件概率的意義，滲透模型化思想，不要把重點放在計數上．4．加強統計與概率的聯系統計與概率既有聯系，又有區別．概率論與統計學雖然研究的都是隨機現象，但兩者的差別很大．統計學的研究基礎是數據，基于歸納的方法用樣本數據推斷總體；概率論的研究基礎和傳統數學類似，還是定義和假設，用演繹的方法進行計算和推理．從認知的角度看，統計比概率更具體，統計學以概率論為基礎．我們知道，采用隨機抽樣，用樣本推斷總體，其結果也具有隨機性．評價推斷結果的精確程度，推斷方法的“好”與“壞”，都需要概率知識．在概率的教學中，要適當地關注二者的聯系．例如：1關注