第2講函數的應用

_考情考向分析-------------------------------1

1.求函數零點所在區間、零點個數及參數的取值范圍是高考的常見題型，主要以選擇題、填

空題的形式出現.

2.函數的實際應用以二次函數、分段函數模型為載體，主要考查函數的最值問題.

H熱點分類突破----------------

熱點一函數的零點

1.零點存在性定理

如果函數y=f(x)在區間［a,6］上的圖象是連續不斷的一條曲線，且有f(a)?那么，

函數y=f(x)在區間(a,6)內有零點，即存在cG(a,吩使得f(c)=O,這個c也就是方程

f(x)=0的根.

2.函數的零點與方程根的關系

函數F8=F(x)—g(x)的零點就是方程/<x)=g(x)的根，即函數y=F(x)的圖象與函數y

=g(x)的圖象交點的橫坐標.

9

例1(1)方程ln(x+D-—=05〉0)的根存在的大致區間是()

x

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,e)D.(3,4)

答案B

2

解析設f(x)=In(x+1)—,

x

則f(l)=ln(l+l)-2=ln2-2<0,

而f(2)=ln3-1>0,

所以函數『(x)的零點所在區間為(1,2).

所以B選項正確.

(2)(2017屆河北滄州一中月考)已知定義在R上的偶函數/1(x)滿足/'(x+2)=f(x),且當x

e［0,1］時，以卦=x,則方程f(x)=log31|的解的個數是()

A.0B.2

C.4D.6

答案c

解析運用函數的奇偶性、周期性在同一平面直角坐標系中畫出函數p=F(x),y=log3|^|

的圖象，結合圖象可以看出：兩個函數y=f{x),y=log31x|有四個不同的交點，即方程f{x)

=log31x|有四個解，故選C.

y=log3lxl

思維升華函數零點(即方程的根)的確定問題，常見的有

⑴函數零點大致存在區間的確定.

⑵零點個數的確定.

(3)兩函數圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定.解決這類問題的常用方法有解方程法、

利用零點存在的判定或數形結合法，尤其是方程兩端對應的函數類型不同的方程多以數形結

合法求解.

跟蹤演練1(1)函數/"(x)=2'+2x的零點所在的區間是()

A.[—2,—1]B.[—1,0]

C.[0,1]D.[1,2]

答案B

解析/'(-2)=2-2+2X(-2)<0,/,(-1)=2-1+2X(-1)<0,A0)=2°+0>0,由零點存在

性定理知，函數f(x)的零點在[—1,0]內，故選B.

(2)(2017屆甘肅高臺縣一中檢測)己知函數f(x)滿足：①定義域為R；②VxGR,都有F(x

+2)=f(x)；③當xC[—1,1]時，/1(x)=—|x|+1,則方程f(x)=1log2|x|在區間[―3,5]

內解的個數是()

A.5B.6C.7D.8

答案A

解析畫出函數圖象如圖所示，由圖可知，共有5個解.

y=/iog2M

熱點二函數的零點與參數的范圍

解決由函數零點的存在情況求參數的值或取值范圍問題，關鍵是利用函數方程思想或數形結

合思想，構建關于參數的方程或不等式求解.

1

例2(1)(2017屆山東荷澤一中宏志部月考)已知偶函數f(x)滿足/1)=而‘且當x

G［—1,0］時,f(x)=1,若在區間［—1,3］內，函數g(x)=F(x)—logKx+2)有3個零點,

則實數a的取值范圍是—

答案(3,5)

解析???偶函數f(x)滿足f(x—1)=看,

且當xG［—l,0］時，fkx}=x,

f(x-2)=f(x—1—1)=——=f(x),

務一1)

函數f(x)的周期為2,在區間［―1,3］內函數g(x)=f(x)—loga(x+2)有3個零點等價于

函數f(x)的圖象與y=loga(x+2)的圖象在區間［—1,3］內有3個交點.

floga3<L

當0〈a〈l時，函數圖象無交點，數形結合可得a>l且，解得3〈a〈5.

［10ga5>1,

(ex,x20,

(2)己知實數/"(x)=,,小若關于x的方程f2(x)+f(x)+力=0有三個不同

〔lg(一x),水0,

的實根，則力的取值范圍為.

答案(-8,-2］

解析方法一原問題等價于f2(x)+f(x)=-t有三個不同的實根，即y=T與y=

f2(x)+f(x)的圖象有三個不同的交點.當x20時，y=f2(王)+/>5)=產+/為增函數,

在x=0處取得最小值2,與尸一力只有一個交點.當K0時，y=f2(x)+f(x)=lg"一x)

+lg(—x)，根據復合函數的單調性，其在(一8,0)上先減后增.所以，要有三個不同交點，

則需一解得力W—2.

方法二設7=/(x),作出函數f(x)的圖象，如圖所示，則當0N1時，〃=/(x)有兩個根,

當成1時，0=f(x)有一個根，若關于x的方程f2(x)+f(x)+力=0有三個不同的實根，

則等價為方+/+力=0有兩個不同的實數根，且小三1或成1,當勿=1時，t——2,此時由

2=0,解得加=1或加=—2,滿足f(x)=1有兩個根，/(x)=-2有一個根，滿足條

件；當0￥1時，設亞血=序+/+3則爾1)〈0即可，即1+1+《0,解得《一2,綜上，

實數方的取值范圍為tW—2.

思維升華(1)方程f(x)=g(x)根的個數即為函數y=f(x)和y=g⑷圖象交點的個數.

(2)關于x的方程f(x)一〃=0有解，m的范圍就是函數y=f(x)的值域.

—

跟蹤演練2⑴已知函數f(x)='x''若關于x的方程f(x)—k=Q

、一(x—3)2+2,x22,

有唯一一個實數根，則實數k的取值范圍是.

答案［0,1)U(2,+-)

'2

一,x12,

解析畫出函數/'(x)=jx''的圖象如圖所示，結合圖象可以看出當0

、一(x—3y+2,x22

W"〈l或4>2時符合題設.

⑵(2017?全國III)已知函數/1(x)=x2—2x+a(e-+e-，+i)有唯一零點，則a等于()

111

BCD

A.-2-3-2-

答案c

解析方法一f(x)=x?—2x+a(e-i+e—*)=(X—l)2+a[ei+e-2D]—1,

令t=x~\,則g(t)=/1(t+1)=t2+a(ef+e-0—1.

(—t)=(-t)2+a(e-，+eO-l=g(力，

函數g(力為偶函數.

???f(x)有唯一零點，.?.4*)也有唯一零點.

又g(t)為偶函數，由偶函數的性質知g(0)=0,

.,.2a—1=0,解得a=1'.故選C.

方法二f{x)=0<=^a(e>1+e'+1)=~x+2x

e—+e-4》2#i?e)+i=2,

當且僅當x=l時取“=

—f+2x=—(x—1T+1W1,當且僅當x=l時取“=

若a>0,則a(eJ'1+e-x+1)N2a,

要使f(x)有唯一零點，則必有2a=1,即a=g.

若aWO,則/<x)的零點不唯一.故選C.

熱點三函數的實際應用問題

解決函數模型的實際應用問題，首先考慮題目考查的函數模型，并要注意定

義域.其解題步驟是：(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出

相應的數學問題.(2)數學建模：弄清題目中的已知條件和數量關系，建立函數關系式.(3)

解函數模型：利用數學方法得出函數模型的數學結果.(4)實際問題作答：將數學問題的結

果轉化成實際問題作出解答.

例3(2017屆湖北孝感市統考)經測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量y(升)

與速度x(千米/小時)(50WW120)的關系可近似表示為：

±(/—130矛+4900),xG[50,80),

X..

12--,[80,120].

{bO

(1)該型號汽車速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？

(2)已知48兩地相距120千米，假定該型號汽車勻速從/地駛向8地，則汽車速度為多少

時總耗油量最少？

解⑴當xG[50,80)時，

y=~(/—130^+4900)=~[(jr—65)2+675]

7575

當x=65時，y有最小值<X675=9.

當xe[80,120]時，函數單調遞減，故當x=120時，y有最小值10.

因為9〈10,故當x=65時每小時耗油量最低.

19(1

(2)設總耗油量為1,由題意可知l=y--.

x

①當xd[50,80)時,

4900

當且僅當了=——，即x=70時，/取得最小值16.

x

|2。1440

②當XG[80,120]時，?旦=-^—2為減函數.

XX

當x=120時，/取得最小值10.

因為10〈16,所以當速度為120千米/小時時，總耗油量最少.

思維升華(1)關于解決函數的實際應用問題，首先要耐心、細心地審清題意，弄清各量之

間的關系，再建立函數關系式，然后借助函數的知識求解，解答后再回到實際問題中去.

(2)對函數模型求最值的常用方法：單調性法、基本不等式法及導數法.

跟蹤演練3(2017屆運城期中)為了保護環境，發展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支

持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單

位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的

函數關系可近似的表示為y=j/-200^+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工

產品價值為100元.

(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補

貼多少元才能使該單位不虧損？

解(1)由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為

當且僅當里詈,即x=40°時,才能使每噸的平均處理成本最低,最低成本為2。。元.

(2)設該單位每月獲利為S,

則S—100jr—y=1OO^r——200x+80000J

=-1/+300^-80000=--（X—300）2-35000,

因為MOW忘600,

所以當x=400時，S有最大值一40000.

故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40000元，才能不虧損.

U真題押題精練-----------------

真題體驗

1

-

1.(2016?天津改編)已知函數f{x)=sinF^+]sincox2O>0,x￡R).若F(x)在區

間（五，2n）內沒有零點，則。的取值范圍是

--

115

答案-U

8-8-

--4J

fL/、—COS3X,11

角牛析F（x）=-------2-------+]sinGX-]

1,?、應」JI

=]（sinGX-cos公刈=^~sin|ax~~

因為函數廣（x）在區間（兀，2兀）內沒有零點，

TJi

所以；7>2n—n,所以一>Jt,所以0〈。〈1.

乙3

兀，兀兀、

當x￡（Ji,2兀）時，3X―1兀――,2口兀一■—\,若函數F（x）在區間（兀，2兀）內有

jiJik\1

零點，貝1Jg兀-7<?兀<2口兀一不（A￡Z）,即5+s<qZ）.

44Zo4

11

Y55

0<-

當k=0時,O4當左=1時，-<^<~

所以函數F（x）在區間（兀，2兀）內沒有零點時，

1、15

0<公號或：WgWj

o4o

2.（2017?山東改編）已知當xe[0,1]時，函數y=（“一1尸的圖象與y=，I，+0的圖象有

且只有一個交點，則正實數小的取值范圍是.

答案（0,1]U[3,+8）

解析在同一直角坐標系中，分別作出函數f(x)=Ex—l)2=〃1x—與g(x)=、/；+m的

大致圖象.

分兩種情形:

⑴當。〈辰1時，>1,如圖①，當在［0,1］時,

/<x)與g(x)的圖象有一個交點，符合題

.意.

(2)當加>1時，如圖②，要使f(x)與g(x)的圖象在［0,1］上只有一個交點，只需

g(l)Wf(l),即1+zzzW(加一1)2,解得刃23或0W0(舍去).

綜上所述，(0,1］U［3,+8).

3.(2017?江蘇)設f(x)是定義在R上且周期為1的函數，在區間［0,1)上，Hx)=

xRD,

,則方程F(X)—lg￡=0的解的個數是

x,WD,

答案8

解析由于f(x)￡［0,1),則只需考慮lWx<10的情況，在此范圍內，xEQ,且與Z時，設

x=%p,q￡N*,夕22且夕，°互質.若lgx￡Q,則由lgx￡(0,1),可設lgx=2,m,n

n

￡N*,勿22且加，77互質.因此10根=Z

P

則10"=%),此時左邊為整數，右邊為非整數，矛盾.因此1g昶Q,因此lgX不可能與每

個周期內對應的部分相等，只需考慮lgx與每個周期內對2部分的交點，畫出函數草

圖.圖中交點除(1,0)外其他交點橫坐標均為無理數，屬于每個周期內解，部分，且x=l

處(Igx)'=廿/=［=<1，則在x=l附近僅有1個交點，因此方程解的個數為8.

xln10In10

y

押題預測

1.F(x)=2sin兀x—x+l的零點個數為()

A.4B.5

C.6D.7

押題依據函數的零點是高考的一個熱點，利用函數圖象的交點確定零點個數是一種常用方

法.

答案B

解析令2sin兀x—x+l=O,則2sinnx=x~\,令力(x)=2sinnx,g^x)=x~l,則

F(x)=2sinJix—x+1的零點個數問題就轉化為兩個函數力(x)與g(x)圖象的交點個數問

2兀一一

題.為(x)=2sinJtx的最小正周期為7=—=2,回出兩個函數的圖象，如圖所不，因為

爾l)=g(l),g(4)=3>2,g(—1)=-2,所以兩個函數圖象的交點一共有5個,

所以f(x)=2sinKx—x+1的零點個數為5.

x+2,

2,,,若函數g(x)=『(x)—2x恰有三個不同的零點，

{x-+5x+2,Ma,

則實數a的取值范圍是()

A.[-1,1)B.[0,2]

C.(-2,2]D.[-1,2)

押題依據利用函數零點個數可以得到函數圖象的交點個數，進而確定參數范圍，較好地體

現了數形結合思想.

答案D

—x-\~2x>a

13葉2,要使函數會恰有三個不同的零點，只需

g(x)=0恰有三個不同的實數根，

[x>a,

所以或2

[—x+2=0[x+3x+2=0,

所以g(x)=0的三個不同的實數根為x=2(x>a),x=-l(xWa),x=—2(xWa).

再借助數軸，可得一lWa〈2.

所以實數a的取值范圍是[—1,2),故選D.

3.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其

邊長x為m.

押題依據函數的實際應用是高考的必考點，函數的最值問題是應用問題考查的熱點.

答案20

解析如圖,

過力作6c交玄于點〃，交應于點凡

?,DExADAF

易知清而

則S=x(40—x)W當且僅當40—x=x,

即x=20時取等號，所以滿足題意的邊長x為20m.

ET專題強化練

A組專題通關

1.已知函數f(x)=0—sinx,則f(x)在[0,2n]上的零點個數為()

A.0B.1

C.2D.3

答案c

解析由題意得『（X）在［0,2m］上的零點個數即為函數與函數y=sinx在［0,2n］

上的交點個數，如圖所示，結合圖象可得函數尸［，'與函數y=sinx在［0,2m］上交點的

個數為2,故選C.

2.（2017屆遵義期中）某企業為節能減排，用9萬元購進一臺新設備用于生產，第一年需運

營費用2萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加3萬元，該設備每年生產的收入

均為21萬元，設該設備使用了〃（AGN*）年后，盈利總額達到最大值（盈利額等于收入減去成

本），則〃等于（）

A.6B.7

C.8D.7或8

答案B

"11341

解析盈利總額為21/7—9—2/?+-XTT（77—1）X3=--/72+—77—9,

由于對稱軸為片干所以當片7時，取最大值，故選B.

3.（2017屆陜西西安鐵一中三模）如圖是函數/U）=f+ax+力的部分圖象，則函數g（x）=

In（x）的零點所在的區間是（）

C.(1,2)D.(2,3)

答案B

0〈式0)〈1,0<ZKl,

解析由函數圖象可知即

彳1)=0,

函數g(x)=lnx+2x+a=lnx+2x~\—b,

6)=ln~+1—1—b=-In2—Z?<0,

g⑴=ln1+2—1—6=1—6>0,

所以零點所在的一個區間為g，1),故選B.

4.已知函數y=f(x)的周期為2,當xG［0,2］時，f(x)=(x—1)?,如果g(x)=f(x)—logs周

-11，則方程g(x)=0的所有根之和為()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析在平面直角坐標系中畫出函數y=f(x)及y=log51x—1|的圖象，結合函數的圖象可

以看出函數共有8個零點，且關于x=l對稱，故所有零點的和為2X4=8,故選D.

5.(2017屆湖南長沙一中月考)將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，tmin后甲桶剩余的

水量符合指數衰減曲線尸ae”.假設過5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過0min甲桶

中的水只有(升，則加的值為()

A.5B.6

C.8D.10

答案A

解析根據題知，因為5min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函數滿足廣(5)=施5〃

可得力=gln因此當kmin后甲桶中的水只有弓升，即廣(A)=*即(in1?A=ln

2524452

1「…111

I，所以［n--A=21n

解得次=10,k—5=5,即7=5,故選A.

6.(2017屆陜西黃陵中學月考)函數f(x)的定義域為［—1,1］,圖象如圖1所示，函數g(x)

的定義域為［—2,2］,圖象如圖2所示，方程f(g(x))=0有/個實數根，方程屋f(x))=0

有〃個實數根，則〃+〃等于()

A.6B.8

C.10D.12

答案C

解析注意到f(—1)=F(0)=廣(1)=0,g(x)=-1有2個根，g(x)=0有3個根,g(x)=1

有2個根，故R=7.注意到{一習=4(0)=￡>0,—1WF(X)W1,_f(x)=0有3個根，故

刀=3,所以〃+77=10.

\x-a,xWO,

7.(2017屆江蘇無錫市普通高中期中)若函數尸一…在區間(一2,2)上有

［x—a+lnx,x〉0

兩個零點，則實數a的取值范圍為.

答案［0,2+ln2)

解析由題設可知函數y=3一己與函數y=x—a+lnx在給定的區間(一2,0］和區間(0,2)

一石W0,620,

內分別有一個根，結合圖象可得,4一於0,即1水4,

2-a+ln2>0,、水2+In2,

所以0〈水2+ln2.

8.(2017屆江蘇泰州中學期中)定義在R上的函數F(x)滿足F(x)+/1(x+5)=16,當(一

1,4］時，f(x)=V—2*,則函數f(x)在區間［0,2016］上的零點個數是.

答案605

解析因為/1(x)+f(x+5)=16,則/'(x+5)+f(x+10)=16,所以/1(x)=f(x+10),所以

該函數的周期是7=10.由于函數y=f(x)在(-1,4］上有三個零點，因此在區間(一1,9)上只

有三個零點，而2016+5=403+1,故在區間［0,2016］上共有(403X3+1)+2=(1209+

1)+2=605(個)交點.

9.(2017屆河南省鄭州市第一中學質量檢測)對于函數F(x)與g(x),若存在Ae{xGR|f(x)

=0},〃e{xeR|g(x)=0},使得|1一則稱函數f(x)與g(x)互為“零點密切函數”,

現已知函數f(x)=e"T+x—3與g(x)=9—ax—x+4互為“零點密切函數”，則實數a的取

值范圍是.

答案⑶4］

解析由題意知，函數f(x)的零點為X=2,設g(x)滿足|2—的零點為〃，因為|2

—解得1W〃W3.

因為函數g(x)的圖象開口向上，所以要使g(x)的一個零點落在區間[1,3]±,

〃夙1)>0,

歐3)>0,

則需滿足g(l)g(3)W0或</20,

a+1

1<——<3,

解得hWaWd或3W水?，取并集得3W〃W4.

O0

故實數a的取值范圍為[3,4].

10.(2017屆江西撫州市七校聯考)食品安全問題越來越引起人們的重視，農藥、化肥的濫

用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農村合作社每年投

入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大

棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據以往的種菜經驗，發現種西紅柿的年收入只種黃瓜的年

收入0與投入a(單位：萬元)滿足片80+4，媼，0=]a+12O.設甲大棚的投入為x(單位：

萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)

(1)求f(50)的值;

(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益/<x)最大？

解(1)因為甲大棚投入50萬元，則乙大棚投入150萬元，

所以『(50)=80+4-\/2X50+|x150+120=277.5.

令.5675],

貝Iy=-^t2+4^2t+250=-1(t-8A/2)2+282,

當2=8鏡，即x=128時，f(x)蚪=282,

所以當甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時，總收益最大，且最大收益為282萬元.

B組能力提高

11.(2017屆湖北孝感統考)定義在R上的奇函數f(x),當x'O時，f(x)=

log](x+l),0Wx〈l,

<2則關于x的方程f(x)—a=O(O<a〈l)所有根之和為1一則

、1一|X—3|,x與1,

實數己的值為()

\[21

A.B.~

\[21

34

答案B

解析因為函數Ax)為奇函數，

所以當(―1,0]時，_f(x)=—/1(—x)=—log1(―x+1)=log2(l—x)；

2

當x￡(—8,—1]時，f(x)=-f{—x)=—(1—|—3|)=\x+3\—1,所以函數f(x)的

圖象如圖所示，函數Hx)的零點即為函數y=f(x)與尸》的交點，如圖所示，共5個；當x

￡(一8,—1]時，令|x+3|—1=5,解得荀=一4-&X2=a-2,當xR(―1,0)時，令log2(l

—x)=a,解得用=1-2、當x￡[l,+8)時，令l—|x—3|=a,解得系=4一女，禹=a+2,

所以所有零點之和為矛1+濟+為+為+不=-4—a~\~a—2+1—2a+4—a+a+2=1-2a=1—

f|10g5(l—A)|,XI,

12.(2017屆杭州地區四校聯考)已知函數Ax)=/、則方程

〔一(X—2p+2,

f(x+：—2)=a的實根個數不可能為()

A.8B.7C.6D.5

答案D

解析如圖所示，畫出函數_f(x)以及g(x)=x+：—2的圖象，從而可知，當水。時，方程

/'(x)=a有一正根，.,.方程『［x+：-2)=a有兩個根；當a=0時，方程f(x)=a有一個

正根，一個根0,(x+:-2)=a有三個根；當0〈a〈l時，方程f(x)=a有兩個正根，

一個大于一4的負根，(x+1—2)=a有四個根；當