函數一輪復習微專題（文科）

—函數的零點（2課時）

“函數”是高中數學中起聯接和支撐作用的主干知識，也是進一步學習高等數學的基礎.

其知識、觀點、思想和方法貫穿于高中數學的全過程，同時也應用于幾何問題的解決.因此,

在高考中函數是一個極其重要的部分，而對函數零點的復習則是高三數學一輪復習的重頭戲.

一、考情分析

（一）考綱要求（2016年）

知識要求

內容

了解（A）理解（B）掌握（C）

函數的要素了解

函數的定義域和值域會求

映射了解

函數的表示方法選擇

函數分段函數了解簡單應用

單調性及其幾何意義理解

最大值、最小值及其幾何意義理解

奇偶性的含義了解

函數的性質運用研究

指數函數模型的實際背景了解

有理指數幕的含義理解

實數指數基的意義了解

指數函

暴的運算掌握

數

指數函數的概念理解

指數函數的單調性理解

指數函數圖像經過的特殊點掌握

對數的概念理解

對數的運算性質理解

換底公式知道

對數函對數函數的概念理解

數對數函數的單調性理解

對數函數圖像經過的特殊點掌握

指數函數y="與對數函數

y=log“x互為反函數（a>0,了解

且4W1）

累函數嘉函數的概念了解

知識要求

內容

了解（A）理解（B）掌握（C）

23

基函數丁二%,y=xfy=x9

y=~,y=/的圖象及其變化了解

X

函數的零點與方程根的聯系了解

函數與

一元二次方程根的存在性及根

判斷

方程的個數

用二分法求相應方程的近似解能求

指數、對數及基函數的增長特

函數模了解

征

型及其直線上升、指數增長、對數增

知道

長等不同函數類型增長的含義

應用

函數模型的廣泛應用了解

2016年全國新課標數學（文）學科大綱和2015年對比沒有變化.2016年高考數學全國

卷（I）,貫徹《2016年全國統一高考考試大綱》基本要求，一如既往保持了新課標高考卷整

體穩定、適度創新的風格，重視考查學生的基本數學素養，兼顧對各考點、數學思想方法和

能力的考查，關注數學的應用意識和創新意識，試卷梯度明顯，有良好的區分度.

（二）試題分析

近三年新課標全國卷（文）對本專題的考查統計如下:

年份題號題型分值考查知識點比例難度

5選擇題5抽象函數奇偶性的判斷易

12選擇題5函數的零點、利用導數研究函數的圖像難

201418%

15填空題5分段函數、解不等式中

函數的單調性、導數的幾何意義、不等

21解答題12難

式有解問題的處理

10選擇題5分段函數的正向求值與逆向求值中

對稱問題中函數解析式的求法，指數式

12選擇題5難

與對數式的互化

201518%

14填空題5導數的幾何意義、利用導數求切線方程易

零點的判斷、導數在判斷函數單調性及

21解答題12難

最值中的應用、均值不等式

8選擇題5對數函數、指數函數、不等式的性質中

9選擇題5函數圖像和性質，導數的應用中

2016函數的單調性、二次函數、導數的應用、18%

12選擇題5難

三角函數

21解答題12函數零點、單調性、導數的應用難

根據上表可以看出新課標全國卷（文）在本專題中的命題特點如下:

(1)從考查要求來看：不僅有基本知識、基本方法、基本技能的考查，更有數學思想、數學本

質的考查.

(2)從考查題型和難度來看：新課標卷在函數方面占27分，題目基本穩定在“三小一大”

的格局上，其中小題平均難度適中，解答題難度很大，比較穩定的采用導數壓軸.

(3)從考查內容來看：小題考點可總結為七類：一是分段函數，二是函數的性質，三是基

本函數，四是函數圖象，五是方程的根(函數的零點)，六是函數的最值，七是函數與導數.解

答題主要是利用導數處理函數、方程和不等式等問題，有一定的難度.常見的考點可分為六

個方面，一變量的取值范圍問題，二證明不等式的問題，三方程的根(函數的零點)問題，

四函數的最值與極值問題，五導數的幾何意義問題，六恒成立與存在性問題.

(4)從考查思維和能力來看：既考查學生分析問題和解決問題的能力，又考查運算能力和

數據處理能力.

(5)從考查的數學思想方法來看：分類討論思想、函數與方程思想、等價轉化思想、數形

結合思想、整體代換思想、極端化思想、建模思想

如：分段函數問題、判斷含有參數的函數的單調性、最值等問題常與分類討論思想相結合，

有關函數與方程的相關問題常涉及函數與方程思想和等價轉化思想，研究函數的圖象問題和

基本函數的性質時常利用數形結合思想等.

(三)命題趨向

(1)題量穩定，題型不變，小題平均難度適中，解答題難度很大，導數壓軸；

(2)函數的性質、函數的圖象、分段函數、函數與方程、函數與導數依然是考查的重點；

(3)可能會有與其它章節交匯知識點的考查，如：函數與三角函數、函數與不等式、函數

與數列、函數與解析幾何等交叉滲透的綜合性問題；

(4)壓軸題為函數與導數，主要考查利用導數處理函數、方程和不等式等問題，同時考查

推理論證能力、數據處理能力、轉化與化歸思想以及分類討論思想.

二、本專題復習的意義

作為高考考查的重點，又是學好其它相關章節的橋梁和工具，函數的一輪復習教學必須

深入而有效.傳統的一輪復習教學注重知識點的分類復習、題型和方法的分類復習，能促使

學生構建知識體系，優化解題思路，但是在復習的精準度、細致度、深刻度等方面尚存在一

定的問題，比如“函數與導數"''解析幾何”等內容，有知識點多、復習時間長的特點，學生

往往會陷入機械記憶模式，對很多問題仍然是一知半解.如能在傳統專題形式的基礎上對重

點考查的內容穿插微專題，則可以起到“見微知著”，促進學生深度學習的目的，同時也能激

發學生的學習熱情.

函數一輪復習的微專題有：函數的定義域和值域、函數的性質、函數的圖象、函數的零

點.

在新課標中，函數的零點是函數中的重要內容，也是高考考查的熱點.它是函數、方程、

不等式的一個知識交匯點，也是初等數學與高等數學的一個銜接點，蘊含著豐富的數學思

想.從近幾年各省的高考真題來看，零點問題不僅呈現于客觀題中，考查學生對零點問題的

基礎知識與基本技能的理解與掌握，而且滲透于主觀題中，與其它知識交匯對接，考查學生

的綜合思維能力.小題中的零點問題多用數形結合的思想求解，解答題中的零點問題多用導

數法求解.特別是，新課標卷近兩年在壓軸題中都考查了導數法解決零點問題，而且有一定

的難度.這一發現促使我開始從這兩種思路去研究零點問題.

微專題“函數的零點”教學設計(2課時)

一、教學設計

1.教學內容解析

本課是高三一輪函數章節復習之后對重點內容設置的微專題復習課，不一定要做到面面

俱到，而是要把握重點、聚焦難點、力求突破難點.本課主要復習解決零點問題的兩種基本

思路：①數形結合；②導數法.通過對零點問題的多級設計，實現知識的層層解析，思維的

步步深入，方法的自然遷移.教學過程中，引導學生面對新問題時主動聯想己解決問題運用

的各種策略，通過觀察、判斷、分析、比較尋得新問題的解決方法.在問題的逐級遞進中，

讓學生逐漸領悟解決該類問題常用的思想方法，并在此基礎上優化方法，從而讓學生活用知

識，升華思想，提高能力.通過習題的訓練，讓學生學會識別題目的類型、聯想方法、選擇

思路，在不同的復合情境中抓住題目的本質，尋找解題的規律，“以不變應萬變”.根據教學

內容，微專題計劃兩課時完成.

根據以上分析，本節課的教學重點確定為：

教學重點：

數形結合探究零點問題、導數法探究零點問題.

2.學生學情分析

此課的授課對象為高三文科班的學生.學生此時剛好復習完了函數部分的所有知識點，

會畫簡單函數的圖象，會通過圖象研究、理解函數的性質，對零點的求解方法和所涉及到的

基本題型也有了一定的認識.但在深刻度上還有所欠缺.所以在教學中要引導學生歸類題型,

總結方法，注重題與題之間的連通性和變通性，從而在浩如煙海的數學題目中尋找解題的規

律.

根據以上分析，本節課的教學難點確定為：

教學難點：如何引導學生識別題目的類型、聯想方法、選擇思路，在不同的復合情境中

抓住題目的本質，尋找恰當的、最優的方法解決零點問題.

3.教學目標設置

(1)讓學生掌握解決零點問題的兩種基本思路：①數形結合法；②導數法.

(2)讓學生掌握兩類題型的處理方式：①求零點的個數；②己知零點的個數求參數.

(3)讓學生體會函數與方程思想，數形結合思想，轉化與化歸思想，分類討論的思想.

(4)強化學生對函數與方程相互轉化的認識與理解，提高學生分析問題、解決問題的能

力.

4.教學策略分析

在“學生主體、教師主導”的新課標理念下，運用變式教學策略，實現對教學難點的突破.

策略1.一題多變

通過一題多變，給學生的思維發展提供階梯，讓學生在探究中感悟知識，建構分段函數

零點問題的求解模型，提高學習效率.

策略2.?題多解

引導學生對同一零點問題從不同角度加以思考，探求不同的解決方法，訓練思維的多向性,

實現對數形結合法、導數法探究零點問題解題方法的整理歸納.注重不同方法的對照、對比

和優選，通過對多種解法的探究和呈現，更好的提高學生解題的靈活性和敏捷性.

策略3.多題歸一

引導學生將探究所得的方法應用到零點問題的求解中，讓學生學會識別題目的類型、聯

想方法、選擇思路，在不同的復合情境中抓住題目的本質，尋找解題的規律，“以不變應萬變”,

做到抽絲剝繭，柳暗花明.

教學流程：

二、教學過程

第一環節：一題多變數形結合探零點

高考中，大多數的零點問題基本都要用到數形結合的思想來求解，而直接運用數形結合

的思想來探究零點問題多以小題的形式呈現，而且以分段函數的形式居多，為了貼近高考，

此環節設置的例題和變式題的函數形式都為分段函數.

例題1(解析式與分段點均確定的零點問題)：設函數=[2-1，,則

[4(x-l)(x-2),x>1

函數的零點為.

2r-11

變式h【2014福建，文15]函數/")='的零點個數是_________.

2x-6+lnx,x>1

設計意圖：此問題由學生課前預習完成，幫助學生回顧函數零點問題的處理方法：一個原

理、兩種方法、三種轉換.讓學生意識到對于分段函數來說，還得根據每一段的定義域來求

零點.為后面變式的探究打下基礎.

小結：在師生的共同探討下，收獲如下：解析式確定的零點問題，不管是不是分段函數,

零點問題概括起來就是一個原理一一零點存在性定理，兩種方法一一解出來或畫出來；三種

轉化一一轉化為/(x)=0型，/(x)=c型或者/(x)=g(x)型.而分段函數的零點在此基礎上還

要結合各段的定義域去確定零點.所蘊含的思想方法有：函數與方程、數形結合、轉化與化

歸.

Y_ia

變式2(解析式確定，分段點不定的零點問題)：設函數f(x)=',

4(x-l)(x-2),x>a

若函數/(x)有兩個零點，則的取值范圍是.

設計意圖：在例題1解析式的基礎上將分段點改為不確定的情況去探求零點.該題由學生

先思考后展示，經教師補充后共同提煉出兩種解法：一是先分別作出兩段函數在R上的圖象,

再通過分段點的左、右移動來取舍左、右兩段函數的圖象，進而確定滿足條件的分段點的位

置.二是通過解方程計算兩段函數零點的取值為0,1,2,找到討論的標準，對分類討論來求解.

變式3(解析式不定，分段點確定的零點問題):

2X—ClyX<1

【2015北京，文14］設函數〃x)=

4(x-a)(x-2a),

①略

②若/(x)恰有2個零點，則實數的取值范圍是.

設計意圖：在例題1的基礎上將解析式改為不確定的情況，圖象不定，難度較大.可讓學生

先思考然后說出自己的解題方法再計算，最后請代表展示，教師點評.師生共同整理出對于

含參的分段函數零點的最優解法：首先在每段中求零點，分析零點與分段點的位置關系找到

參數的分類標準，然后將零點進行等價轉化，再運用分類討論的思想，結合圖象找限制條件.通

過此變式讓學生體會如何從復雜的情境中準確的找到問題的切入點，同時復習數形結合、分

類討論、等價轉化的數學思想.

在例1以及3道變式題的基礎上，教師精心挑選配套練習題，進一步鞏固如何運用數形結

合的思想來求解零點問題.

2-\x\,x^2

練習1：【2015天津，文8】已知函數/(x)=函數g(x)=3-/(2-x),則

(x-2)2,x>2

函數y=/(x)-g(x)的零點個數為()

A.2B.3C.4D.5

設計意圖：分段函數中加絕對值，目標函數也變得復雜，但是求解的方法卻更加靈活、多

樣.通過此題進一步鞏固變1知識，同時訓練學生的解題思維.具體有三種做法：一是利用

圖象的對稱變換、平移變換等知識，分別作出八加與g(x)的草圖，從圖象中發現兩個函數的

圖象有兩個交點；二是求出函數)，=/(x)-g(x)的解析式，在每一段中按照例1或變1的方法

求零點；三是構造函數/?(x)=/(x)+f(2-x),將此問題轉化為求〃(x)與y=3的交點個數.

練習2：［2016天津，文14］已知函數/(外=卜2+(4"3口+3丫<()3>0且“聲］)在R

logrt(x+l)+l,x^0

上單調遞減，且關于的方程|/(x)|=2-g恰有兩個不相等的實數解，則的取值范圍是

設計意圖：設置練習2的目的為：鞏固分段點不定零點問題的求法，讓學生感受獲得知識

的喜悅，考查學生對此類問題的掌握和理解情況.練習2難度較大，命制中增加了2個限制

條件，一是由函數的單調性限制了參數的范圍，二是目標函數中增加了絕對值符號，即解題

中需結合函數的翻折變換，利用數形結合的思想找限制條件.通過此題讓學生體會解決此類

零點問題的難點并不是零點問題的轉化，而是如何通過畫圖、通過圖象的變換，找到的限制

條件.同時還要注意解題細節，直線y=2-x與曲線y=x?+(4a-3)x+3a相切也符合題意.

第二環節：拾級而上借用導數探零點

函數的圖象有時并不能直接畫出，或分情況畫出，必須通過求導討論單調性才能畫出，

進而探究零點.所以導數在探究零點問題中的工具作用不容小覷，而且這是新課標文科卷近

年來考查的熱點，通常以解答題的形式呈現，考查的都是非分段函數的零點，并未涉及到分

段函數.教師根據學生的掌握情況，設計一組問題，層層遞進.

例題2：(必修1,88頁例1改編)判斷函數/(x)=x-lnx-2的零點個數.f

讓學生在學案上完成例題，并用實物投影儀展示學生的解答過程，得到以

ix)=x-Jnx-2

下兩種解法.

.1Y—1___

方法一：因為/(x)=x—lnx-2,所以/'(x)=l--=——，所以/(X)在(0,1)-0

XX

上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，所以=又因為當接近時

函數值為正數，同時/(e2)>0,結合/(x)的圖象(圖1)可知/(x)的零點

方法二：判斷函數/(x)=x-lnx-2的零點個數，即判斷方程

x—Inx-2=0根的個數，即判斷函數y=x-2與函數y=lnx的交點個數

圖2

由圖2可知，它們的交點有兩個，所以/(x)的零點有2個.

設計意圖：通過例題2進一步鞏固第一環節中解決零點問題的方法，即一個原理，兩種方

法，三種轉化.同時指出不同之處為：不再是分段函數，函數的單調性必須借助于求導才能

判斷.由學生課前完成.

變式1：判斷函數/(x)=x-Inx-2-。的零點個數.

方法一：因為參數在常數項的位置，它是例2中的函數經過上下平移得到的，由圖象易

得：當a<-1時，無零點；當a=-l時，有一個零點；當。時，有兩個零點.

方法二：由題意，原問題即判斷函數y=x-2-“與函數y=lnx的交點個數，在例2的方

法二的基礎上，求出函數y=lnx的斜率為的切線方程為y=x-l,通過平移函數y=x-2易得

同樣結論.

方法三：運用分離參數法.轉化為判斷函數y=x-lnx-2與>的交點個數問題.由

例2中方法一的圖象易得同樣結論.

設計意圖：添加參數，參數在常數項的位置.學生經過分析，得到三種解法，教師用實物

投影展示成果.通過此變式讓學生的思維處于螺旋上升狀態.

變式2：若函數/(x)=x-lnx-2-。在區間上有一個零點，求的取值范圍.

e

設計意圖：添加區間后，變式1下的三種方法均可行，學生稍作思考便能得出答案為：

"=-1或1-1<4忘/-4.幫助學生實現方法的自然遷移.

e

變式3：若函數/(x)=ar-lnx-2有一個零點，求的取值范圍.

設計意圖：改變參數位置，將參數置于一次項系數位置，增加問題難度，讓學生面對新

目標，再次起跳，爭取摘到“桃”.

經過思考，學生得到三種解法，用實物投影展示其解答過程.

方法一：因為/(x)=or-Inx-2,所以尸(力=.-2=竺~~-,所以當aWO時，/(x)在

xx

(0,+oo)上單調遞減，又因為當接近時函數值為正數，同時，⑴="-2<0,所以函數必定有一

個零點.

當。>0時，易知/(X)在(0,3上單調遞減，在d,+8)上單調遞增，所以f(x)而0=/(3

aaa

=0即可，解得a=e.綜上所述：。忘0或。=6.￥/

方法二：由題意可知，函數y=依-2與函數y=lnx有一個交點，2f

而函數y=or-2是過定點(0,-2)的直線，由圖3,當aWO或直線與??1

圖3

由_L=〃可知切點坐標為P(-,ln-),

y=Inx相切時滿足題意，相切時可設切點為P(%,%)，

x0aa

又因為尸點在直線y=ar-2上，解得〃=e.綜上所述：aWO或。=e

方法三：分離參數可得.即函數y=a與式x)=電9(xx0)有一個

X

—|riy—111

交點.因為,(x)=1,所以q(x)在(0,3上單調遞增，在(與g0)上

XTee

單調遞減，所以觀幻而?=4(3=6,又因為當接近時函數值是負的，當趨

e

向正無窮時函數值是正的，由圖4可知，的取值范圍是。忘0或。=6.

變式4：當a>0時，若函數/(x)=x-alnx有兩個零點，求的取值范

圍.

設計意圖：再次改變參數位置，將參數置于對數前，再添難度，讓學生嘗試對比以上方

法擇優解決.答案為：?>e.

練習：【2015新課標1,文21］設函數f(x)=e2*-alnx.

(I)討論f(x)的導函數r(x)的零點的個數.

(II)略

設計意圖：雖然與前面的變式題在解析式上有些不同，但是處理的方法完全一樣，即轉化

為函數y=2re2，(x>0)與y=a的交點個數，并通過導數來判斷，或函數y=2e2*(x>0)與

y=q的交點個數，或求導討論((x)=2e2，-3a>0)的單調性，結合零點存在性定理判斷零

XX

點.通過此題，鞏固利用導數探究零點的三種方法，分辨最優解.同時感受高考真題，體會

真題中零點的考查方式.

第三環節：順藤摸瓜解題規律及時找

師：通過以上兩個環節的學習，你有哪些收獲？

學生分組討論完成，教師在方法技巧的基礎上提煉核心數學思想，幫助學生形成實用有

效的解題規律：零點問題概括起來就是一個原理一一零點存在性定理，兩種方法一一解出來

或畫出來；三種轉化——轉化為f(x)=O型，/(》)=,型或者/(幻=8。)型.

數形結合探究含參的分段函數零點具體做法為：首先在每段中求零點，分析零點與分段

點的位置關系找到參數的分類標準，然后將零點進行等價轉化，再運用分類討論的思想，結

合圖象找限制條件.不僅要用到等價轉化的數學思想、還需用到分類討論和數形結合的思想.

借用導數探究一般函數零點具體做法為：1、f(x)=O型.求導，對參數分類討論進而討

論函數的單調性，確定函數圖象的特征，找參數的限制條件；2、f(x)=c型.將函數變形，

把參數置于一邊，對新構造的確定函數求導，討論函數單調性，確定圖象的特征，最后平移

直線y=c,找到參數的限制條件；3、/(x)=g(x)型.將函數變形，把函數零點問題轉化為

一條直線和一個一般曲線的交點問題，利用導數求曲線的切線，通過圖象找到參數的限制條

件.

我們應將具體問題轉化為三種類型的某一類，有時還要通過分析、比較找出最優解，也即

最佳策略.

設計意圖：讓學生對所學的知識有比較全面的認識，引導學生歸納總結解決不同零點問

題的處理方法、思想方法和解題步驟，從解決問題的方法、規律、思維策略等方面反思自己

的做法，總結解題的經驗教訓，提高解題能力.及時反饋課堂的教學效果，讓復習課更加深

刻、細致和精準，從而實現微專題復習課的終極目標.

第四環節：回歸梳理，下一輪會更精彩

布置學生課后在函數零點的課本習題中，在以前做過和考過的題目中，把與本課相類似

的零點問題找出來再做，總結和歸納解題的經驗、感悟、困惑和教訓.同時布置課后練習，

為二輪復習打下扎實的基礎.

課后練習：

1.12016山東，文15]已知函數=，其中相>0.若存在實數，使

[x-2nvc+4加，x>m

得關于的方程/(x)=6有三個不同的根，則機的取值范圍是.(3,y0)

2.【2015江蘇，13】已知函數/(x)=|lnx|,g(x)=f',0<'^1,則方程|/(x)+g(x)|=l

[|x-4|-2,X>1

實根的個數為.

e"+axW0

3.已知函數/(尤)='(“eR),若函數/(x)在R上有兩個零點，則的取值

2x-1,x>0

范圍是.

x2-2ax,xW1o

4.已知實數?！礝J0)=h。丫丫>1若方程/(工)=-士/有且僅有兩個不等實根，且較大

.2

實根大于2,則實數的取值范圍是.

5.12016新課標1,文21】已知函數/(X)=(x-2)e*+a(x-l)2.

(I)討論/(x)的單調性；

(II)若/(x)有兩個零點，求的取值范圍.

6.12014新課標1,文12］已知函數/&)=63-3/+1,若/(x)存在唯一的零點看,且%>0,

則的取值范圍是.

7.12014陜西，文21】設函數/■(x)=lnx+竺,〃?eR.

X

(ID討論函數g(x)=r(x)-1零點的個數.

設計意圖：進一步鞏固所學，讓學生學會獨立識別題目的類型、聯想方法、選擇思路，

在不同的復合情境中抓住題目的本質，尋找解題的規律，“以不變應萬變”.體會函數與方程

思想，數形結合思想，轉化與化歸思想.

教學反思：本課復習了解決與零點相關問題的兩種基本思路：①數形結合；②導數法.

兩類題型：①求零點的個數；②已知零點的個數求參數.內容設計層層深入，分段進行，又

環環相扣，使學生在接受知識、探究問題的過程中能有一個逐步積累深入、螺旋上升的發展.

但本課主要涉及的是數形結合解決分段函數中的零點問題，以及借用導數畫圖象來解決非分

段函數的零點問題，對于非分段函數直接畫圖或者通過圖象的變換再畫圖去求解零點的問題，

限于課時不能展開.直接解方程求解函數的零點，因為考得較少故而直接忽略掉了.

近五年與零點有關的真題搜集如下：

【2016山東，文15］已知函數="<機，其中相>0.若存在實數，使得

［X-2mx+4根,x>m

關于的方程f(x)=6有三個不同的根，則機的取值范圍是.(3,*?)

【2016天津，文14】已知函數/(x)=卜-+(4a-3)x+3k<O(a>o且a#D在R上單調遞減，

[log?(x+l)+l,x>0

且關于的方程|/(x)|=2-]恰有兩個不相等的實數解，則的取值范圍是.[1,|)

f2-1rIxW2

【2015天津，文8】已知函數〃x)=；,函數g(x)=3-/(2-x),則函數

[(x-2),x>2

y=/(x)-g(x)的零點的個數為(A)

A.2B.3C.4D.5

【2015安徽，文4】下列函數中，既是偶函數又存在零點的是(D)

A.y=\nxB.y=x2+1C.y=sinxD.y=cosx

[2015安徽，文14]在平面直角坐標系xO.v中，若直線y=2a與函數)，=次-〃|-1的圖像只

有一個交點，則的值為_____________.--

2

【2015湖南，文14]若函數"x)=|2'-2|-b有兩個零點，則實數的取值范圍是.0<b<2

【2015陜西，文9】設f(x)=x—sinx,則f(x)=(B)

A.既是奇函數又是減函數B.既是奇函數又是增函數

C.是有零點的減函數D.是沒有零點的奇函數

【2015湖北，文13]函數f(x)=2sinxsin(x+9-x2的零點個數為.個

【2015江蘇，13】已知函數/(x)=|lnx|,g(x)=F,°<""l，則方程|f(x)+g(x)|=l實

[Ix-41-2,x>1

根的個數為.個

【2014新課標1,文12]已知函數/(x)=o?-3f+l,若“X)存在唯一的零點七,且x°>0,

則的取值范圍是(A)

A.(2,+oo)B.(l,+oo)

C.(-oo,-2)D.(-oo,-l)

【2014湖北，文9】已知/(x)是定義在R上的奇函數，當x20時，fM=x2-3x,則函數

g(x)=f(x)-x+3的零點的集合為(D)

A.{1,3}B.{-3,-1,1,3)

C.{2-77,1,3)D.{-2-e,1,3}

2

【2014福建，文15］函數/(x)=r-2'r<"0的零點個數是_________?個

2x-6+Inx,x>0

【2013天津，文8】設函數/(x)=e*+x-2,g(x)=lnx+/-3.若實數a/滿足

/(a)=0,g(6)=0,則(A)

A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)

C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<Q

【2013湖南，文6】函數/(x)=lnx的圖象與函數g(x)=f-4x+4的圖象的交點個數(C)

A.B.C.D.

Q

【2013上海，文】方程二二+1=3'的實數解為.log,4

3-1

［2013湖北，文12］已知函數/(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點，則實數的取值范圍是(B)

A.(-co,0)B.(0,-)C.(0,1)D.(0,4-oo)

2

【2013安徽，文10】已知函數f(x)=V+加+版+c有兩個極值點x，%,若/(%)=%<尤2，

則關于的方程3(/。))2+2次工)+〃=0的不同實根個數為(A)

A.3B.4C.5D.6

【2012湖北，文】函數f(x)=XCOS2x在區間［0,21］上的零點的個數為(D)

A.2B.3C.4D.5

(；)、的零點個數為(B)

【2012北京，文】函數/(%)=/—

A.0B.1C.2D.3

【2012湖南，文】設定義在R上的函數/(x)是最小正周期為2萬的偶函數，f'(x)是/(X)的

導函數.當工￡。乃］時，0</(X)<1;當X￡(0,7T)且時，(不一')./*'(%)>0.則函數

丁=/(%)-5缶不在［-2肛2詞上的零點個數為(B)

A.2B.4C.5D.8

【2012天津，文】已知函數、=反二”的圖像與函數丫=阮的圖像恰有兩個交點，則實數的

|x-l|

取值范圍是.(0,1)u(1,2)

【2016新課標1,文21］已知函數f(x)=(x-2)e*+a(x-l)2.

(I)討論/(x)的單調性；

(II)若/(x)有兩個零點，求的取值范圍.

【2016北京，文20】設函數/(》)=/+奴2+公+。.

(I)求曲線y=/(x)在點(OJ(O))處的切線方程；

(II)設。=6=4,若函數/(x)有三個不同零點，求的取值范圍；

(III)求證：/-3匕＞0是/(x)有三個不同零點的必要而不充分條件.

【2016江蘇，文19】已知函數為(*)=優+，已。＞0/＞0,4=1/*1).

(I)設“=2力=；①求方程/(幻=2的根；

②若對任意xeR,不等式f(2x)Z，4(x)-6式恒成立，求實數機的最大值；

(H)若0＜。＜1力＞1,函數g(x)=/(x)-2有且只有1個零點，求"的值.

【2015新課標1,文21］設函數f(x)=e2*-alnx.

(I)討論f(x)的導函數尸(x)的零點的個數；

(II)證明:當a＞()時〃x)》2a+aln±.

【2015北京，文19］設函數f(x)=］-〃lnx,k＞0.

(I)求/(x)的單調區間和極值；

(II)證明：若/(X)存在零點，則〃x)在區間(L&J上僅有一個零點.

【2015廣東，文21】設為實數，函數〃x)=(x-a)2+k-4-a(a-l).

(I)若/(O)W1,求的取值范圍；

(II)討論/(x)的單調性；

(III)當時，討論了(幻+色在區間(0,內)內的零點個數.

x

【2015山東，文20】設函數/(x)=(x+a)lnx,g(x)=—.已知曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處

e*

的切線與直線2x-y=0平行.

(I)求的值；

(H)是否存在自然數，使得方程〃x)=g(x)在(34+1)內存在唯一的根？如果存在，求出；

如果不存在，請說明理由；

(III)設函數,w(x)=min"(x),g(x)}(min{p,q}表示〃，q中的較小值)，求皿x)的最大值.

【2015四川，文21】已知函數/(x)=-2xlnx+x2-2ov+a2,其中a>0.

(I)設g(x)為f(x)的導函數，討論g(x)的單調性；

(H)證明：存在aw(O,l),使得/'(X)明0恒成立,且f(x)=O在區間(l,+oo)內有唯一一解.

【2015浙江，文20］設函數,(幻=/+辦+4(a,bwR).

2

(I)當b=2+1時,求函數f(x)在上的最小值g(a)的表達式;

4

(II)已知函數/(x)在上存在零點，0Wb-2aWl,求的取值范圍.

【2014湖南，文21】已知函數f(x)=xcosx-sinx+l(x>0).

(1)求f(x)的單調區間；

(II)記士為/(x)的從小到大的第i(ieN*)個零點，證明：對一切”eN*,有

【2014陜西，文21】設函數f(x)=lnx+—

x

(I)當機=e<(為自然對數的底數)時，求/(x)的極小值；

(II)討論函數g(x)=零點的個數；

(III)若對任意。>a>0,"份="：<1恒成立,求旭的取值范圍.

b-a

【2014四川，文21】已知函數/(x)=e"—以2-法一1,其中a,beR,e=2.71828…為自然對

數的底數.

(I)設g(x)是函數/(x)的導函數，求函數g(x)在區間［0,1］上的最小值；

(II)若/(1)=0,函數/(x)在區間(0,1)內有零點，證明：e-2<?<l.

【2013江蘇，文】設函數/(x)=lnx-ar,g(x)=ex-ax,其中為實數.

(I)若f(x)在(l,+oo)上是單調減函數，且g(x)在(l,+oo)上有最小值，求的取值范圍；

(H)若g(x)在(T,xo)上是單調增函數，試求/(x)的零點個數，并證明你的結論.

【2013陜西，文】已知函數f(x)=e"其中xeR.

(I)求y(x)的反函數的圖象上圖象上點(1,0)處的切線方程；

(II)證明：曲線y=f(x)與曲線y+x+l有唯一公共點.

(III)設""比較/色心］與型二幺絲的大小，并說明理由.

\2)b-a

【2013北京，文】已知函數f(x)=x?+xsinx+cosx.

(I)若曲線y=/(x)在點(〃,/(，，)))處與直線y=匕相切，求與的值；

(II)若曲線y=/(x)與直線y=。有兩個不同的交點，求的取值范圍.

【2013福建，文】已知函數/(x)=x_i+巴(aeR,為自然對數的底數).

e*

(I)若曲線y=/(x)在點(1,7⑴)處的切線平行于軸，求的值；

(II)求函數/(x)的極值；

(III)當a=l的值時，若直線/:)，=丘-1與曲線y=/(x)沒有公共點，求的最大值.

【2012天津，文】已知函數/(X)=-or-a,xeR,其中a>0.

(I)求函數/(x)的單調區間；

(II)若函數/(x)在區間(-2,0)內恰有兩個零點，求的取值范圍；

(III)當。=1時，設函數f(x)在區間+上的最大值為MQ),最小值為m(f),記

g(f)=M(r)-m(r),求函數g⑴在區間［-3,-1］上的最小值.

【2012福建，文】已知函數/(x)=arsinx-3(aeR),且在［0,§上的最大值為與3.

(I)求函數/(x)的解析式；

(II)判斷函數/(x)在(0,乃)內的零點個數，并加以證明.

附錄：

《高考中的立體幾何問題》說課稿

立體幾何是高中數學知識體系的重要組成部分，是培養學生空間想象能力的

重要載體，是每年高考必考的重要知識點！無論是從高考的現實出發，還是從學

生個人的長遠發展來看，學好立體幾何這一模塊的內容對于學生來說都是極為重

要的。在此，我僅從高考要求、命題趨勢、考綱變化、復習意義四個方面來對立

體幾何模塊談談我的看法。

一、高考要求

1、空間幾何體

（1）認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征;

（2）能畫出簡單空間圖形的三選圖，能識別相應三視圖所表示的立體模型，會用

斜二測畫法畫出他們的直觀圖；

（3）會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不

同表現形式；

（4）了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式。

2、點、直線、平面之間的位置關系

（1）理解空間直線、平面位置關系的定義,并了解四個公理及推論；

（2）認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定定理;

（3）能夠用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。

3、空間向量與立體幾何

（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的

正交分解及其坐標袤示;

（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標表示；

（3）掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量數量積判斷向量的共線與垂

直；

（4）理解直線的方向向量及平面的法向量;

（5）能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系；

（6）能用向量法則立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理；

（7）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題,

了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用。

二、命題趨勢

2016年2015年2014年2013年2012年

全國卷乙（I）全國卷（I）全國卷（I）全國卷（I）全國卷

題題題題題

內容內容內容內容內容

號號號號號

三視圖（圓

三視圖（球、三視圖（三棱球、正方體，三視圖（三棱

611柱、球表面1267

表面積）錐、補形）體積錐、體積）

積）

（棱錐）組

合體：（I）