9.2.4總體離散程度的估計

因畫島圈官國(教師獨具內容)

課程標準：1.結合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(標準差、方差、

極差).2.理解離散程度參數的統計含義.

教學重點：理解樣本數據方差、標準差的意義和作用并會計算方差、標準差.

教學難點：從樣本數據中提取基本的數字特征，并作出合理解釋，能估計總

體的離散程度.

核心素養：通過應用樣本的標準差、方差、極差估計總體離散程度的過程提

升數學運算素養和數據分析素養.

拓展

L方差的簡化計算公式：^+3+第+…+召一方］,或寫成#=儲+

%H-+Z)-T2.即方差等于原數據平方的平均數減去平均數的平方.

2.平均數、方差公式的推廣

(1)若數據Xi,及，…，X”的平均數為x，那么mxx+a,mx,+a,…，mx?+a

的平均數是71+a.

(2)若數據為，論，…，乂的方差為那么

①數據為+a,%+a,…，x〃+a的方差也是/；

②數據ax”ax2,ax“的方差是，s)

,就評價自測氏

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打"X")

(1)方差越大，數據的穩定性越強.()

(2)在兩組數據中，平均數較大的一組方差較大.()

(3)樣本的平均數和標準差一起反映總體數據的取值信息.一般地，絕大部分

數據落在［x-2s,x+2s］內.()

(4)平均數反映數據的集中趨勢，方差則反映數據離平均值的波動大

小.()

2.做一做

(1)下列說法不正確的是()

A.方差是標準差的平方

B.標準差的大小不會超過極差

C.若一組數據的值大小相等，沒有波動變化，則標準差為0

D.標準差越大，表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越集中；標準差越小,

表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越分散

(2)某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環數如下：

7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.

則：①平均命中環數為一；

②命中環數的標準差為一.

(3)樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3,若該樣本的平均值為1,

則該樣本的方差為.

核心素養,

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一樣本的標準差與方差的求法

例1從甲、乙兩種玉米中各抽10株，分別測得它們的株高如下:

甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；

乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；

試計算甲、乙兩組數據的方差和標準差.

［跟蹤訓練1］某班40名學生平均分成兩組，兩組學生某次考試成績情況

如下表所示:

組別平均數標準差

第一組904

第二組806

求這次考試成績的平均數和標準差.

-----Fx-nx2}

7

題型二樣本標準差、方差的實際應用

例2某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓，他們在培訓期間參加的8

次測試成績記錄如下：

甲：9582888193798478

乙：8392809590808575

(1)哪個工人的成績較好？

(2)甲、乙成績位于二一s與T+s之間有多少？

［跟蹤訓練2］從甲、乙兩名學生中選拔一人參加射箭比賽，為此需要對他

們的射箭水平進行測試.現這兩名學生在相同條件下各射箭10次，命中的環數如

下:

甲897976101086

乙10986879788

(1)計算甲、乙兩人射箭命中環數的平均數和標準差；

(2)比較兩個人的成績，然后決定選擇哪名學生參加射箭比賽.

題型三由統計圖求標準差、方差

例3樣本數為9的四組數據，他們的平均數都是5,條形圖如下圖所示，則

標準差最大的一組是()

A.第一組B.第二組

C.第三組D.第四組

［跟蹤訓練3］甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形

統計圖如圖所示，則()

頻數

A.甲的成績的平均數小于乙的成績的平均數

B.甲的成績的中位數等于乙的成績的中位數

C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差

題型四分層隨機抽樣的方差

例4甲、乙兩支田徑隊體檢結果為：甲隊的體重的平均數為60kg,方差為

200,乙隊體重的平均數為70kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊的隊員人數之

比為1：4,那么甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是什么？

［跟蹤訓練4］某培訓機構在假期招收了A,6兩個數學補習班，/班10人,

8班30人，經過一周的補習后進行了一次測試，在該測試中，4班的平均成績為

130分，方差為115,8班的平均成績為110分，方差為215.求在這次測試中全體

學生的平均成績和方差.

隨堂水平達標

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.下列選項中，能反映一組數據的離散程度的是（）

A.平均數B.中位數

C.方差D.眾數

2.（多選）對于樣本數據2,4,6,8,10,下列說法正確的是（）

A.這組數據的中位數是6

B.這組數據的平均數是8

C.這組數據的極差是6

D.這組數據的標準差是2g

3.甲、乙、丙、丁四人參加某運動會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方

差如下表所示:

甲乙丙丁

平均環數78.38.88.88.7

方差523.53.62.25.4

若要從這四人中選擇一人去參加該運動會射擊項目比賽，最佳人選是—(填

“甲”“乙”“丙”“丁”中的一個).

4.在高一期中考試中，甲、乙兩個班的數學成績統計如下表:

班級人數平均分數方差

甲20X甲2

乙

30X乙3

其中二甲=7乙，則兩個班數學成績的方差為.

5.甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質量，各從中抽取

6件測量，數據為：

甲：9910098100100103

乙：9910010299100100

(1)分別計算兩組數據的平均數及方差；

(2)根據計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩定.

課后課時,

KEHOUKESHIJINGLIAN

理霍學考水平合格練

一、選擇題

1.與原數據單位不一樣的是()

A.眾數B.平均數

C.標準差D.方差

2.為評估一種農作物的種植效果，選了〃塊地作試驗田，這〃塊地的畝產量

（單位：kg）分別為吊，及，…，黑，下面給出的指標中可以用來評估這種農作物畝

產量穩定程度的是（）

A.石，x-i,???,%,的平均數

B.X”如…，X,的標準差

C.用，及，…，％,的最大值

D.X”及，…，％,的中位數

3.某公司10位員工的月工資（單位：元）分別為小，用，…，*。，其平均數

和方差分別為1和乙若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工

下月工資的平均數和方差分別為（）

A.T,s2+1002B.7+100,s2+1002

C八.一x,s2D.1+100,s2

4.如圖，樣本月和6分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數分別為二

“和3如樣本標準差分別為&和礪則（）

A.X>XB，S〉SRB.xA<xB，s^S/i

C.x>XB，S&SBD.X《XgS《SR

5.（多選）若某同學連續三次考試的名次（第一名為1,第二名為2,以此類推

且沒有并列名次情況）不大于3,則稱該同學為該班級的尖子生.根據甲、乙、丙、

丁四位同學過去連續3次考試名次數據，可以斷定為尖子生的是（）

A.甲同學：平均數是2,中位數是2

B.乙同學：平均數為2,方差小于1

C.丙同學：中位數是2,眾數是2

D.丁同學：眾數是2,方差大于1

二、填空題

6.已知一組數據：4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,則該組數據的方差是.

7.下列四個結論中正確的有.

①在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等；

②如果一組數據中每個數減去同一個非零常數，則這一組數的平均數改變，

方差不改變；

③一個樣本的方差是$2=4[（不一3）2+5—3尸+…+（加-3）2],則這組樣

本數據的總和等于60；

④數據a,a?,a：”…，a”的方差為分，則數據2al,2a2.2a：；,…，2a”的方差為

4代

8.若40個數據的平方和是56,平均數是手，則這組數據的方差是一，

乙

標準差是一.

三、解答題

9.某學校統計教師職稱及年齡，中級職稱教師的人數為50,其平均年齡為

38歲，方差是2,高級職稱的教師中有3人58歲，5人40歲，2人38歲，求該

校中級職稱和高級職稱教師年齡的平均數和方差.

10.某校高一（1）、（2）班各有49名學生，兩班在一次數學測試中的成績統計

如下表：

班級平均分眾數中位數標準差

高一（1）班79708719.8

高一（2）班7970795.2

（1）請你對下面的一段話給予簡要分析：

高一⑴班的小剛回家對媽媽說：“昨天的數學測試中，全班的平均分為79

分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了”；

（2）請你根據表中的數據分析兩班的測試情況，并提出教學建議.

B級?

1.某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為x,%10,ll,9（x,ye

N*）,已知這組數據的平均數為10,方差為2,則富一引的值為（）

A.4B.3

C.2D.1

2.（多選）某綜藝節目為比較甲、乙兩名選手的各項能力（每項能力的指標值

滿分均為5分，分值高者為優），繪制如圖所示的六維能力雷達圖，圖中點/表示

甲的創造能力指標值為4,點8表示乙的空間能力指標值為3,則下列敘述正確的

是（）

—甲---乙

計算能力

觀察能力

A.乙的記憶能力優于甲

B.乙的觀察能力優于創造能力

C.甲的六大能力整體水平優于乙

D.甲的六大能力比乙較均衡

3.為了調查公司員工的健康狀況，用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取樣

本，已知所抽取的所有員工的平均體重為60kg,標準差為60,男員工的平均體

重為70kg,標準差為50,女員工的平均體重為50kg,標準差為60,若樣本中

有20名男員工，則女員工的人數為一.

4.從某企業生產的某種產品中抽取100件,測量這些產品的一項質量指標值,

由測量結果得如下頻數分布表：

質量指標

[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

值分組

頻數62638228

（1）作出這些數據的頻率分布直方圖;

（2）估計這種產品質量指標值的平均數及方差（同一組中的數據用該組區間的

中點值作代表）；

（3）根據以上抽樣調查數據，能否認為該企業生產的這種產品符合“質量指標

值不低于95的產品至少要占全部產品的80%”的規定？

5.我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節水方案，對居民用

水情況進行了調查.通過抽樣，獲得了某年100戶居民的月均用水量（單位:噸）.將

數據按照［0,0.5),［0.5,1),…，［4,4.5］分成9組，制成了如圖所示的頻率分布

直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)用每組區間的中點的橫坐標作為每組用水量的平均值，這9組居民每人的

月均用水量前四組的方差都為0.3,后五組的方差都為0.4.求這100戶居民月均

用水量的方差.

9.2.4總體離散程度的估計

囪留島圃園閏(教師獨具內容)

課程標準：1.結合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(標準差、方差、

極差).2.理解離散程度參數的統計含義.

教學重點：理解樣本數據方差、標準差的意義和作用并會計算方差、標準差.

教學難點：從樣本數據中提取基本的數字特征，并作出合理解釋，能估計總

體的離散程度.

核心素養：通過應用樣本的標準差、方差、極差估計總體離散程度的過程提

升數學運算素養和數據分析素養.

'新知［拓展

1.方差的簡化計算公式：S2=-［(^4-^+-+Z)-/7T2］，或寫成6？=1尤+

nn

^+-+Z)-T2.即方差等于原數據平方的平均數減去平均數的平方.

2.平均數、方差公式的推廣

⑴若數據X1,蒞，…，X”的平均數為x,那么mx}+a,mx2+a,…，mx"+a

的平均數是mx+a.

(2)若數據為，如…，上的方差為s',那么

①數據*+a,x2+a,???,乂+a的方差也是si

②數據加，ax2,-",的方差是a2s：

iki評價自測:

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“x”)

(D方差越大，數據的穩定性越強.()

(2)在兩組數據中，平均數較大的一組方差較大.()

(3)樣本的平均數和標準差一起反映總體數據的取值信息.一般地，絕大部分

數據落在［x—2s,x+2s］內.()

(4)平均數反映數據的集中趨勢，方差則反映數據離平均值的波動大

小.()

答案⑴X(2)X(3)V(4)V

2.做一做

(1)下列說法不正確的是()

A.方差是標準差的平方

B.標準差的大小不會超過極差

C.若一組數據的值大小相等，沒有波動變化，則標準差為0

D.標準差越大，表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越集中；標準差越小,

表明各個樣本數據在樣本平均數周圍越分散

(2)某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環數如下：

7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.

則：①平均命中環數為一;

②命中環數的標準差為一.

(3)樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3,若該樣本的平均值為1,

則該樣本的方差為.

答案(DD(2)①7②2(3)2

核心素養,形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

題型一樣本的標準差與方差的求法

例1從甲、乙兩種玉米中各抽10株，分別測得它們的株高如下：

甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；

乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；

試計算甲、乙兩組數據的方差和標準差.

_1

［解］才用=77X(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=30,

品=3［(25—30)2+(41—30)2+(40-30)2+(37—30)?+(22-30)2+(14

-30)2+(19—30尸+(39-30)2+(21—30)?+(42-30)2］=104.2,

s甲=yj104.2a^10.208.

_1、

X^=-X(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=31,

同理受=128.8,s乙=、/128.8=11.349.

金版點睛

對標準差與方差概念的理解

(1)標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小.標準差、方差越大,

數據的離散程度越大；標準差、方差越小，數據的離散程度越小.

(2)標準差、方差的取值范圍：［0,+8).

標準差、方差為0時，樣本各數據全相等，表明數據沒有波動幅度，數據沒

有離散性.

(3)因為方差與原始數據的單位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以

雖然方差與標準差在刻畫樣本數據的離散程度上是一樣的，但在解決實際問題時,

一般多采用標準差.

［跟蹤訓練1］某班40名學生平均分成兩組，兩組學生某次考試成績情況如

下表所示:

組另U平均數標準差

第一組904

第二組806

求這次考試成績的平均數和標準差.

X?—-X21\

7

解設第一組數據為X”題，第二組數據為曲，及”全班

平均成績為

-90X20+80X20

根據題意,有x=---------=85,

4'=^(Ai+^H----1?焉一20X90°),

6'=、—星2T-----20X802),

.?.尤----1■高=20X(42+62+902+802)=291040.

再由變形公式，得/=崇----F^o—407')

=.(4+三+,,,+三。-40X85?)=［義(291040—289000)=51,

s=y/51.

題型二樣本標準差、方差的實際應用

例2某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓，他們在培訓期間參加的8

次測試成績記錄如下：

甲：9582888193798478

乙：8392809590808575

(1)哪個工人的成績較好？

(2)甲、乙成績位于與二+s之間有多少？

_1

［解］(1)^=-X(95+82+88+81+93+79+84+78)=85,

fpO

—1

*乙=三義(83+92+80+95+90+80+85+75)=85.

O

22

牖=Jx［(95—851+(82—85)2+(88-85)2,|,(81-85)+(93-85)+(79—

O

2

85)+(84—85)2+(78—85)1-355,

22

旻=」X[(83—85產+(92—85y+(80-85)2,|,(95-85)+(90-85)+(80-

O

85)2+(85-85)2+(75-85)2]=41.

ip=x，甲的成績較穩定.

綜上可知，甲的成績較好.

(2)Vs.,.=^4=^35.5%5.96,

x甲一$甲七79.04,x甲+s甲^90.96,

甲位于［x—s,x+s］之間的數據有4個.

又4，x乙—s乙278.6,入乙+5乙=91.4,

，乙的成績位于［x—s,x+s］之間的有5個.

金版點睛

比較兩組數據的異同點，一般情況是從平均數及標準差這兩個方面考慮.其

中標準差與樣本數據單位一樣，比方差更直觀地刻畫出與平均數的平均距離.

［跟蹤訓練2］從甲、乙兩名學生中選拔一人參加射箭比賽，為此需要對他

們的射箭水平進行測試.現這兩名學生在相同條件下各射箭10次，命中的環數如

下：

甲897976101086

乙10986879788

(1)計算甲、乙兩人射箭命中環數的平均數和標準差；

(2)比較兩個人的成績，然后決定選擇哪名學生參加射箭比賽.

解(1)根據題中所給數據，可得甲的平均數為

_1

*甲=歷、(8+9+7+9+7+6+10+10+8+6)=8,

_1

乙的平均數為x乙=而乂(10+9+8+6+8+7+9+7+8+8)=8,

甲的標準差為

］系［8-82+9-82+-+6-82］=^2,

5甲=

乙的標準差為

S乙=、/.X［10—82+9一8旺…+8—82］=磔，

Y105

故甲的平均數為8,標準差為地，乙的平均數為8,標準差為率.

(2)且sQs乙，.?.乙的成績較為穩定，故選擇乙參加射箭比賽.

題型三由統計圖求標準差、方差

例3樣本數為9的四組數據，他們的平均數都是5,條形圖如下圖所示，則

標準差最大的一組是()

A.第一組B.第二組

C.第三組D.第四組

［解析］第一組中，樣本數據都為!，數據沒有波動幅度，標準差為0;第二

組中，樣本數據為4,4,4,5,5,5,6,6,6標準差為4；第三組中，樣本數據為

o

3,3,4,4,5,6,6,7,7,標準差為第四組中，樣本數據為2,2,2,2,5,8,8,8,8,

O

標準差為2吸，故標準差最大的一組是第四組.

［答案］D

金版點匿

由統計圖分析標準差、方差的大小

從四個圖形可以直觀看出第一組數據沒有波動性，第二、三組數據的波動性

都比較小，而第四組數據的波動性相對較大，利用標準差的意義也可以直觀得到

答案.

［跟蹤訓練3］甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形

統計圖如圖所示，則()

A.甲的成績的平均數小于乙的成績的平均數

B.甲的成績的中位數等于乙的成績的中位數

C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差

答案C

解析由題圖可得，甲的成績為4,5,6,7,8,乙的成績為5,5,5,6,9,所以甲、

乙的成績的平均數均是6,故A不正確；甲、乙成績的中位數分別為6,5,故B

不正確；甲、乙成績的極差都是4,故D不正確；甲的成績的方差為2X(22X2+

12X2)=2,乙的成績的方差為《義(l2X3+32)=2.4.故C正確.

5

題型四分層隨機抽樣的方差

例4甲、乙兩支田徑隊體檢結果為：甲隊的體重的平均數為60kg,方差為

200,乙隊體重的平均數為70kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊的隊員人數之

比為1：4,那么甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是什么？

_1

［解］由題意可知*單=60,甲隊隊員在所有隊員中所占權重為"=E=

1

5,

—44

x乙=70,乙隊隊員在所有隊員中所占權重為吐

1十4□

則甲、乙兩隊全部隊員的平均體重為

___14,

x=獷甲x甲+歹乙x乙=1X60+^X70=68(kg),

bb

甲、乙兩隊全部隊員的體重的方差為

————__14

s=w甲［s東+(x甲-xY}+w乙［s2+(x乙一=￡X［200+(60—68)1+三

55

X［300+(70-68)2］=296.

金版點睛

分層隨機抽樣的方差

設樣本中不同層的平均數分別為7.72,不,方差分別為備，舄，…，

n

sn,相應的權重分別為M，版，…，典，則這個樣本的方差為產［s,+(X/—

三)1(1為樣本的平均數).

［跟蹤訓練4］某培訓機構在假期招收了4,8兩個數學補習班，力班10人，

8班30人，經過一周的補習后進行了一次測試，在該測試中，4班的平均成績為

130分，方差為115,6班的平均成績為110分，方差為215.求在這次測試中全體

學生的平均成績和方差.

解依題意］〃=130,sj=115,7fl=110,琉=215,

-10,30

?..x=TU領義130+礪而Xll°=115,

.?.全體學生的平均成績為115分.

全體學生成績的方差為

=X

s'=(X/—xT］+般［s］+(xB—o+3O(115+225)

1+10^3Q

X(215+25)=85+180=265.

隨堂水平,達標

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.下列選項中，能反映一組數據的離散程度的是（）

A.平均數B.中位數

C.方差D.眾數

答案C

解析由方差的定義知方差反映了一組數據的離散程度.

2.（多選）對于樣本數據2,4,6,8,10,下列說法正確的是（）

A.這組數據的中位數是6

B.這組數據的平均數是8

C.這組數據的極差是6

D.這組數據的標準差是2位

答案AD

解析這組數據的中位數是6,這組數據的極差為10—2=8,這組數據的平

均數三=3（2+4+6+8+1。）=6,這組數據的標準差為

寸；><[2-62+4-62+6-62+8-62+10-62]

=2^2.故選AD.

3.甲、乙、丙、丁四人參加某運動會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方

差如下表所示:

一''''''''''甲乙丙T

平均環數三8.38.88.88.7

方差自3.53.62.25.4

若要從這四人中選擇一人去參加該運動會射擊項目比賽，最佳人選是—（填

“甲”“乙”“丙”“丁”中的一個）.

答案丙

解析分析題中表格數據可知，乙與丙的平均環數最多，又丙的方差比乙小,

說明丙成績發揮得較為穩定，所以最佳人選為丙.

4.在高一期中考試中，甲、乙兩個班的數學成績統計如下表：

班級人數平均分數方差

甲20X甲2

乙

30X乙3

其中工甲=1乙，則兩個班數學成績的方差為

答案2.6

解析由題意可知兩個班的數學成績平均數為予=仔用=又乙，則兩個班數學

20__30__20

成績的方差為$2=亞3[2+(*p—二)口+舟g[3+(1乙一二溝=左工證X2

4U-JU乙UIJU乙UIOU

5.甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質量，各從中抽取

6件測量，數據為：

甲：9910098100100103

乙：9910010299100100

(1)分別計算兩組數據的平均數及方差；

(2)根據計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩定.

_1

解(1)^=TX(99+100+98+100+100+103)=100,

1P6

_1

x^=~X(99+100+102+99+100+100)=100.

o

溫=*X[(99-100)*2*67+(100—lOOT+(98-100)2+(100~100)2+(100-

7

100)2+(103-100)2]=-,

O

sl=1x[(99-100)2+(100-100)2+(102—100)'+(99-100)2+(100-

6

100)2+(100—100)2]=1.

(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均數相同，

又品＞$"所以乙機床加工零件的質量更穩定.

課后課時.精練

KEHOUKESHIJINGLIAN

A級?,學考水平合格練

一、選擇題

1.與原數據單位不一樣的是（）

A.眾數B.平均數

C.標準差D.方差

答案D

解析由方差的意義可知，方差與原數據單位不一樣.

2.為評估一種農作物的種植效果，選了〃塊地作試驗田，這〃塊地的畝產量

（單位：kg）分別為吊，…，黑，下面給出的指標中可以用來評估這種農作物畝

產量穩定程度的是（)

A.Xi,,黑的平均數

B.x2,?演的標準差

C.汨，Xz,,演的最大值

D.為，x2,?演的中位數

答案B

解析平均數和中位數反映一組數據的集中趨勢，標準差和方差反映一組數

據的穩定程度.故選B.

3.某公司10位員工的月工資（單位：元）分別為不，及，…，.，其平均數

和方差分別為二和若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工

下月工資的平均數和方差分別為（）

A.x,s+100"B.7+100,s2+1002

C.x,sD.3+100,s2

答案D

解析解法一：因為每個數據都加上100,所以平均數也增加100,而離散程

度保持不變，即方差不變.

解法二：由題意，知為十及-1---F^lO=10X,$2=，X[（X]—王尸+（也一才尸

—0—1

H---F(xio—x)］，則所求平均數y=77；X［(x+100)+(涇+100)H---F(x1o+

1——1一°

100)］=—X(10x+lOX100)=x+100,所求方差為［(x+100—y)“+(至

+100—y)2-\----F(xio+lOO—y)1=白義［(為-x)'+(否-x)'H----F(吊。一

—\21_2

X)」一S.

4.如圖，樣本4和6分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數分別為工

,，和樣本標準差分別為0和礪則（）

A.X>XB,S>SB

C.X〉XB,S&SBD.XA<XB,S&SB

答案B

解析由題圖，知A組的6個數分別為2.5,10,5,7.5,2.5,10；6組的6個數

分別為15,10,12.5,10,12.5,10,

crr2.5+10+5+7.5+2.5+1025

所以xA=-----------------------=~rXK=

15+10+12.5+10+12.5+1035一一TTZ—r，…，，.，門，.，

------------=可.顯然xK又由圖形可知，B組數據的

6--3

分布比力組的均勻，變化幅度不大，故3組數據比較穩定，方差較小，從而標準

差較小，所以SA>SB.

5.（多選）若某同學連續三次考試的名次（第一名為1,第二名為2,以此類推

且沒有并列名次情況）不大于3,則稱該同學為該班級的尖子生.根據甲、乙、丙、

丁四位同學過去連續3次考試名次數據，可以斷定為尖子生的是（）

A.甲同學：平均數是2,中位數是2

B.乙同學：平均數為2,方差小于1

C.丙同學：中位數是2,眾數是2

D.丁同學：眾數是2,方差大于1

答案AB

解析甲同學：平均數為2,說明名次之和為6,中位數是2,得出三次考試

名次均不大于3,斷定為尖子生.乙同學：平均數為2,說明名次之和為6,方差

小于1,得出三次考試名次均不大于3,斷定為尖子生.丙同學：中位數為2,眾

數為2,說明三次考試名次至少有兩次為2,名次從小到大排序可能為1,2,2；

2,2,2；2,2,3；2,2,x(x>3),所以不能斷定丙同學是尖子生.丁同學：眾數為2,

說明某兩次名次為2,設另一次名次為x,經驗證，當x=l,2,3時，方差均小于

1,故x>3.斷定丁一定不是尖子生.故選AB.

二、填空題

6.已知一組數據：4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,則該組數據的方差是—.

答案0.1

解析這組數據的平均數x=：X(4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1,故s

5

=1x[(4.7-5.l)2+(4.8-5.l)2+(5.1-5.l)2+(5.4-5.l)2+(5.5-5.1)2]=

o

0.1.

7.下列四個結論中正確的有—.

①在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等；

②如果一組數據中每個數減去同一個非零常數，則這一組數的平均數改變，

方差不改變；

③一個樣本的方差是s2=^[a,-3)2+a-3)2+-+u-3)2],則這組樣

乙U

本數據的總和等于60；

④數據a,金，&,…，a的方差為外，則數據2aL2a2,2a，…，2包的方差為

4旌

答案①②③④

解析對于①，在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相

等，都等于:，，①正確；

對于②，一組數據中每個數減去同一個非零常數a,這一組數的平均數變為二

—a,方差s'不改變，.?.②正確；

2222

對于③，一個樣本的方差是s=^X[^-3)+U-3)+-+U-3)],

.?.這組樣本數據有20個數據，平均數是3,.?.這組數據的總和為3X20=60,，

③正確；

對于④，數據4,a”&,…，晶的方差為6、則數據2aL2a2.2&,…，2a〃

的方差為(23)2=4戶，.?.④正確.

綜上，正確的是①②③④.

8.若40個數據的平方和是56,平均數是，，則這組數據的方差是一,

標準差是一.

答案0.9不一

解析設這40個數據為x,(/=l,2,…，40),平均數為又.

則S2=77；X[(*—*)?+(*2-xY'-\---1-(及一X)"]

=占義［露+言-］---F^o+40x'—2x（矛1+尼H---FMO）］

1

=40X56+40X

=-X36=0.9.

40

?』屈=盛=嚕

三、解答題

9.某學校統計教師職稱及年齡，中級職稱教師的人數為50,其平均年齡為

38歲，方差是2,高級職稱的教師中有3人58歲，5人40歲，2人38歲，求該

校中級職稱和高級職稱教師年齡的平均數和方差.

解由已知條件可知高級職稱教師的平均年齡為

-3X58+5X40+2X38

高==45(歲)，

X3+5+2

年齡的方差為

麋=3[3X(58-45)2+5X(40-45)2+2X(38-45)2]=73,

所以該校中級職稱和高級職稱教師年齡的平均數為

*=50+10X38+50+10X45239.2(歲)，

該校中級職稱和高級職稱教師年齡的方差是

2

-=二丹】/12+(38-39.2尸]+cn\°inX[73+(45-39.2)]=20.64.

50+1050+10

10.某校高一(1)、(2)班各有49名學生，兩班在一次數學測試中的成績統計

如下表：

班級平均分眾數中位數標準差

高一(1)班79708719.8

高一(2)班7970795.2

(1)請你對下面的一段話給予簡要分析:

高一⑴班的小剛回家對媽媽說：“昨天的數學測試中，全班的平均分為79

分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了”；

(2)請你根據表中的數據分析兩班的測試情況，并提出教學建議.

解(1)由高一⑴班成績的中位數是87分可知，85分排在25位以后，從位

次上講并不能說85分在班里是上游，但也不能從這次測試上來判斷學習的好壞，

小剛得了85分，說明他對這階段的學習內容掌握得較好，從掌握的學習內容上講

也算是上游.

(2)高一⑴班成績的中位數是87分，說明高于87分的人數占一半左右，而

平均分為79分，標準差又很大，說明低分者也多，兩極分化嚴重，建議對學習差

的學生給予幫助.

高一(2)班成績的中位數和平均數都是79分，標準差較小，說明學生成績之

間的差別也較小，學習差的學生較少，但學習優秀的學生也很少，建議采取措施

提高優秀學生的人數.

B級，,學考水平等級練

1.某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x,%10,ll,9(x,yG

N*),已知這組數據的平均數為10,方差為2,則|x—y|的值為()

A.4B.3

C.2D.1

答案A

解析由這組數據的平均數為10,方差為2可得x+y=20,U-10）2+（y-

10）2=8,因為不要直接求出x,y,只要求出|x-y|,設x=10+t,y=10—t,

由（x—10尸+（y-10尸=8得t2=4,所以|x一y|=2|力=4.故選A.

2.（多選）某綜藝節目為比較甲、乙兩名選手的各項能力（每項能力的指標值

滿分均為5分，分值高者為優），繪制如圖所示的六維能力雷達圖，圖中點力表示

甲的創造能力指標值為4,點6表示乙的空間能力指標值為3,則下列敘述正確的

是（）

甲乙

A.乙的記憶能力優于甲

B.乙的觀察能力優于創造能力

C.甲的六大能力整體水平優于乙

D.甲的六大能力比乙較均衡

答案BCD

解析由六維能力雷達圖，知乙的記憶能力指標值是4,甲的記憶能力指標

值是5,故甲的記憶能力優于乙的記憶能力，故A