同步練習32直線與直線垂直必備學問基礎練一、選擇題(每小題5分，共45分)1．一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則它與另一條()A．垂直B．相交C．異面D．平行2．設a，b，c是三條直線，且c⊥a，c⊥b，則a和b()A．平行B．相交C．異面D．以上都有可能3.如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′的各條棱所在直線中，與直線AB異面且垂直的直線有()A．1條B．2條C．3條D．4條4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，面對角線中與AD1成60°的有()A．4條B．6條C．8條D．10條5．如圖，將無蓋正方體紙盒綻開，直線AB，CD在原正方體中的位置關系是()A．平行B．相交且垂直C．相交成60°D．異面直線6．設P是直線l外肯定點，過點P且與l成30°角的異面直線()A．有多數條B．有兩條C．至多有兩條D．有一條7．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與BC1所成的角的大小是()A．60°B．75°C．90°D．105°8．(多選)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB1，BC1的中點，則下列結論中成立的是()A．EF與BB1垂直B．EF與BD垂直C．EF與CD異面D．EF與A1C1異面9．(多選)四棱錐P-ABCD的全部棱長相等，M，N分別為PA，CD的中點，下列說法正確的是()A．MN與PD是異面直線B．MN∥平面PBCC．MN∥ACD．MN⊥PB二、填空題(每小題5分，共15分)10．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中點，則在全部的棱中與直線CD和AA1都垂直的直線有________．11．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是________．12.如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則當AC，BD滿意條件________時，四邊形EFGH為菱形，當AC，BD滿意條件________時，四邊形EFGH是正方形.三、解答題(共20分)13.(10分)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，CD1與DC1相交于點O，求證：AO⊥A1B.14.(10分)如圖，點S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分別是SC和AB的中點，求EF的長．關鍵實力提升練15．(5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，則異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是()A．0°<θ<60°B．0°≤θ<60°C．0°≤θ≤60°D．0°<θ≤60°16.(5分)如圖，已知圓錐CO的正視圖是正三角形，AB是底面圓O的直徑，點D在eq\x\to(AB)上，且∠AOD＝2∠BOD，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為________．17.(10分)如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E為PC的中點．(1)求證：BE∥平面ADP；(2)求異面直線PA與CB所成的角的大小．同步練習32直線與直線垂直必備學問基礎練1．答案：A2．答案：D解析：如圖，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，則a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，則a和b異面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，則a和b平行；所以空間中垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面．故選D.3．答案：D解析：與直線AB異面且垂直的直線為B′C′，A′D′，DD′，CC′，共4條．故選D.4．答案：C解析：如圖所示在正方體ABCDA1B1C1D1中，△AD1B1是等邊三角形，故B1D1，AB1與AD1所成的角是60°，同理△ACD1也是等邊三角形，AC，CD1與AD1也成60°角，則在面對角線中，與AC，CD1，B1D1，AB1分別平行的對角線與AD1也成60°角．故選C.5．答案：C解析：把綻開圖復原成如圖所示的正方體，其中，△ABC為等邊三角形，所以∠ABC＝60°.故選C.6．答案：A解析：過點P且與l成30°角的異面直線有多數條，并且異面直線在以P為頂點的圓錐的側面上．故選A.7．答案：C解析：設BB1＝1，如圖，延長CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，連接B1C2，則B1C2∥BC1，所以∠AB1C2(或其補角)為AB1與BC1所成的角．連接AC2，因為AB1＝eq\r(3)，B1C2＝eq\r(3)，AC2＝eq\r(6)，所以ACeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝ABeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋B1Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，則∠AB1C2＝90°.故選C.8．答案：ABC解析：連接A1B，易知點E為A1B的中點，由三角形中位線定理可得EF∥A1C1，則EF，A1C1確定一個平面；明顯EF與CD異面；由幾何關系可得A1C1⊥BB1，A1C1⊥BD，則EF⊥BB1，EF⊥BD.故選ABC.9．答案：ABD解析：如圖所示，取PB的中點H，連接MH，HC，由題意知，四邊形MHCN為平行四邊形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，設四邊形MHCN確定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P?平面α，D?MN，因此MN與PD是異面直線，故A、B說法均正確；若MN∥AC，由于CH∥MN，則CH∥AC，事實上AC∩CH＝C，C說法不正確；因為PC＝BC，H為PB的中點，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D說法正確．故選ABD.10．答案：AB，A1B1解析：由正三棱柱的性質可知與直線CD和AA1都垂直的直線有AB，A1B1.11．答案：90°解析：如圖，過點M作ME∥DN交CC1于點E，連接A1E，則∠A1ME(或其補角)為異面直線A1M與DN所成的角．設正方體的棱長為a，則A1M＝eq\f(3,2)a，ME＝eq\f(\r(5),4)a，A1E＝eq\f(\r(41),4)a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，則異面直線A1M與DN所成的角為90°.12．答案：AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2)BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝eq\f(1,2)AC＝HG，明顯四邊形EFGH為平行四邊形．要使平行四邊形EFGH為菱形需滿意EF＝EH，即AC＝BD；要使四邊形EFGH為正方形需滿意EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.13．證明：∵ABCDA1B1C1D1是正方體，∴A1D1綉BC，∴四邊形A1D1CB是平行四邊形，∴A1B∥D1C，∴直線AO與A1B所成角即為直線AO與D1C所成角，如圖，連接AC，AD1，易證AC＝AD1，又O為CD1的中點，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.14．解析：取CB的中點D，連接ED，DF，則∠EDF(或其補角)為異面直線SB與AC所成的角，即∠EDF＝90°.在△EDF中，ED＝eq\f(1,2)SB＝1，DF＝eq\f(1,2)AC＝1，所以EF＝eq\r(ED2＋DF2)＝eq\r(2).即EF的長為eq\r(2).關鍵實力提升練15．答案：D解析：如圖，連接CD1，AC，因為CD1∥BA1，所以CP與BA1所成的角就是CP與CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.當點P從D1向A運動時，∠D1CP從0°增大到60°，但當點P與D1重合時，CP∥BA1，與CP與BA1為異面直線沖突，所以異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是0°<θ≤60°.故選D.16．答案：eq\f(\r(3),4)解析：如圖，取AC的中點E，劣弧BD的中點F，AO的中點G，連接OF、OE，易知，OE∥BC，AD∥OF，則異面直線AD與BC所成的角是∠EOF或其補角．連接EG，GF，EF，易得EG⊥GF，不妨設OG＝1，則OF＝2，OE＝2，EG＝eq\r(3)，GF2＝OG2＋OF2－2·OG·OF·coseq\f(5π,6)＝5＋2eq\r(3)，則EF2＝EG2＋GF2＝8＋2eq\r(3)，在△OEF中，cos∠EOF＝eq\f(OE2＋OF2－EF2,2OE·OF)＝－eq\f(\r(3),4)，故異面直線AD與BC所成角的余弦值為eq\f(\r(3),4).17．解析：(1)證明：取PD的中點F，連接EF，AF，則在△PCD中，EF∥CD且EF＝eq\f(1,2)CD，由已知AB∥CD且AB＝eq\f(1,2)CD，所以AB∥E