第2課時基本不等式的應用

主題基本不等式的應用1.已知x,y都是正數,若x+y=s(和為定值),那么xy的取值范圍是什么?提示:方法一:因為x+y=s,所以x=s-y,所以xy=y(s-y)=-y2+sy=又x>0,y>0,所以0<xy≤方法二:由基本不等式,得s=x+y≥2所以xy≤,當x=y時,xy取得最大值,又因為x>0,y>0,所以0<xy≤.2.已知x,y都為正數,若xy=p(積為定值),即x+y的取值范圍是什么?提示:由基本不等式,得x+y≥2當x=y時,x+y取得最小值2,所以x+y≥2.3.一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園,這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大?最大是多少?提示:把矩形菜園的長、寬分別記為x,y,則2(x+y)=36,即x+y=18,由基本不等式得xy≤=81,當且僅當x=y=9時,等號成立,即x=y=9m時矩形菜園的面積最大,最大為81m2.結論:設x,y為正實數.(1)若x+y=s(定值),則當________時,xy有最大值____.(2)若xy=p(定值),則當________時,x+y有最小值____.x=y=x=y=【拓展延伸】求條件最值的方法求條件最值是基本不等式的一個重要應用.應用基本不等式求最值時:①通過對所給式進行巧妙分拆、變形、組合、添加系數使之能夠出現定值是解題的關鍵;②必須指出等號成立的條件.

【拓展延伸】求條件最值的方法求條件最值是基本不等式的一個重要應用.應用基本不等式求最值時:①通過對所給式進行巧妙分拆、變形、組合、添加系數使之能夠出現定值是解題的關鍵;②必須指出等號成立的條件.

【對點訓練】1.設x>0,y>0且x+4y=40,則xy的最大值是 (

)A.100

B.50

C.40

D.20【解析】選A.x·4y≤=400,即xy≤100,當且僅當x=4y=20時,上式取等號.2.若正數m,n滿足2m+n=1,則的最小值為(

)A.3+2 B.3+C.2+2 D.3【解析】選A.由題意,因為2m+n=1,則=·(2m+n)=3+≥3+2=3+2,當且僅當,即n=m時等號成立,所以的最小值為3+2.3.若x>0,則y=4x+的最小值為________.

【解析】因為x>0,所以y=當且僅當4x=,即x=時,y=4x+取最小值.答案:123.若x>0,則y=4x+的最小值為________.

【解析】因為x>0,所以y=當且僅當4x=,即x=時,y=4x+取最小值.答案:12類型一利用基本不等式求最值、范圍【典例1】(1)若正數a,b滿足ab+a+b=3,則a+b的最小值為________.

(2)(2019·天津高考改編)設x>0,y>0,x+2y=4,則的最小值為________.

【解題指南】(1)利用基本不等式可得,ab≤,將ab+a+b=3轉化成3≤+(a+b),求解a+b的范圍并檢驗等號成立即可.(2)先由x+2y=4,借助基本不等式求出xy≤2,再對化簡求解.【解析】(1)因為a,b為正數,所以≤成立.所以ab≤,所以3=ab+a+b≤+(a+b).即(a+b)2+4(a+b)-12≥0,解得:a+b≥2或a+b≤-6(舍去).當

時,等號成立,即a=b=1時,等號成立.所以a+b的最小值為2.答案:2(2)由x+2y=4,得x+2y=4≥2,得xy≤2，

當且僅當x=2y,即x=2,y=1時等號成立.故所求的最小值為.答案:

【方法總結】1.利用基本不等式求最值的方法(1)若“一正二定三相等”中的條件滿足時,直接用公式求解.(2)若條件不滿足時,則需對條件作適當調整和轉化,使其滿足.2.利用基本不等式求條件最值的方法【跟蹤訓練】設x>0,則函數y=x+的最小值為________.

【解析】y=x+

當且僅當x+=,即x=時等號成立.所以函數的最小值為0.答案:0類型二利用基本不等式求參數的值、范圍【典例2】(1)若兩個正實數x,y滿足=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,則實數m的取值范圍是 (

)

A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4) D.(-4,2)(2)已知a>0,b>0,若不等式恒成立,則m取最大值時,=________.

【解題指南】(1)根據基本不等式求出x+2y的最小值,從而得到關于m的不等式,進而求得m的取值范圍.(2)利用分離常數法和基本不等式求出m的最大值,以及m取最大值時a與b的關系,再計算的值.【解析】(1)選D.x+2y=(x+2y)當且僅當,即4y2=x2時等號成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,m2+2m-8<0,解得-4<m<2.(2)a>0,b>0時,不等式可化為

(a+4b)≥m,即m≤8+;又≥2=8,當且僅當a=4b時取等號,所以m≤16,且m取最大值時,a=4b,此時.答案:

【方法總結】運用基本不等式求參數的取值范圍(1)若已知不等式,則要先將字母參數分離出來,轉化為求函數的最值問題,從而求出參數的取值范圍.(2)若是已知等式,則要用基本不等式得出關于參數的不等式,從而求出參數的取值范圍.【跟蹤訓練】已知函數f(x)=x++2的值域為(-∞,0]∪[4,+∞),則a的值是 (

)

【解析】選C.由已知若a≤0,則f(x)值域為R,所以a>0,①當x>0時,f(x)=x++2≥2+2,當且僅當x=時取等號;②當x<0時,f(x)=x++2≤-2+2,當且僅當x=-時取等號.所以解得a=1.【補償訓練】1.已知不等式(x+y)≥16對任意正實數x,y恒成立,則正實數a的最小值為 (

)A.1

B.2

C.4

D.6【解析】選C.(x+y)=4+a+,因為x>0,y>0,a>0,所以當且僅當時取等號.由已知可得4+a+4≥16,即a+4-12≥0,解得≥2或≤-6(舍去),所以a≥4,即a的最小值為4.2.若對任意x>0,≤a恒成立,則a的取值范圍是________.

【解析】因為當且僅當x=1時取等號,所以a∈答案:

類型三基本不等式的實際應用【典例3】(2019·武漢高二檢測)已知A,B兩地的距離是130km,每輛汽車的通行費為50元.按交通法規規定,A,B兩地之間的公路車速應限制在50～100km/h.假設汽油的價格是7元/L,一輛汽車的耗油率(L/h)與車速的平方成正比,如果此車的速度是90km/h,那么汽車的耗油率為22.5L/h,司機每小時的工資是70元.從A地到B地最經濟的車速是多少?如果不考慮其他費用,這次行車的總費用是多少(精確到1元)?【解題指南】先設車速為x(50<x<100),耗油率為m,行車總費用為f(x),根據題意求出m,得到f(x),再由基本不等式求其最值,即可得出結果.【解析】設車速為x(50<x<100),耗油率為m,行車總費用為f(x),因為一輛汽車的耗油率(L/h)與車速的平方成正比,所以m=kx2(k>0),又此車的速度是90km/h時,汽車的耗油率為22.5L/h,所以22.5=k×902,解得k=,故m=x2,因此,由題意可得,f(x)=x2×

×7+×70+50=x++50≥2+50=+50≈353,當且僅當x=,即x=60時,f(x)取最小值.因此,從A地到B地最經濟的車速是60km/h,此時的行車總費用約為353元.【方法總結】應用基本不等式解決實際問題的步驟(1)先理解題意,設出變量,一般把要求最值的量定為函數.(2)建立相應的函數關系,把實際問題抽象成函數的最大或最小值問題.(3)在定義域內,求出函數的最大值或最小值.(4)寫出正確答案.【跟蹤訓練】圍建一個360m2的矩形場地,要求矩形場地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修),其他三面圍墻要新建,在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口,如圖所示.已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m.設利用的舊墻長度為x(單位:m),修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位:元).(1)將y表示為x的函數.(2)試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最少,并求出最少總費用.【解題指南】(1)利用矩形的面積將矩形的另一邊長也用x來表示,進而寫出y與x的函數關系式.(2)在(1)的基礎上利用基本不等式求出目標函數的最值.【解析】(1)如圖,設矩形的另一邊長為am,則y=45x+180(x-2)+180·2a,由已知xa=360,得a=.所以y=225x+-360(2)因為x>0,所以225x+=10800.所以y=225x+-360≥10800-360=10440,當且僅當225x=時,等號成立.即當x=24m時,修建圍墻的總費用最少,最少總費用是10440元.【知識思維導圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應更堅強.勵志名言請您欣賞(2)因為x>0,所以225x+=10800.所以y=225x+-360≥10800-360=10440,當